Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 223c

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Vom Punkt zur vierten Dimension. Geometrie für Jedermann.

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Dreiundzwanzigstes Kapitel

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Der Kreis

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Wir haben bisher ausschließlich von Punkten, Geraden und Ebenen gesprochen. Das sogenannte „Krumme“ oder „Gekrümmte“ ist bei unseren aufbauenden Betrachtungen überhaupt noch nicht vorgekommen. Worin besteht nun das Wesen des Gekrümmten? Und wo gibt es Gekrümmtes? Es ist wohl einleuchtend, daß dieser Begriff im R₀, also beim Punkt, kaum eine Rolle spielen kann. Denn ein „krummer Punkt“ ist selbst für den an manchen beizenden Fiktionstabak gewöhnten Geometriker zu viel. Im R₁ dagegen gibt es schon dergleichen. Jeder weiß auch, was eine krumme Linie ist. Wodurch nun unterscheidet sie sich von der geraden Linie? Darauf zu antworten ist keineswegs so leicht, wie es aussieht. Denn die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten muß durchaus nicht eine Gerade sein, wie wir sie uns für gewöhnlich vorstellen. Man denke etwa an die Kugeloberfläche. Dort ist das Geraden-Surrogat eben ein Stück eines Größtkreises. Vielleicht nehmen wir mit Mohrmann (Hans Mohrmann, Einführung in die nichteuklidische Geometrie. Leipzig 1930) die Definition des Philosophen Hans Cornelius für unsere Zwecke als Richtschnur und definieren die Gerade im Gegensatze zur Krummen als ein Liniengebilde, bei dem jeder Teil stets und unbedingt der ganzen Linie ähnlich ist, so weit man sie auch verlängert. Das ergäbe eine gewisse „ausgezeichnete“ oder „bevorzugte“ Stellung der euklidischen Geraden, die wir später aus höheren Rücksichten wieder fallen lassen werden. Wir haben aber jetzt einen Prüfstein des Geradeseins in der Hand.

Man könnte auch den Begriff der Richtung in unsere Erörterung ziehen und behaupten, eine Linie, die stets die gleiche Richtung behalte, sei eine Gerade. Nur führt dieser Begriff, so einleuchtend er scheint, deshalb leicht in Zirkelschlüsse, weil „Richtung“ und „Geradesein“ einander in gewissem Maße gegenseitig voraussetzen. Solange wir jedoch in der euklidischen Geometrie bleiben, wollen wir den Begriff der Richtung ruhig verwenden, da er dort zu keinerlei Zweideutigkeiten Anlaß geben kann. Daß es auch im R₂ und R₃ krumme Gebilde, nämlich krumme Flächen und krumme Räume gibt, sei hier vorläufig bloß angedeutet.

Nun kann eine krumme Linie ihre Richtung auch zeitweilig beibehalten und in eine Gerade übergehen. Daher hat man etwa in der analytischen Geometrie den Spieß umgedreht und spricht dort überhaupt nur von krummen Linien oder Kurven. Die Gerade ist dort eben eine besondere Art von Kurve, nämlich eine Kurve, deren Krümmung unmerkbar klein ist, was dasselbe heißt, als wie, daß eine Krümmung nicht vorliegt. Die Gerade ist eben ein Grenzfall, gleichwie die Parallelen ein Grenzfall der einander schneidenden Geraden und die einander schneidenden Geraden ein Grenzfall der Kegelschnittskurven sind. Solche Verallgemeinerungen geben es uns an die Hand, gewisse Lehrsätze über ihr ursprüngliches Gebiet hinaus anzuwenden und die Formbeharrung oder Struktur-Invarianz dieser Sätze zu behaupten, bzw. auf Grund solcher Invarianzen neue Beziehungen zu entdecken.

