Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 220c

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Vom Punkt zur vierten Dimension. Geometrie für Jedermann.

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Zwanzigstes Kapitel

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Arten der Dreiecke

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Wir gehen aus guten Gründen erst jetzt zur Besprechung der einzelnen Spielarten der Dreiecke über. Wir stellen sie nebeneinander und sehen- das ungleichseitige, das rechtwinklige, das gleichschenklige und das gleichseitige Dreieck. Dabei betonen wir, daß die unregelmäßigste unter den Figuren einer Gattung (hier „Dreiecke überhaupt“) stets den allgemeinsten Fall darstellt. Was für das ungleichseitige Dreieck bewiesen ist, gilt für alle anderen Arten von Dreiecken.

Nun wären noch andere Spezialformen oder auch Mischformen dieser vier Typen möglich. So etwa spitzwinklige oder stumpfwinklige ungleichseitige Dreiecke, je nachdem ob ein Winkel über 90° im Dreieck enthalten ist. In der Figur ist das Dreieck ABC' ein stumpfwinkliges mit dem stumpfen Winkel bei B. Dann gäbe es noch ein rechtwinkliggleichschenkliges Dreieck, das wir von unseren Dreiecklinealen her kennen und das wegen der Gesamtwinkelsumme von 2R oder 180° wohl als Winkel an zwei Winkel von je 45° haben muß. Das gleichseitige Dreieck besitzt aus demselben Grund der Winkelsumme drei Winkel α von je 60° Winkelgröße.

Da wir bisher aus Rücksichten der Allgemeinheit unserer Besprechungen fast ausschließlich mit ungleichseitigen Dreiecken operierten, wollen wir nun über die Spezialtypen sprechen.

1. Das rechtwinklige Dreieck ist vielleicht die wichtigste Figur der ganzen Geometrie. Denn das besondere Verhältnis seiner Seiten, das den Inhalt des sogenannten Pythagoräischen Lehrsatzes ausmacht, ist fast bei keiner geometrischen Konstruktion oder Berechnung zu entbehren. Anderseits bildet dieses Dreieck aber auch die Grundfigur zur Gewinnung der Beziehungen zwischen den Winkeln und den Seiten, also zu den sogenannten goniometrischen Funktionen, die wieder Grundlage und Rüstzeug der Trigonometrie, der vollkommensten Dreiecksmeßkunst sind. Es ist sicherlich die bekannteste geometrische Tatsache, daß die Summe der Quadrate der beiden, den rechten Winkel bildenden sogenannten Katheten gleich ist dem Quadrate der dritten Seite, der Hypotenuse. Wir nehmen die Bezeichnung „Quadrat“ vorläufig rein arithmetisch und definieren die „zweite Potenz“ oder „das Quadrat“ einer beliebigen Zahl n als das Produkt, das man erhält, wenn man n mit sich selbst multipliziert. Unser n² ist also gleich n·n. Wir werden nun solch ein rechtwinkliges Dreieck einmal nach der Proportionenlehre einer genauen Untersuchung unterwerfen und zusehen, was wir dabei gewinnen können.

Die auf die Hypotenuse gefällte Senkrechte oder Höhe h nennen wir die „mittlere geometrische Proportionale“. Die beiden anderen Höhen des rechtwinkligen Dreiecks fallen definitionsgemäß mit den Katheten a und b zusammen, so daß der Schnittpunkt der drei Höhen im rechtwinkligen Dreieck stets im Punkt C liegen muß. Es folgt nun aus dem Satz über die Winkelsumme im Dreieck, daß die beiden, durch die mittlere Proportionale gebildeten Teildreiecke ACD und BCD die gleichen Winkel besitzen wie das ganze Dreieck ABC. Daher sind die beiden Teildreiecke untereinander und jedes von ihnen mit dem Hauptdreieck ähnlich, womit natürlich auch die gleichen Verhältnisse entsprechender Stücke in allen drei Dreiecken gegeben sind. Es verhalten sich also

$c:b=b:q$

$c:a=a:p$

$q:h=h:p$

Wenn wir also a, b, c, h, p, q, als Maßzahlen der betreffenden Größen betrachten, dann ergeben sich rein arithmetisch die Gleichungen $b^{2}=c\cdot q$, $a^{2}=c\cdot p$ und $h^{2}=p\cdot q$. Und daraus wieder $b={\sqrt {c\cdot q}}$, $a={\sqrt {c\cdot p}}$ und $h={\sqrt {p\cdot q}}$. Nun folgt aus $b^{2}=c\cdot q$ und $a^{2}=c\cdot p$ weiter, daß $a^{2}+b^{2}=c\cdot p+c\cdot q$. Wenn wir jedoch diesen letzten Ausdruck umformen, gewinnen wir $a^{2}+b^{2}=c\cdot (p+q)$. Da nun weiters $(p+q)$ nichts anderes ist, als die durch die Proportionale in p und q zerlegte Strecke c, so erhalten wir schließlich $a^{2}+b^{2}=c\cdot c$ oder $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, was zu beweisen war. Da wir nun unseren Beweis allgemein führten, kann man ganz allgemein behaupten, daß das Quadrat der Hypotenuse stets gleich sei der Summe aus den Quadraten der beiden Katheten oder umgekehrt. Das aber ist die Aussage des pythagoräischen Lehrsatzes.

