Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 224c

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Vom Punkt zur vierten Dimension. Geometrie für Jedermann.

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Vierundzwanzigstes Kapitel

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Kreisteilung und Kreisvielecke

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Nun wollen wir zur Gewinnung neuer Beziehungen innerhalb des Kreises uns die Aufgabe stellen, dem Kreis ein n-Eck einzubeschreiben, dessen Seiten in einer sichtbaren Relation zu Durchmesser oder Halbmesser stehen. Dazu aber wollen wir zuerst einige Worte über die Kreis- und Winkelmessung sagen. Wenn man durch den Mittelpunkt des Kreises zwei senkrecht zueinander stehende Durchmesser legt, so wird der Kreis durch diese vier rechten Zentriwinkel ebenfalls in vier gleiche Teile, in Viertelkreise oder Kreisquadranten zerlegt. Zerlegt man die rechten Winkel wieder in Hälften, so entstehen Kreisachtel oder Oktanten. Würde ich aber die Quadranten dritteln, dann erhielte ich Kreiszwölftel. Zwei dieser Zwölftel aber wären zusammen Kreissechstel oder Sextanten usw. Tatsächlich stellt man sich den Kreisumfang auf Grund uralter, schon von Babylon stammender Bräuche, in 360 gleiche Teile oder Bogengrade zerlegt vor, denen als Zentriwinkel 360 Winkelgrade entsprechen. Jeder dieser Grade kann wieder in 60 Bogen- bzw. Winkelminuten und jede Minute in 60 Bogen- oder Winkelsekunden zerlegt werden. Wir haben also als ganzen Kreis oder „vollen“ Winkel 360 Grade. Als Halbkreis oder „gestreckten“ Winkel 180 Grade, als Viertelkreis oder rechten Winkel 90 Grade. Zwischen 0 und 90 Graden liegen die spitzen, zwischen 90 und 180 Graden die stumpfen und zwischen 180 und 360 Graden die konvexen oder erhabenen Winkel, denen man manchmal alle Winkel zwischen 0 und 180 Graden als „hohle“ Winkel gegenüberstellt. Bei den entsprechenden Bogen haben wir diese Bezeichnungen spitz, stumpf, usw. nicht. Wir sprechen dort, wie schon erwähnt, von Halbkreis, Viertelkreis, Überhalbkreis, Vollkreis usw. Weiters ist, wie schon ausgeführt,

1 Grad = 60 Minuten und

1 Minute gleich 60 Sekunden,

in Zeichen 1° = 60',

1' = 60.

Daß dem Halbkreis keine aus Geraden gebildete einbeschriebene Figur entsprechen kann, ist klar. Denn wir haben nur zwei Schnittpunkte, die auf einer Geraden, dem Durchmesser, liegen. Wir wollen aber jetzt aus guten Gründen nicht aufsteigend nach den einbeschriebenen Figuren der Kreisdrittel, Kreisviertel usw. fragen, sondern beginnen mit dem Kreissechstel, dem Sextanten, dem als Winkel der 60grädige Winkel entspricht, da

360° : 6 = 60°.

Zeichnen wir einmal:

Wir erhalten 6 Winkel zu je 60°, denen sechs Bogen als Sechstelkreise entsprechen. Deren Sehnen sind auch untereinander gleich. Wie groß sind nun diese Sehnen? Die aus den Sehnen und den Radien gebildeten Dreiecke sind einmal sicherlich gleichschenklige Dreiecke. Ihre Basiswinkel, etwa $\alpha$ und $\beta$, sind also einander gleich. Da aber ein jedes Dreieck 180° Winkelsumme hat, so besteht in diesem Fall die Gleichung $60^{\circ }+\alpha +\beta =180^{\circ }$ oder, da $\alpha$ gleich $\beta$, $60^{\circ }+2\alpha =180^{\circ }$ somit $2\alpha =120^{\circ }$ und $\alpha =beta=60^{\circ }$. Wir haben also, da alle drei Winkel gleich sind 60°, sechs gleichseitige Dreiecke vor uns, und die Sehnen sind gleich dem Halbmesser. Daraus ergibt sich sofort die Konstruktion des 60grädigen Winkels, die dadurch bewerkstelligt wird, daß man auf irgend einer Geraden von irgend einem Punkt einen beliebigen Kreis zieht, und dann den Radius (Zirkelspannung) vom Schnittpunkt des Kreises mit der Geraden so auf den entstandenen Kreisbogen aufträgt, daß er ihn mit seinem Endpunkt als Sehne schneidet. Diesen Schnittpunkt verbindet man mit dem Mittelpunkt des Kreises und hat jetzt einen 60grädigen Winkel zwischen der ursprünglichen Geraden und dieser neuen Verbindungsgeraden. Doch darüber Genaueres im Kapitel über Konstruktionen.