Wir werden über all dies noch sprechen. Jetzt wenden wir uns dem sicherlich einfachsten und regelmäßigsten krummen Gebilde zu, das wir kennen, nämlich dem Kreis oder Zirkel (circulus = Kreis). Vorher aber müssen wir noch den Begriff des „geometrischen Ortes“ erläutern, da. er uns bei der Untersuchung des Kreises von Nutzen sein wird. Ein geometrischer Ort ist ein geometrisches Gebilde, das die Eigenschaft besitzt, gleichsam das Sammelbecken gewisser geometrischer Beziehungen zwischen mehreren geometrischen Gebilden zu sein. So ist etwa die Winkelhalbierende der „geometrische Ort“ aller Punkte, die von den beiden Schenkeln des Winkels den gleichen Abstand haben. Oder eine Ebene ist der „geometrische Ort“ aller Punkte, die von einer zweiten zu ihr parallelen Ebene die gleichen Abstände besitzen. Geometrische Orte können Punkte, Linien, Flächen oder Körper sein. Denn das Zentrum eines Strahlenbündels, also ein Punkt, ist der geometrische Ort aller Strecken, die von diesem Punkt gleichweit geschnitten werden, wenn man etwa das Bündel durch eine Kugelfläche schneidet, deren Mittelpunkt mit dem Zentrum identisch ist. Dieses letzte Beispiel geht aber schon über das hinaus, was wir voraussetzen dürfen. Darum schließen wir schnell unsere Vorbemerkung und behaupten, der Kreis sei nichts anderes als der geometrische Ort aller Punkte, die von einem nicht in der Kreislinie liegenden Punkt, dem sogenannten Mittelpunkt, die gleichen Abstände haben. Oder der Mittelpunkt sei der geometrische Ort aller Schnittpunkte der längstmöglichen Verbindungsstrecken zwischen je zwei Kreispunkten. Damit hätten wir schon mehrere wichtige Eigenschaften des Kreises definiert, denen wir noch mehrere andere hinzufügen wollen:

Der Kreis ist eine krumme, und zwar an jeder Stelle krumme Linie, die an jeder Stelle in gleicher Art ihre Richtung ändert. Er ist weiters eine geschlossene, in sich zurückkehrende, also durch keinerlei Endpunkte begrenzte, demnach eine „unbegrenzte“ Linie. Er hat weiter die Eigenschaft, daß es innerhalb seines Umfanges - worunter man die Gesamtlänge der Kreislinie versteht, die von irgend einem Punkt bis wieder zu diesem Punkt gemessen wird - daß es also innerhalb seines Umfanges einen Punkt, den sogenannten Mittelpunkt gibt, der von allen Punkten der Kreislinie gleichweit entfernt ist. Außerdem gibt es längste Verbindungsgerade zweier Kreispunkte, die sogenannten Durchmesser oder Diameter, die einander sämtlich in diesem Mittelpunkt schneiden. Die Hälfte solch eines Durchmessers heißt Halbmesser oder Radius und ist mit dem schon erwähnten Abstand des Mittelpunktes vom Kreisumfang, an welcher Stelle immer, identisch.

