Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 245c

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Vom Punkt zur vierten Dimension. Geometrie für Jedermann.

45[editar]

Fünfundvierzigstes Kapitel
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Geometrie der vierten Dimension und der höheren Dimensionen. Schluß
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Trotz aller Begeisterung für unsere wirklich gute Sache dürfen wir uns nicht einen Augenblick darüber im unklaren sein, daß wir im Rahmen dieses Buches nur die ersten Denkschwierigkeiten der nichteuklidischen und mehrdimensionalen Geometrie wegräumen können. Beide Gebiete sind ernste und riesige Fächer der Mathematik, und wir verweisen für weitere Studien in der nichteuklidischen Geometrie auf das schon öfter zitierte Buch von Mohrmann, auf die historisch-kritische Darstellung von B. Bonola (übersetzt von H. Liebmann, Verlag Teubner) und für die mehrdimensionale Geometrie insbesondere auf das vorzügliche Werk von Hk. de Vries „Die vierte Dimension“ (deutsche Übersetzung bei Teubner, 1926).
Diese Verwahrung soll uns aber nicht hindern, die „vierdimensionale Sahne“ abzuschöpfen, so weit es uns der Raum gestattet. Denn wir haben es versprochen.
Historisch ist diese Geometrie außer der mengentheoretischen Darstellung der Geometrie, durch G. Cantor und Hausdorff, die jüngste Entwicklungsstufe unserer Wissenschaft. Erst der deutsche Mathematiker Graßmann (1809-1877) hat sie in seiner „Linealen Ausdehnungslehre“ 1844 zum erstenmal systematisch dargestellt. Man „verstand aber Graßmann so wenig, daß er sich enttäuscht aus der Mathematik zurückzog und Sanskritphilologe wurde. In diesem neuen Fach nun leistete er derart Bahnbrechendes, daß er allgemeine Anerkennung erlebte. Dadurch aber wieder erhielt er plötzlich auch mathematischen Kredit, und der große Helmholtz tat das seinige, um das alte Unrecht gutzumachen. Natürlich hatte auch Riemanns Abhandlung von 1854 inzwischen den Weg bereitet. Auch der Engländer Cayley und der Franzose Cauchy beschäftigten sich, ungefähr gleichzeitig mit Graßmann, mit einzelnen Problemen der mehrdimensionalen Geometrie, ohne jedoch diese Ansätze zum System zu erweitern. Aber noch ein anderer genialer Mathematiker teilte Graßmanns anfängliches Los, wobei er nicht einmal die Drucklegung seines Lebenswerkes erlebte. Es war der Schweizer Universitätsprofessor L. Schläfli (1814 bis 1895), der in den Jahren 1850-1852 seine „Theorie der vielfachen Kontinuität“ verfaßte, die erst im Jahre 1901 durch die Bemühungen eines dankbaren Schülers, des bekannten Mathematikers J. H. Graf, gedruckt wurde; wobei sich herausstellte, daß Schläflis Werk im wahrsten Sinne ein seiner Zeit vorausgeeiltes „Standardwerk“ war.