Wir stellen uns nun die Aufgabe, nicht mehr sechs, sondern nur drei Punkte zu einer einbeschriebenen Figur zu verbinden. Es entsteht ein Dreieck, und, zwar wieder ein gleichseitiges, was man sofort aus den l20grädigen Zentriwinkeln sieht, die den drei Winkeln des Dreiecks zugeordnet sind. Diese drei Winkel sind eben 60grädige Peripheriewinkel über denselben Bogen. Wie lange sind jetzt die Sehnen? Nun, wir werden uns zu helfen wissen: a ist sicherlich eine Winkelsymmetrale des gleichschenkligen Dreiecks ABC, steht also auf dessen Basis b senkrechte Dieses b ist aber eben die „Sehne“, die uns interessiert. Nun ist aber das Dreieck ABC dem Dreieck AOC aus sichtbaren Gründen kongruent. Folglich wird auch a durch b halbiert. Wir gewinnen also nach dem „Pythagoras“ die Kathete ${\frac {b}{2}}$ sofort als Wurzel aus dem Hypotenusenquadrat $r^{2}$ und dem davon subtrahierten zweiten Kathetenquadrat $({\frac {a}{2}})^{2}$, was aber nichts anderes ist, als $r^{2}-({\frac {r}{2}})^{2}$, da $a=r$. Daher ist ${\frac {b}{2}}=sqrt{r^{2}-{\frac {r^{2}}{4}}}=sqrt{\frac {3\cdot r^{2}}{4}}={\frac {r}{2}}\cdot {\sqrt {3}}$. Oder $b=r\cdot {\sqrt {3}}$. Wir wollen die Unzahl von weiteren Möglichkeiten und Beziehungen, die sich hier ergeben, nicht weiter ausführen, da sie teils in allen Lehrbüchern enthalten sind, teils sich durch eigene Übung gewinnen lassen. Wir gehen jetzt vielmehr zum einbeschriebenen „Kreisviereck“ über, und zwar diesmal zuerst zum unregelmäßigen, da wir eine besondere Eigenschaft dieses Vierecks kennen lernen wollen.

Wir behaupten, daß in jedem Kreisviereck, und nur in einem solchen, je zwei gegenüberliegende Viereckswinkel zusammen 180° betragen und daß umgekehrt nur einem Viereck, das diese Eigenschaft hat, ein Kreis umbeschrieben werden kann. Daß in jedem Viereck die Winkelsumme $2\cdot 180^{\circ }=360^{\circ }$ beträgt, ergibt sich durch Ziehen einer Diagonale, die das Viereck in zwei Dreiecke zerlegt. Man kann es auch, wie in der Figur, dadurch beweisen, daß man von den Ecken vier Gerade zu einem Innenpunkt des Vierecks zieht und dann in diesen vier Dreiecken die Winkelsumme $4\cdot 180^{\circ }=720^{\circ }$ hat, wovon man die Winkelsumme um den Punkt O, also 360° abziehen muß, wodurch wieder 360° für die Winkelsumme des Vierecks verbleiben. Wir haben aber in unserem Fall nicht vier willkürliche Gerade in einem Punkt vereinigt, sondern vier Radien im Mittelpunkt des Um-Kreises. Dadurch gewinnen wir vier gleichschenklige Dreiecke und damit die Winkelsumme des Vierecks $2\alpha +2\beta +2\gamma +2\delta =360^{\circ }$. Division durch 2 ergibt $\alpha +\beta +\gamma +\delta =180^{\circ }$. Und ein Blick auf die Figur zeigt, daß tatsächlich je zwei gegenüberliegende Winkel des Vierecks jedesmal eben aus $(\alpha +\beta +\gamma +\delta )$ bestehen, also 180° groß sind,

was zu beweisen war.

Bevor wir zum regelmäßigen Kreisviereck übergehen, wollen wir noch einen zweiten allgemeinen Kreisvierecksatz, den Satz des Ptolemäus besprechen. Dieser Satz wurde vom Astronomen Ptolemäus im Jahre 150 n. Chr. Geburt in dessen sogenanntem „Almagest“ aufgestellt und von ihm zur Berechnung der trigonometrischen Tafeln benutzt. Dabei soll nicht unerwähnt bleiben, daß unser neuer Lehrsatz gleichsam ein verallgemeinerter „Pythagoras“ ist, der durch Annahme eines Kreisrechtecks direkt in den „Pythagoras“ übergeht. Er lautet: In jedem Kreisviereck ist das Produkt der beiden Diagonalen gleich der Summe der Produkte je zweier gegenüberliegender Seiten.