Der Radius wird mit r der Durchmesser mit d, der Mittelpunkt mit O bezeichnet. Eine Strecke, die zwei Kreispunkte verbindet, heißt eine Kreissehne (s). Verlängert man Durchmesser oder Sehne nach außerhalb des Kreises, so spricht man von einer Kreisschneidenden oder Sekanten des Kreises. Wir dürfen also nach unserer Verallgemeinerungsmethode sagen, daß eine Sekante innerhalb des Kreises durch ihre zwei Schnittpunkte eine Sehne erzeugt. Diese Sehne nun kann verschieden groß sein. Ist sie die größtmögliche Sehne, die durch den Mittelpunkt des Kreises geht, dann nennt man die Sehne einen Durchmesser. Wird die Sehne aber durch Zusammenrücken der beiden Endpunkte immer kleiner, bis sich die beiden Punkte schließlich zu einem einzigen vereinigen, dann hat die Sekante mit dem Kreis nur mehr einen Schnittpunkt gemeinsam, der alsdann der Berührungspunkt heißt und die Kreisschneidende in die Kreisberührende, in die sogenannte Tangente (t) umwandelt. Verbindet man nun den Kreismittelpunkt mit dem Berührungspunkt der Tangente, so entsteht der sogenannte Berührungsradius, der auf der Tangente, wie wir sehen werden, stets senkrecht steht, mit ihr also zwei rechte Nebenwinkel bildet. Verbindet man dagegen den Mittelpunkt mit den beiden Endpunkten einer Sehne, dann entsteht aus der Sehne und den beiden Verbindungsradien ein gleichschenkliges Dreieck, das die Radien zu Schenkeln und die Sehne zur Grundlinie oder Basis hat. Schließlich heißt ein durch eine Sehne oder durch zwei Radien abgeschnittenes Stück des Gesamtkreises (Umfanges oder der Kreis-Peripherie) ein Kreisbogen (b). Jeder Bogen aber erzeugt einen zweiten Bogen, der ihn' zum ganzen Kreisumfang ergänzt. Man weiß also nicht von vornherein, um welchen der beiden Bogen es sich handelt. Daher führt man, wo es angeht, die Betrachtungen im Halbkreis durch, oder man legt sich darauf fest, daß stets der Bogen gemeint sein soll, der kleiner ist als ein Halbkreis. Volle Eindeutigkeit gewinnt man aber nur dadurch, daß man die Endpunkte des Bogens mit großen Buchstaben bezeichnet und einen bestimmten Richtungssinn, etwa den umgekehrten Drehsinn des Uhrzeigers, festsetzt. So werden wir es auch stets handhaben. Dann ist eben der Bogen AB in der Figur kleiner als der Halbkreis und der Bogen BA größer als der Halbkreis. Aber selbst Halbkreise sind nach dieser Methode von einander zu unterscheiden. Denn A'B' ist dann der obere und B'A' der untere Halbkreis.

Nun sofort ein Beweis dafür, daß der Radius auf die Tangente senkrecht stehen muß. Alle Radien sind nach der Definition und nach der Entstehungsart des Kreises gleich lang. Der Kreis entsteht nämlich entweder dadurch, daß ein Punkt seiner Strecke stehen bleibt, während der andere mit der Strecke um dieses „Zentrum“ wandert. Oder etwa rein mechanisch dadurch, daß wir den Radius im Zirkel (einem starren Winkel) einstellen und hierauf den Zirkel um die im Mittelpunkt festgestellte „Spitze“ als Kegel rotieren lassen. Der Kreis entsteht dann als Schnitt der Papierebene mit diesem rotierenden Kegel oder bei Neigung des Zirkels mit mehreren Kegeln, die als schiefe Kreiskegel zu betrachten sind. Aus projektiven Gründen ändert aber dieses Schwanken der Kegelachse nichts am projektiven Erzeugnis, das auf jeden Fall ein Kreis werden muß, wenn nur der Halbmesser starr eingestellt bleibt. Also sind, wie wir es auch immer betrachten, sicherlich alle Radien einander gleich.

Wo ich nun immer neben dem Berührungsradius einen zweiten Radius ziehe, muß ich ihn verlängern, um die Tangente zu erreichen. Daraus folgt schon, daß es nur einen Berührungsradius geben kann. Da aber dieser Berührungsradius zudem noch die kürzeste Verbindung zwischen Mittelpunkt und Tangente ist und da das Lot oder die Senkrechte stets die kürzeste Verbindung eines Punktes mit einer Geraden ist, da eine Hypotenuse immer langer sein mußt als jede der Katheten, haben wir den Beweis erbracht, daß der Berührungsradius, auf der Tangente senkrecht stehen muß. Außerdem aber haben wir bewiesen, daß es nur einen Berührungsradius geben kann. Aus dieser Eigenschaft der Tangente ist auch das klaglose Funktionieren der Zirkelreißfeder, die stets senkrecht zum Radius in der Tangente steht, erklärlich. Ebenso ist diese geometrische Beziehung die Voraussetzung der Möglichkeit des Metalldrehens, des Fräsens und der Kreissäge. Ebenso des sogenannten Schleifens. Von anderen wichtigen technischen Anwendungen, wie der Schiene, der Zahnstange usw. wollen wir gar nicht näher sprechen, da wir sie als allgemein bekannt voraussetzen.