Durch diese Formel sind wir in jedem rechtwinkligen Dreieck (und nur in diesem) imstande, bei gegebenen zwei Seiten die dritte unmittelbar zu berechnen. Denn es ist

$a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}$

$b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}$

$c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$

Weiters möge noch erwähnt werden, daß die Kongruenzsätze im rechtwinkligen Dreieck weniger Bestimmungsstücke erfordern als im ungleichseitigen. Es ist ja stets der rechte Winkel verkappt mitgegeben, so daß wir im Allgemeinen im rechtwinkligen Dreieck zur Kongruenz bloß zwei Bestimmungsstücke brauchen, nämlich die beiden Katheten oder eine Kathete und einen der spitzen Winkel oder die Hypotenuse und einen der spitzen Winkel.

2. Wenn wir nun zum gleichschenkligen Dreieck übergehen, können wir gleich an unsere letzten Bemerkungen über Kongruenz anknüpfen. Auch bei diesem Dreieck brauche ich zur Kongruenz nur zwei Bestimmungsstücke, etwa die Grundlinie und einen Winkel (anliegend oder gegenüberliegend) oder einen „Schenkel“ und einen der Winkel. Außerdem betonen wir, daß die auf die Grundlinie gefällte Höhe zugleich Seitensymmetrale, Winkelsymmetrale und Schwerlinie des Dreiecks ist, so daß alle vier merkwürdigen Punkte auf dieser erwähnten Strecke liegen müssen. Diese „Höhe“, die wir hier ausnahmsweise als „Haupthöhe“ bezeichnen wollen, spielt überhaupt die Rolle der Symmetrieachse des ganzen Dreiecks und teilt das gleichschenklige Dreieck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke, auf die in jeder Beziehung der pythagoräische Lehrsatz angewendet werden kann, womit er mittelbar auch auf das ganze Dreieck anwendbar wird, indem man stets die Schenkel als Hypotenusen und die halbe Grundlinie und die Höhe als Katheten betrachten darf.

3. Noch speziellere Eigenschaften besitzt das gleichseitige Dreieck, das die einfachste regelmäßige ebene Figur darstellt. Wie schon erwähnt, sind alle seine drei Winkel je 60° groß. Zur Kongruenz und Konstruktion brauche ich nur ein Bestimmungsstück, nämlich eine Seite. Ein Winkel genügt nicht, da ich dadurch nur Ähnlichkeit erzielte (WWW-Satz). Es sind aber eben wegen dieses WWW-Satzes alle gleichseitigen Dreiecke unabhängig von der Seiten-Größe einander ähnlich. Nun kann man das gleichseitige Dreieck stets auch als Grenzfall eines gleichschenkligen Dreiecks betrachten, wodurch alle Sätze über das gleichschenklige Dreieck (etwa die Verwendung des Pythagoräers) auf das gleichseitige Dreieck anwendbar werden. Aber noch mehr. Wegen der vollkommenen Gleichartigkeit dieser Figur, bei der man stets eine der drei Seiten als Grundlinie wählen kann, ohne daß sich das Dreieck irgendwie in der Gestalt ändert, das also gleichsam von allen Seiten gleichschenklig ist, fallen alle drei Höhen mit den entsprechenden Seiten- und Winkelhalbierenden und mit den Schwerlinien zusammen. Das gleichseitige Dreieck hat sonach nur einen einzigen merkwürdigen Punkt, auf den man alle Folgerungen aus den merkwürdigen Punkten anwenden darf. Er ist also gleichsam ein sich vierfach überdeckender oder ein Quadrupel-Punkt. Dadurch aber gilt weiters die Eigenschaft der Schwerlinien, die einander beim Schnitt im Verhältnis 1:2 teilen, auch für die Seiten- und Winkelhalbierenden und insbesondere auch für die Höhen, was sowohl für Flächenberechnungen als auch für andere Zwecke von besonderer Wichtigkeit ist und in Verbindung mit dem Lehrsatz des Pythagoras die Lösbarkeit der verschiedensten Aufgaben sicherstellt. Es sei dazu_ nur angemerkt, daß die drei „Höhen“ oder wie man diese vierfach bedeutsamen Einheitslinien sonst nennen will, das gleichseitige Dreieck in sechs kongruente rechtwinklige Teildreiecke zerlegen, deren kleinere Kathete sich zur Hypotenuse verhält wie .1 22. Da die zweite Kathete dieser Teildreiecke durch die halbe Seite des ganzen großen Dreiecks gebildet wird, erhalten wir innerhalb des gleichseitigen Dreiecks ohne Rücksicht auf spezielle Zahlen die Proportion:

Halbe Seite zum Quadrat $=2^{2}-1^{2}=4-1=3$ oder halbe Seite $={\frac {a}{2}}={\sqrt {3}}$, wobei das Drittel der Höhe als Einheit genommen wurde. Somit ist ${\frac {a}{2}}={\frac {h}{3}}{\sqrt {3}}$ oder $a={\frac {2h}{3}}{\sqrt {3}}$ und $h={\frac {3a}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {3}}$, was wir auch auf anderen Wegen hätten errechnen können.

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