Soviel aus der Geschichte dieser heute allgemein anerkannten mathematischen Disziplin. Wir werden nun all das, was wir schon wissen, verwerten, um möglichst rasch in das Zentrum des geometrischen Geisterreiches zu gelangen. Wir sind es schon gewöhnt, vom R1, R2, R3 ... Rn zu sprechen. Wir verabreden nur insofern noch eine Erweiterung, als wir jetzt Figuren auch bei anerkennen. So etwa sei die Strecke eine Figur im R1 und der Punkt eine Figur im R0, obwohl bei letzterem „Raum“ und „Figur“ identisch sind. Wenn wir nun unseren Begriff des „Simplex“ wieder aufnehmen, den wir mit S bezeichnen wollen, so nennen wir den Punkt den „Simplex“ des R0, die Strecke den „Simplex“ des R1, das Dreieck den Simplex des R2, das Tetraeder den Simplex des R3. Dabei numerieren wir aber den Simplex stets mit einem Index, der anzeigt, wie viele Punkte diesen Simplex bestimmen. Der Punkt-Simplex im R0 heißt also S1, der Strecken-Simplex im R1 heißt S2, das Dreieck im R2 heißt S3, das Tetraeder im R3 heißt S4 usw. Verallgemeinert hat jeder Rn einen Simplex, der Sn+1 heißen muß. Was ist nun eigentlich solch ein Simplex? Es ist die jeweils einfachste Figur im betreffenden Raum, die durch Verbindung einer gewissen Anzahl von Punkten gewonnen werden kann, wobei deshalb keine „Diagonalen“ auftreten können, weil stets bloß zwei Punkte durch eine Gerade, drei Punkte durch eine Ebene usw. verbunden sind und die Punkteanzahl gerade noch zur Bestimmung des betreffenden Raumes ausreicht. Die Punkte dürfen allerdings niemals zu so vielen in einem Raum niedrigerer Dimensionenanzahl liegen, daß sie diesen Rn überbestimmen. Falls etwa zwei Punkte in einem Punkt, also im R0 lägen, kommt keine Strecke (S2) im R1 zustande. Liegen drei Punkte auf einer und derselben Geraden (R1), dann bilden sie kein S3 (Dreieck) im R2 (Ebene). Liegen schließlich vier Punkte in einem R2, dann entsteht kein S4 (Tetraeder) im Raum R3 usw. Es dürfen also niemals (n + 1) Punkte in einen Rn-1 liegen, weil sonst im Rn kein Simplex Sn+1 zustande kommen kann.
Nun sind die Simplexfiguren deshalb von großer Wichtigkeit, weil stets ein Simplex Sn+1 einen Raum Rn eindeutig bestimmt. Natürlich unter obiger Einschränkung 'der richtigen Punktelage. Das braucht man übrigens, wenn man vom Simplex spricht, nicht mehr hinzuzufügen. Denn bei unrichtiger Punktelage gäbe es ja überhaupt keinen Simplex. In unserer gewohnten früheren Sprache sagten wir einfach: Ein Punkt bestimmt einen R0, also sich selbst. Zwei Punkte bestimmen eine Gerade (R1), drei Punkte eine Ebene (R2), vier Punkte einen R3 usw., wobei man bei den höheren Dimensionen die Punkte wieder zu Simplexfiguren zusammenfassen darf. So ist etwa eine Ebene auch durch einen S1 (Punkt) und einen S2 (Gerade) bestimmt, ein Raum durch zwei S2, die sich kreuzen, usw. Um einen Rn zu bestimmen, muß also die Summe sämtlicher Indizes aller voneinander unabhängigen Bestimmungs-Simplexfiguren zusammen () betragen. Falls sich Simplexfiguren schneiden, also nicht mehr unabhängig voneinander sind, fallen die Punkte fort, die die Schnittfigur als Simplex bestimmen würden. So bestimmen zwei einander schneidende S2, also zwei Gerade, deshalb nur einen Rn-1, also einen R2, weil zwar die Indexsumme von S2 und S2 gleich vier ist, diese Summe aber in diesem Falle nicht (), sondern () bedeutet, da ja der Schnittpunkt ein S1 ist. Die Indexsumme wäre also richtig von zu bilden, wodurch ich, wenn ich diese „Drei“ als betrachte, aus der Gleichung sofort richtig erhalte. Noch ein zweites Beispiel. Zwei einander schneidende S3, also zwei Dreiecke, folgen durchaus nicht der Formel und bestimmen „nicht einen R5. Sondern sie haben miteinander vier Schnittpunkte, die zwei weitere S2 oder vier S1 bedeuten. So daß man richtig schreiben muß
oder
, was dann stimmt.
Ein R5 etwa könnte durch drei Gerade bestimmt sein, die den S6 bilden. Es genügt dabei aber nicht, daß die Brei Geraden einander kreuzen, denn das könnte sich schon im R3 ereignen. Es muß vielmehr die dritte Gerade die einander. kreuzenden ersten Geraden kreuzen und sie muß außerdem noch den R3 kreuzen, der durch die beiden ersten einander kreuzenden Geraden bestimmt ist.