Wir wollen sogleich eine weitere wichtige Eigenschaft der Tangenten des Kreises näher betrachten: Wenn man nämlich von irgend einem Punkt S außerhalb des Kreises die beiden Tangenten an den Kreis zieht, der ganz beliebig liegen kann, dann müssen die Verbindungsstrecken vom Punkt S zu den Berührungspunkten A und B gleich groß sein. Der Beweis hiefür ist sehr einfach zu führen. Verbindet man S zudem noch mit dem Mittelpunkt des Kreises und zieht man die beiden Berührungsradien, dann entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke SAO und SBO, in denen die Seiten AO und BO, die ja Radien sind, gleich sein müssen. Die dem größten Winkel gegenüberliegende Seite OS ist aber gemeinsam. Außerdem ist aber dieser größte Winkel als rechter Winkel in beiden Dreiecken gleich. Es gilt somit der SsW-Satz. Folglich ist $SAE\equiv SB$, was zu beweisen war.

Daraus folgt aber weiter, daß SO die Winkelhalbierende des Winkels bei S ist, und daß sie demnach die Berührungssehne, die man durch Verbindung von A und B gewinnen kann, in zwei gleiche Teile teilt, die beide auf SO senkrecht stehen.

Wir werden jetzt, im Zusammenhang mit unseren beiden Tangenten, eine für zahlreiche Aufgaben über den Kreis grundlegend wichtige harmonische Eigenschaft des Kreises aufzeigen. Zieht man nämlich eine Verlängerung des Kreisdurchmessers bis zu einem beliebigen, außerhalb des Kreises gelegenen Punkt G, und zieht man weiters aus diesem Punkt G die beiden Tangenten an den Kreis, dann wird der Kreisdurchmesser AB durch die Berührungssehne TU im Punkte F harmonisch getrennt. Das heißt, es besteht die Proportion $AF:BF=AG:BG$ oder ${\frac {AF}{BF}}:{\frac {AG}{BG}}=-1$ oder $AB=M_{H}={\frac {2a\cdot b}{a+b}}$, wobei unter $M_{H}$ das harmonische Mittel, unter a die Strecke AF und unter b die Strecke AG zu verstehen ist. Zur Kontrolle haben wir als Hilfsfigur über unsere Kreiskonstruktion ein Büschel harmonischer Strahlen gezeichnet, wie wir es im Kapitel 22 zur Konstruktion harmonischer Punkte benützten.

Wie wir sehen, konnten wir unsere Behauptung, die sich übrigens auch unschwer beweisen läßt, durch die Konstruktion „verifizieren“. Durch diese Konstruktion aber gewinnen wir, da der Punkt M willkürlich ist, sofort wieder eine ganze Fülle neuer Beziehungsmöglichkeiten. Wir müssen es uns aber leider versagen, hierauf näher einzugehen, da uns weitere, äußerst grundlegende und wichtige Eigenschaften des Kreises interessieren. Wir unterscheiden im Kreise vorläufig drei Arten von Winkeln. Die Peripheriewinkel, die Zentriwinkel und den Sehnen-Tangentenwinkel, der manchmal zu den Peripheriewinkeln gezählt wird. Dazu wird dann später als besonders merkwürdiger Peripheriewinkel der sogenannte „Winkel im Halbkreis“ kommen. Unter Peripheriewinkel versteht man einen Winkel, dessen Scheitel in der Peripherie liegt und dessen Schenkel Sehnen des Kreises sind. Hiebei wird, wie schon angedeutet, die Tangente oftmals als degenerierte Sekante betrachtet, so daß der Sehnen-Tangentenwinkel zum Grenzfall des Peripheriewinkels entartet. Der Zentriwinkel dagegen hat seinen Scheitel im Mittelpunkt des Kreises und seine Schenkel sind demgemäß immer zwei Radien des Kreises. Der Winkel im Halbkreise endlich ist ein Sonderfall des Peripheriewinkels, bei dem die beiden Schenkel durch die Endpunkte eines Durchmessers laufen. Wir werden uns alle vier Fälle, die sich eigentlich auf zwei, nämlich Peripherie- und Zentriwinkel, reduzieren lassen, in einer Figurenreihe festhalten.