Zum Beweise ziehe man die Linie AE in der Art, daß der Winkel $\alpha '$ gleich wird dem Winkel $\alpha$. Dadurch gewinnt man die Kongruenz $\alpha \equiv \alpha '$ nach der Konstruktion. Eine weitere Kongruenz besteht zwischen den Peripheriewinkeln $\beta$ und $\beta '$, da beide über demselben Bogen DA stehen. Folglich sind, da jetzt auch $\gamma \equiv \gamma '$, die beiden Dreiecke ABE und ACD nach dem WWW-Satz ähnlich. Daher müssen sich homologe Seiten zur Proportion fügen. Etwa $AB:AC=BE:CD$. Diese Proportion kann durch Multiplikation der Außen- und Innenglieder in $AB\cdot CD=AC\cdot BE$ umgeformt werden. Da aber weiters $\alpha \equiv \alpha '$ und $\delta \equiv \delta '$ (wieder als Peripheriewinkel), so wird das Dreieck ADE ähnlich dem Dreieck ACB. Weshalb auch die neue Proportion $AD:AC=DE:BC$ gilt. Weiters ist daher $AD\cdot BC=AC\cdot DE$. Wir schreiben nun die beiden Schlußgleichungen untereinander und addieren sie:

${\begin{aligned}AC\cdot BE&=AB\cdot CD&\quad &\vert {\text{ I}}\\AC\cdot DE&=AD\cdot BC&\quad &\vert {\text{ II}}\\\hline \\AC\cdot (BE+DE)&=AB\cdot CD+AD\cdot BC&\quad &\vert {\text{ I+II}}\end{aligned}}$

also $AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC$, oder das Produkt der Diagonalen ist im Kreisviereck gleich der Summe aus den Produkten je zweier gegenüberliegender Seiten,

was zu beweisen war.

Im Kreisrechteck, in dem beide Diagonalen gleich sind und c heißen mögen, hätten wir paarweise die Rechteckseiten a und b einander gegenüberliegen. Unser Grenzfall oder spezieller „Ptolemäus“ lautet also $c\cdot c=a\cdot a+b\cdot b$ oder $c^{2}=a^{2}+b^{2}$, was unverkennbar nichts anderes ist als unser alter „Pythagoras“.

Nun wollen wir unsere Betrachtungen noch durch einen Strahlensatz ergänzen, der uns weitere Proportionen innerhalb des Kreises liefert. Der Satz lautet:

Wenn zwei beliebige Strahlen einen Kreis, schneiden, dann bilden die vier Abschnitte dieser Strahlen eine Proportion, deren innere Glieder die Abschnitte des einen Strahls und deren äußere Glieder die Abschnitte des anderen Strahls sind; oder das Produkt aus diesen Abschnitten ist für den einen Strahl dasselbe wie für den anderen.

Es soll also die Proportion bestehen: $MA:MC=MD:MB$ oder, was dasselbe ist, $MC\cdot MD=MA\cdot MB$.

Beweis:

$\sphericalangle AMD\equiv \sphericalangle BMC$ und $\sphericalangle MDA\equiv \sphericalangle MBC$ (Peripheriewinkel über demselben Bogen). Folglich nach dem WWW-Satz Dreieck MAD ähnlich dem Dreieck MBC. Daher entsprechen die homologen Seiten der Proportion $MA:MC=MD:MB$,

was zu beweisen war.

Wir werden, wie im vorliegenden Fall, unsere Beweise nicht mehr mit vielem Text versehen, da ich glaube, daß wir schon genügend Übung besitzen, um auch rein in Symbolen geschriebene Beweise rasch und sicher verstehen zu können. Dadurch aber werden wir sowohl Raum als auch Zeit ersparen, was unserer Stoffmenge sehr zugute kommen wird. Natürlich wählen wir aber den „kurzen Weg“ nur für schon bekannte Beziehungen. Neue werden wir nach wie vor ausführlich erläutern.

Wir sind aber jetzt sehr weit von unserer Kreisteilung abgeirrt, bei der wir es bisher noch unterließen, die Vierteilung zu zeigen. Wir meinen damit durchaus nicht die barbarische Hinrichtungsart früherer Zeiten, sondern höchst unschuldigerweise die Zerlegung des Kreises in die vier Quadranten.

Wie man sieht, entstehen vier rechtwinklig-gleichschenklige Dreiecke mit den Schenkeln r und der Basis a, die zusammen ein Quadrat bilden, da alle Basiswinkel wegen $90^{\circ }+2\alpha =180^{\circ }$ je $45^{\circ }$ groß sein müssen. Da aber auch die Basisstrecken alle vier gleich a sein müssen, da sie alle die Basis kongruenter Dreiecke sind (SWS-Satz), so ist jeder der vier Winkel des einbeschriebenen Vierecks gleich $2\cdot 45^{\circ }$, also $90^{\circ }$. Wir sehen weiters, daß die zwei Diagonalen des Quadrates Durchmesser des Umkreises, also einander gleich sind und daß sie einander in 0 halbieren. Schließlich, daß sie aufeinander senkrecht stehen. Die Quadratseite, aus der Diagonale (Durchmesser des Umkreises) berechnet, ist nach dem „Pythagoras“ $a={\sqrt {({\frac {d}{2}})^{2}+({\frac {d}{2}})^{2}}}={\sqrt {\frac {2\cdot d^{2}}{4}}}={\frac {d}{2}}\cdot {\sqrt {2}}$ oder $r\cdot {\sqrt {2}}$.

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