Durch alle diese gleichsam kombinatorischen Überlegungen kommen wir zum Begriff des sogenannten Punktwertes eines Rn, welch letzteren wir in diesem Zusammenhang, ohne daß dies etwas Neues bedeutet, konventionell als Rd bezeichnen. Jeder Rd hat den Punktwert , d. i. die Anzahl von Punkten, die voneinander derart unabhängig sind, daß von ihnen nie mehr Punkte zugleich in einem niedriger indizierten Rn liegen dürfen, als es dessen Index erfordert, d. h., daß zwei Punkte nicht in einem R0, drei Punkte nicht im R1, vier Punkte nicht in einem R0, allgemein n Punkte nicht in einem Rn-2, also höchstens in einem Rn-1 liegen dürfen. Wobei das n diesmal als kleiner angenommen ist als d. Es dürfen also im R7 höchstens sechs Punkte in einem R5, fünf Punkte in einem R4, vier Punkte in einem R3, drei Punkte in einem R2, zwei Punkte in einem R1, ein Punkt in einem R0 liegen. Diese Forderung hat gar nichts Mystisches. Bis zum R3 haben wir sie oft aufgestellt und sie ist ja unter anderem auch die Bedingung dafür, daß Figuren nicht degenerieren.
oder, wie man auch sagt, „überbestimmt“ werden.
Wir können uns also darunter sicherlich etwas vorstellen. Unsere Forderung aber hat noch andere, geradezu zauberhafte Folgen. Wenn man sie festhält, ist man nämlich sofort imstande, die Kombinatorik auf die Erzeugung von Figuren anzuwenden, und es wird uns ein Leichtes, etwa die Simplexfiguren jeder Dimension festzustellen. Hat z. B. ein S5, also der Simplex der „vierten Dimension“ (R4) fünf unabhängige Punkte, da ja im Rd der Punktwert Sd+1 ist, so muß er bestehen: Aus \tbinom{5}{1} Punkten. Das ist gleicht fünf. Aus Kanten, das ist . Aus Flächen, und zwar Dreiecken. Das wären . Und endlich aus Begrenzungskörpern, die Tetraeder sein müssen. Also aus fünf „Zellen“. Deshalb wird dieser S5 des R4 auch das „Fünfzell“ genannt. Ganz allgemein besteht ein Sd+1 aus niedereren Simplexfiguren, wobei das konstant bleibt und das n von 1 bis d läuft. Dadurch ist man imstande, die vollständigen Simplexfiguren, rein der Denkmaschine der Kombinatorik folgend, bis hinauf in jede Dimension aufzubauen. Der R dieser eben erwähnten Simplexfigur, die der Formel , , ... , folgt, ist natürlich ein Rd, wobei d die Dimension dieses Raumes anzeigt:
Nun ist es uns seit der Entdeckung der „Schlegelschen Diagramme“ durchaus nicht verwehrt, einen Blick in höhere Dimensionen als die dritte zu werfen. Warum auch? Kann doch ebenso ein Beltramisches Flächenwesen seelenruhig die Projektion eines dreidimensionalen Tetraeders in seiner Welt zeichnen und diese Figur analysieren! Wir selbst zeichnen Häuser, Bäume, Polyeder, Kugeln usw. ohne Scheu auf das Papier. Wir projizieren die Körper (R3) also in einen Rd-1, in den R2, in die Ebene. Man wende nicht ein, daß wir nicht in der Ebene herumkriechen. Mit eben demselben Recht könnte man behaupten, wir könnten uns vom Original (dem Haus usw.) keine Vorstellung machen, weil es ein R3 ist und wir selbst im R3 „herumkriechen“. Es liegt, wenn wir das gehörig überdenken, nahe, nachdem wir einmal die für alle Rd invarianten, also unveränderlichen Gesetze der Figurenbildung durchschaut haben, die Figuren des R4 in den R3 zu projizieren. Der deutsche Mathematiker Schlegel hat dies auch geleistet und Modelle aus Kupferdraht, Seidenfäden usw. angefertigt, deren Kopien sogar im Handel erhältlich sind und die gleichsam das „Zeichnen“ im R3 darstellen. Nun kann man nach den Regeln der Perspektive von jedem höher indizierten Rd in die niederen Rd-1, Rd-2 usw. projizieren. Wir dürfen also das Schlegel-Diagramm als S5 (aus dem R4) in den R3 projizieren, wo es noch ein körperliches „Modell“ ist. Dieses „Modell“ aber können wir dann weiter in den R2 projizieren, also,simpel gesagt, perspektivisch „abzeichnen“. Wir werden es sofort tun.