Nun behaupten wir folgende Eigenschaften dieser Winkel: Peripheriewinkel, die über demselben Kreisbogen, oder was dasselbe ist, über derselben Sehne stehen, sind einander stets gleich. Diese Gleichheit erstreckt sich auch auf den Sehnen-Tangentenwinkel, der die Basissehne zu einem seiner Schenkel hat. Wenn man weiters über demselben Bogen (oder derselben Sehne) den Zentriwinkel bildet, dann ist dieser Zentriwinkel zweimal so groß als die „zugehörigen“, d. h. eben die über demselben Bogen errichteten Peripheriewinkel, eine Beziehung, die sich naturgemäß auch auf den vorhin festgesetzten Sehnen-Tangentenwinkel überträgt. Schließlich wird der Winkel im Halbkreis, da er ja nichts anderes ist als ein Peripheriewinkel über dem Durchmesser, also über einem gestreckten oder 180grädigen, aus den zwei aneinandergefügten Radien bestehenden Zentriwinkel, stets 90° oder einen rechten Winkel betragen, an welcher Stelle auch immer man ihn errichtet. Man kann nun den ersten Satz von der Gleichheit der Peripheriewinkel, die über demselben Bogen stehen, direkt auf projektivem Weg beweisen. (Also nicht auch die Winkel, die ihren Scheitel im Bogen selbst haben. Diese sind Supplemente der ersten Peripheriewinkel, wie wir sehen werden.)

Wir wählen jedoch einen weniger eleganten, doch ausführlicheren Beweis, der zugleich auch die Beziehung zum Zentri- und Sehnen-Tangentenwinkel klärt, da wir beim projektiven Beweis zu viele Hilfssätze neu einführen müßten.

Wir schließen nun bei der Figur 83 (linke Seite) folgendermaßen: Die Winkel $\alpha$ und $\beta$ sind mit dem Winkel $\rho$, also mit dem Peripheriewinkel gleich, da wir ja die Geraden RS und FQ absichtlich parallel zu den Schenkeln des Peripheriewinkels gezogen haben. Und zwar durch den Kreismittelpunkt, was für später wichtig ist. Nun ist der Bogen RB plus dem Bogen AP plus dem Bogen PR zweimal so groß wie der Bogen PB, weil PR einerseits gleich ist dem Bogen QS, andererseits sich dieser Bogen QS jedoch aus CS und QC zusammensetzt. Nun ist weiter der Bogen CS gleich Bogen RB und Bogen QC gleich Bogen AP, da im Kreise Bogen zwischen parallelen Sekanten stets gleich sein müssen, wofür wir vorläufig keinen eigenen Beweis bringen, da es uns auch die Anschauung glaubwürdig macht. Wenn aber somit der ganze Bogen AB doppelt so groß ist wie PR, dann ist der Zentriwinkel über AB doppelt so groß wie der Zentriwinkel über PR. Denn Zentriwinkel über verschiedenen Bogen sind diesen Bogen proportional, was wir bei der Winkelmessung noch genauer erörtern werden. Somit ist Winkel $\eta$ doppelt so groß wie Winkel $\alpha$. Da aber endlich Winkel $\alpha$ gleich Winkel $\rho$, so ist Winkel $\eta$ doppelt so groß wie Winkel $\rho$, was zu beweisen war. Aber auch der Sehnen-Tangentenwinkel $\gamma \equiv \alpha \equiv \rho ={\frac {1}{2}}\eta$. Denn AOB ist ein gleichschenkliges Dreieck. Folglich ist seine Winkelsumme $\eta +2\varepsilon =180^{\circ }$. Die Winkel $\gamma +\varepsilon$ aber sind zusammen 90°. Da aber $\gamma +\varepsilon =90^{\circ }$, so ist $\varepsilon =90^{\circ }-\gamma$. Also, in die erste Gleichung eingesetzt:

$\eta +2\cdot (90^{\circ }-\gamma )=180^{\circ }$ oder

$\eta +180^{\circ }-2\gamma =180^{\circ }$ oder

$\eta =2\gamma$,

was zu beweisen war.

Den Beweis für die zweite Figur, wo der eine Schenkel des Peripheriewinkels den einen Schenkel des Zentriwinkels schneidet, führen wir schematischer. Dabei bedeutet der Bogen oberhalb der Großbuchstaben den betreffenden Kreisbogen. Also heißt ${\widehat {AB}}$ „Bogen AB“. In der zweiten Figur ist

${\widehat {R'B'}}+{\widehat {P'R'}}-{\widehat {P'A'}}=2{\widehat {P'R'}}={\widehat {A'B'}}{\widehat {AB}}$, da ${\widehat {P'R'}}={\widehat {Q'S'}}={\widehat {C'S'}}-{\widehat {C'Q'}}$.

Daher ist Winkel $\eta '$ zweimal so groß wie Winkel $\alpha '$, wie Winkel $\beta '$ und damit wie Winkel $\rho '$,

was zu beweisen war.

Damit hätten wir alle unsere Behauptungen durch Beweise erhärtet, da auch der Winkel im Halbkreis nichts anderes ist als ein spezieller Peripheriewinkel, dessen zugehöriger Zentriwinkel 180° ist. Wir haben aber zudem noch unseren Beweis auf alle möglichen Fälle bis einschließlich dem Grenzfall des Sehnen-Tangentenwinkels ausgedehnt, so daß wir in vollster Allgemeinheit behaupten dürfen, der zugehörige Peripheriewinkel sei stets halb so groß wie der Zentriwinkel. Da aber weiters zu jedem Zentriwinkel unendlich viele zugehörige Peripheriewinkel über demselben Bogen oder derselben Sehne existieren, die alle gleich der Hälfte des einen Zentriwinkels sind, so sind sie auch untereinander gleich. Also alle Peripheriewinkel über derselben Sehne oder demselben Bogen sind einander gleich, was zu beweisen wir noch schuldig waren. Hiezu sei bemerkt, daß diese Eigenschaft der Peripheriewinkel in der Praxis von großer Bedeutung ist. Wenn man nämlich die Vorderkante einer Theaterbühne als Kreissehne betrachtet, braucht man die Sitzreihen des Theaters nur in entsprechender Kreisform anzulegen, wodurch dann jedem Zuseher, wo immer er auch sitzt, die Bühne unter gleichgeöffnetem Sehwinkel erscheinen muß. Denn die Sehwinkel sind ja dann nichts anderes als Peripheriewinkel, die alle gleich sein müssen; Natürlich bezieht sich dieser Vorteil nur auf die „Öffnung“ des Sehwinkels und nicht auf die perspektivische Schräge, unter der gesehen wird. Denn die Schräge hängt davon ab, unter welchem Winkel die Vorderkante der Bühne die Achse des Sehstrahlenbüschels oder -bündels schneidet.

Obgleich wir nun den 90grädigen Winkel im Halbkreis schon mitbewiesen haben, wollen wir trotzdem noch einen abgesonderten Proportionenbeweis für diesen fundamental wichtigen Satz erbringen, an den wir dann weitere Betrachtungen anschließen werden. Man nennt diesen Satz auch den Lehrsatz des Thales von Milet, eines Weltweisen, den wir schon vom „Entfernungsmesser“ her kennen.

Da AB voraussetzungsgemäß ein Durchmesser des Kreises ist - denn nur durch Ziehen eines solchen kann ja der „Halbkreis“ entstehen -, so liegt auf ihm der Mittelpunkt des Kreises O. Wenn ich nun von O nach dem Scheitel des Peripheriewinkels über AB eine Verbindungslinie lege, so ist diese Strecke OC ebenso wie OA und OB ein Halbmesser des Kreises. Dadurch aber entstehen zwei gleichschenklige Dreiecke AOC und BOC. In diesen existieren je zwei gleiche Winkel $\alpha$ bzw. $\beta$. Da nun weiters im Dreieck $ABC$ die Winkelsumme $(2\alpha +2\beta =180^{\circ }$ betragen muß, so ist $(\alpha +\beta )={\frac {180}{2}}=90^{\circ }$. Da aber $(\alpha +\beta )$ nichts anderes ist als unser Winkel im Halbkreis, so ist dieser Winkel eben stets $90^{\circ }$ oder ein Rechter, was zu beweisen war.

Dieser rechte Winkel im Halbkreis spielt nicht nur für geometrische Konstruktionen und Beweise eine, ganz besondere Rolle, sondern kann auch zur konstruktiven Darstellung von Quadratwurzeln benützt werden. Wir werden die ingeniöse Art, in der ein Leonardo da Vinci mit Hilfe dieser Eigenschaft des Halbkreiswinkels Wurzeln zog, sogleich demonstrieren. Er verlangt nichts anderes, als daß man die Zahl, aus der die Wurzel zu ziehen ist, sagen wir etwa 7, in gleichen Strecken beliebiger Länge auf eine Gerade auftrage, hierauf die Einheit anfüge, über diese um eins vergrößerte Zahlenstrecke einen Halbkreis errichte und hierauf schließlich vom Endpunkt der Maßstrecke (Strecke 7) eine Senkrechte bis zum Kreisumfang ziehe. Wo diese Senkrechte den Kreis schneidet, ist der Endpunkt der „Wurzelstrecke“. Ihr' Anfangspunkt liegt in unserer Geraden, die ja nichts ist als ein Durchmesser des Kreises. Folgen wir also zuerst der Anleitung und versuchen wir dann den Beweis.

Wir sind der Anleitung gefolgt und die Strecke CD oder x müßte die gesuchte Wurzel aus 7 sein. Zum Beweis behaupten wir zuerst, daß die beiden Dreiecke ADC und DBC einander ähnlich sind. Jedenfalls sind beide Winkel bei D rechte Winkel, da wir ja eine Senkrechte gezogen haben. Der Winkel $\alpha$ ist aber auch mit $\alpha '$ gleich, da ihre Schenkel paarweise aufeinander senkrecht stehen $(AC\perp CB,AD\perp CD)$. Diese Beziehung besteht aber nur dann, wenn der Winkel im Halbkreise ein rechter ist. Dadurch jedoch sind wieder die dritten Winkel der beiden erwähnten Dreiecke einander ebenfalls gleich. Deshalb aber müssen sich, da wir die Ähnlichkeit nach dem WWW-Satz festgestellt haben, auch die Verhältnisse homologer Seiten der beiden Dreiecke zu einer richtigen Proportion verbinden lassen. Also etwa $AD:x=x:DB$. Wenn wir nun weiters statt der Strecken die diese Strecken repräsentierenden Zahlenwerte nehmen, erhalten wir $7:x=x:1$ oder $X^{2}=7$. Folglich ist $x={\sqrt {7}}$,

was zu beweisen war.