Vom Punkt zur Vierten Dimension Seite 441 picture cutout.jpg
Aus unserem Bild eines Körpers oder Polytops der nun gar nicht mehr unheimlichen vierten Dimension entnehmen wir tatsächlich alles, was wir nur wünschen. Wir können die fünf Eckpunkte zählen, zählen die zehn Kanten, die zehn Seitenflächen und die fünf Begrenzungstetraeder (1234, 1235, 1245, 1345, 2345) und stellen in Gemütsruhe fest, daß durch jeden Eckpunkt vier Kanten, sechs Seitenflächen und vier Seitenräume gehen. Letzteres ist etwas schwerer sichtbar. Man muß sich vorstellen, daß die Zellen zu den Seitenflächen des Tetraeders 2345 hinstreben. Weiters gehen durch jede Kante drei Seitenflächen und drei Seitenräume, endlich durch jede Seitenfläche zwei Seitenräume. Oder, wie de Vries es einfach ausdrückt: das S5 oder Fünfzell wird von fünf Tetraedern begrenzt, die zu zweit ein Dreieck (also zusammen zehn , Dreiecke), zu dritt eine Kante (also zusammen zehn Kanten) und zu viert einen gemeinsamen Eckpunkt (zusammen also fünf Eckpunkte) besitzen.
Etwas unheimlicher wird es uns, wenn wir hören, daß wir als Bewohner des R3 zweier Diagramme bedürften, um den Bau des S6 zu begreifen (S6 ist Simplex der fünften Dimension). Eines müßte in einem vierdimensionalen Seitenraum, der ein Fünfzell ist, und eines in einem dreidimensionalen Seitenraum (Tetraeder) eines solchen Fünfzells konstruiert und entsprechend in die niederen Dimensionen projiziert werden.
Noch einen kleinen Zauber wollen wir zeigen, bevor wir schließen: Wir sprachen eben beim Fünfzell davon, welche niederen Räume je zwei höhere Räume gemeinsam haben, d. h. einfacher, welche Schnittfigur sie miteinander bilden. Aus der gewöhnlichen Geometrie wissen wir, daß sich etwa zwei Ebenen in einer Geraden, zwei Körper in einer Ebene, ein Körper und eine Gerade in einer Geraden, ein Körper und eine Ebene in einer Ebene „schneiden“.
Und dies alles innerhalb verschiedener „Räume“.
Da wir nun für die mehrdimensionale Geometrie ein allgemeines invariantes „Schnittgesetz“ brauchen, hat man eine äußerst einfache Formel für dieses Problem aufgestellt. Es ist nämlich nicht nur wichtig, zu wissen, was für Rn einander schneiden, sondern auch, in welchem Rd sie einander schneiden. Und man ist sich heute darüber vollkommen klar, daß sich, falls die Dimensionszahlen n und m kleiner sind als die Dimensionszahl d), folgende Beziehung ergibt:
oder
Falls also zwei Figuren der Punktwerte und . zum Schnitt kommen, wobei und .
wobei nm die Dimensisonszahl der neuen -Schnittfigur und ihr Punktwert ist. Ist d, n und m bekannt, dann ist .