Natürlich ist dieser Wurzelwert in denselben Einheiten zu messen, die wir zur Streckenteilung verwendet haben. Der Trick dieser wunderbaren Lösung liegt darin, daß wir erstens als Wurzel die sogenannte „mittlere geometrische Proportionale“ des rechtwinkligen Dreiecks ABC verwendeten, die nichts anderes ist als die einzige Höhe, die sich in diesem sowie in jedem anderen rechtwinkligen Dreieck ziehen läßt. Sind a und b die Katheten und c die Hypotenuse eines solchen Dreiecks, während man die Proportionale etwa mit h und die beiden Hypotenusenabschnitte mit p und r bezeichnet, dann gilt stets $a:h=h:b$, also $h^{2}=a\cdot b$ und $h={\sqrt {a\cdot b}}$, oder $p:h=h:r$, also $h^{2}=p\cdot r$ und $h={\sqrt {p\cdot r}}$. Übrigens lassen sich noch weitere Proportionen bilden, da ja jedes der Teildreiecke dem ganzen Dreieck ähnlich ist. Nun finden wir aber vorläufig nicht Wurzeln aus Strecken, sondern nur solche aus Streckenprodukten. Wir könnten allerdings mittels des Maß-Pascal diese Produkte als Strecken gewinnen, davon aber hätten wir nichts. Denn wir wollen die zu radizierende Strecke vorher angeben u und nicht erst nachträglich errechnen. Nun macht Leonardo den zweiten Trick, den man sich genau ansehen möge, und der im tiefsten Grund auch der Streckenrechnung mittels des Maß-Pascals unterlegt ist: Er setzt nämlich die eine der zu multiplizierenden Strecken gleich eins und behält damit den unveränderten Wert der zweiten Strecke. Diesen Trick werden wir uns gut merken. Überall dort, wo ich multiplizieren oder dividieren muß und trotzdem nur das eine Glied dieser Rechnung behalten will, setze ich entweder einen der Faktoren oder den Divisor (Nenner) gleich eins. Ich könnte auch den Dividenden (Zähler) gleich eins setzen, erhielte aber dadurch den Kehrwert der von mir erstrebten Größe.

Nun wollen wir noch auf etwas anderes aufmerksam machen, das uns schon oft begegnet ist. Bei Aufgaben über den Kreis soll man peinlichst alle in der betreffenden Figur vorkommenden Radien sofort mit r bezeichnen. Denn die Lösung der meisten Aufgaben benützt diese Gleichheit der Halbmesser und die sich daraus leicht ergebenden Sätze über das gleichschenklige Dreieck, wie die Gleichheit der Basiswinkel dieses Dreiecks, die Symmetrieeigenschaften von dessen Höhe usw. Die „Verhältnisse“ innerhalb des Kreises werden dadurch ungeheuer einfach, wie wir gleich sehen werden. Wir wollen etwa einen von uns schon früher benützten Satz beweisen, daß die Kreisbögen zwischen Parallelen gleich sein müssen. Dazu verwenden wir den Fundamentalsatz der Kreismessung und der Winkelmessung, daß zu gleichen Zentriwinkeln gleiche Bogen gehören müssen und umgekehrt, vorausgesetzt, daß es sich für beide Fälle um denselben Kreis handelt.

Wenn unsere beiden Parallelen g und g₁ den Kreis schneiden und wir von den Schnittpunkten A, B, C, D vier Halbmesser zum Mittelpunkt ziehen, dann erhalten wir zwei gleichschenklige Dreiecke AOD und BOC. Daher ist $\sphericalangle \alpha \equiv \sphericalangle \beta$ und diesen beiden als Wechselwinkel $\equiv \sphericalangle \gamma$ und $\sphericalangle \delta$. Dann sind weiters als deren Nebenwinkel gleich die Winkel $\varepsilon$ und $\xi$. Und diesen wieder als Scheitelwinkel die Winkel $\eta$ und $\vartheta$. Da aber weiters die Winkel $\iota$ und $\varkappa$ als Basiswinkel gleich sind, sind auch die Zentriwinkel der Bogen AB und CD, nämlich $\sphericalangle \lambda$ und $\sphericalangle \mu$ gleich. Aus dieser Gleichheit aber folgt die Gleichheit der Bogen AB und CD,

die zu beweisen war.

Falls der Mittelpunkt des Kreises innerhalb von g und g₁ liegt, ist der Beweis mit einer Hilfsparallelen durch O leicht zu führen.

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