Wir wollen zuerst in dem uns bekannten R3 experimentieren. Unser d ist dann 3, eine Gerade 1, eine Ebene 2, ein Punkt 40. Also wird nm etwa für den Schnitt einer Ebene und einer Geraden im Raum , also die Gerade schneidet die Ebene im Raum in einem Punkt. Zwei Ebenen im Raum folgen der Beziehung , also sie schneiden einander in einer Geraden. Dabei muß aber zusammen stets mindestens gleich d sein, weil sonst der Schnitt in einer niedrigeren Dimension stattfindet und es möglich wäre, daß sich die Figuren kreuzen. So erhalten wir für zwei Gerade im R3 unser . Im R2 dagegen richtig . Das Minus heißt stets, daß noch Freiheitsgrade zum Kreuzen da sind und daß ein Schnitt nicht erfolgen muß. Er kann erfolgen und wir erfahren seine Art nur aus einem niedrigeren R, wo der Schnitt dann in der Regel ein Punkt ist. Im R4 schneiden einander eine Gerade und ein Körper nach , also in einem Punkt. Zwei Ebenen, was wir uns ebensowenig vorstellen können, nach , also auch in einem Punkt. Eine Ebene und ein Körper (R3) nach , also in einer Geraden. Zwei Körper schließlich, gemäß , in einer Ebene. Eine Gerade und eine Ebene dagegen können einander im R4 kreuzen. Denn usw. Das letzte Beispiel darf sofort in den R3 reduziert werden, wo sich Ebene und Gerade gemäß in einem Punkt schneiden, was wir ja wissen.
Es gibt nun, ebenso exakt wie alles Bisherige, eine Lehre von den Polytopen (den Vielkörperern), die es uns gestattet, Neigungswinkel von Seitenflächen usw. zu berechnen.
Dabei können Gerade auf Räumen R, senkrecht stehen und noch andere spukhafte Dinge vorkommen.
Wir können auch in jeder Dimension die Anzahl der regelmäßigen Überkörper oder Polytope feststellen, und wir erfahren, daß es im R4 sechs regelmäßige Polytope, das reguläre Fünfzell, Achtzell, Sechzehnzell, Vierundzwanzigzell, Hundertzwanzigzell und Sechshundertzell gibt. Vom R5 an dagegen gibt es in jedem R5, R6 ... Rn, wobei , nur mehr drei regelmäßige Polytope. Noch eine abschließende Bemerkung: Wir bewegten uns bisher bei unseren mehrdimensionalen Betrachtungen ausschließlich in einem ebenen, linearen, euklidischen Raum, was schon durch Ausdrücke wie Gerade, Ebene, Dreieck, Tetraeder (die wir ohne Beiwort gebrauchten) bestätigt wurde. Nun gibt es aber auch hier wieder Verallgemeinerungen nach allen Seiten. Riemann hat schon von beliebig dimensionalen Räumen sphärischen und pseudosphärischen Charakters gesprochen, und heute ist es Gemeingut der Mathematiker, daß Krümmung und n-Dimensionalität (wobei ) zwei Bestimmungsweisen des Raumes sind, die sowohl für sich als vereint auftreten können. Wir deuten nur an, daß darüber hinaus der „Raum“ wieder selbst nur eine Spielart höherer und umfassenderer Wesenheiten, der sogenannten n-dimensionalen „Mannigfaltigkeiten“ ist, ein Gedanke, den schon Riemann im Jahre 1854 ausgesprochen hat. Unsere geometrische Welt, verschwistert mit höchster und abstraktester Algebra, mit Funktionen- und Invariantentheorie, beginnt sich stets schwindelerregender vor uns emporzutürmen. Und kein Mensch kann sagen, wieviel davon „Wirklichkeit“, wieviel nur „Traum“ ist. Aber auch der geometrische „Traum“ folgt den Bahnen exaktester und strengster Logik - - -
Wir haben, so glauben wir, unser Versprechen erfüllt. Wen die Wehmut packt, daß wir diese Zauberreiche schon verlassen, der möge sich damit trösten, daß, wie schon erwähnt, etwa unsere mehrdimensionale Unterhaltung nur die ersten Anfangsgründe in einem euklidischen linearen Rd betraf. Das Studiums der eigentlichen Geometrie liegt nach allen Richtungen vor uns! Und wir alle, der Verfasser und seine treuen Leser, wollen den großen und größten Geistern, unseren wahren Lehrern, danken, die in selbstloser, heroischer Arbeit eine Türe nach der anderen aufbrechen, um uns einen nie endenden Einblick zu gewähren in das magisch glitzernde Reich der Geometrie, in die Welt der reinen Formen, deren unerschöpfliche Harmonie uns arme Geschöpfe des R3 einen schwachen Schimmer der Allmacht Gottes erahnen läßt.


* * * * * * * * ENDE des Buches * * * * * * * *


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