Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 219c

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Vom Punkt zur vierten Dimension. Geometrie für Jedermann.

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Neunzehntes Kapitel

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Die merkwürdigen Punkte des Dreiecks

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Wir haben auffallend oft vom Dreieck gesprochen. Das hat seine guten Gründe. Das Dreieck ist, wie wir wissen, die „Simplex“-Figur der Ebene. Und da wir uns weiterhin vorläufig mit der Geometrie in der Ebene, mit der sogenannten Planimetrie oder Ebenen-Messung beschäftigen werden, so müssen wir diese einfachste Figur der Ebene bis zum Grund untersuchen. Wir verraten dabei vorgreifend, daß eigentlich unsere ganze Geometrie im Wesen eine „Dreiecksgeometrie“ ist. Wir könnten ohne viel Mühe aufzeigen, daß das Dreieck in entarteter Form auch dort auftritt, wo wir es gar nicht vermuten. Etwa in der Lehre vom Kreis. Stets werden wir offen oder verkappt auf Dreiecksätze zurückgreifen und uns auf sie berufen. Am Dreieck werden wir allerlei Grundbeziehungen studieren und sie dann durch Zusammensetzung und Zerlegung auf alle anderen Figuren - vorläufig auf Figuren der Ebene - anwenden und übertragen. Unser „Simplex“ wird uns Führer sein bis hinauf zu den Höhen der mehrdimensionalen und der nichteuklidischen Geometrien. Und wie wir bei der Geometrie der Lage synthetisch oder aufbauend vorgegangen sind, so werden wir jetzt in der Maßgeometrie alles vom Dreieck her aufbauen. Und wir können schließlich die überraschendsten Brücken schlagen. Plötzlich werden uns auch der „Pascal“, der „Brianchon“ und der „Desargues“ nicht anders erscheinen denn als Sätze, die man schließlich auf Dreiecke anwenden darf. Und wir wissen schon, daß das Dreieck auch wieder ein Grenzfall einer Kurve zweiter Ordnung, einer sogenannten Kegelschnittskurve ist. Es darf uns also die bevorzugte Behandlung des Dreiecks durchaus nicht verdrießlich machen. Sie darf aber bei uns auch nicht den Verdacht erwecken, daß wir unsere Geometrie gleichsam als Mißgeburt mit einem Wasserkopf aufbauen, wenn dieser Vergleich, der das Dreieck zum Wasserkopf stempelt, erlaubt ist. Wir müssen nämlich stets eines bedenken. Gemessen werden Strecken und Winkel. Strecken und Winkel sind die beiden Arten von Größen, die uns in der Geometrie primär interessieren. Nun ist aber das Dreieck die einfachste aus diesen beiden Größengattungen zusammengesetzte Figur. Und gerade durch die infolge des Simplexcharakters entstehende engste und dadurch gleichsam eher verwickelte Verbindung und Verschwisterung dieser beiden Größengattungen ergeben sich alle Beziehungen zwischen Winkeln und Strecken innerhalb des Dreiecks in Reinkultur. Und in einer Art, die es uns erlaubt, ein kombiniertes Winkel-Strecken-Maßsystem aufzubauen, das deshalb für alle Fälle gelten muß, weil sich in letzter Linie alle Figuren der Geometrie in echte oder entartete Dreiecke zerlegen und auflösen lassen oder doch zumindest mit dem Dreieck in irgendeine Beziehung zu bringen sind.

Wir haben schon einen der „merkwürdigen Punkte“ des Dreiecks, nämlich den Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden untersucht und dabei einige besondere Eigenschaften dieses Schnittpunkts, insbesondere seine identische Entfernung von allen drei Dreieckseiten festgestellt. Wenn wir uns nun dem zweiten „merkwürdigen Punkt“ des Dreiecks zuwenden wollen, so müssen wir die sogenannten Seitensymmetralen der drei Seiten betrachten. Unter einer Strecken- oder Seitensymmetrale hat man sich, wie unter jeder Symmetrale, gleichsam eine Achse vorzustellen. Klappt man dann die symmetrisch zu halbierende Figur um die Symmetrieachse, so erhält man Kongruenz der beiden Hälften der Figur. In der Alltagssprache nennen wir einen derartigen Vorgang das Zusammenfalten oder Zusammenlegen. Die Umbruchlinie oder Falzlinie ist die Symmetrieachse des betreffenden Gebildes. Nicht alle Gebilde können jedoch symmetrisch gefaltet werden. Bei unregelmäßigen Dreiecken oder Vielecken finde ich keine Symmetrieachse für die ganze Figur. Dagegen sind Winkel und Strecken stets symmetrisch zu teilen. Und eine Streckensymmetrale hat auch, a gleichwie die Winkelsymmetrale, gewisse feststehende Eigenschaften.

Die durch die Symmetrale zu teilende Strecke AB wird in der Mitte zwischen A und B von der Symmetraleim Punkte 0 geschnitten. Und zwar senkrecht. Wenn ich nun einen beliebigen Punkt der Streckensymmetrale C, C', C, C' usw. mit den beiden Endpunkten der Strecke A und B verbinde, dann müssen die aus einem Punkt der Symmetrale ausgehenden Verbindungsstrecken CA und CB oder C'A und C'B und so fort einander gleich sein. Dies folgt aus dem SWS-Satz, da stets die eine Seite OC, OC' usw. identisch, die zweite Seite OA bzw. OB definitionsgemäß in beiden Dreiecken gleich ist und schließlich der Winkel R von diesen beiden Seiten eingeschlossen wird. Diese eben bewiesene Eigenschaft der Streckensymmetrale liefert uns auch sofort den Beweis vom gemeinsamen Schnittpunkt der drei Seitensymmetralen im Dreieck.

Danach müssen nämlich OA und OC einander gleich sein, ebenso aber OA und OB. Wenn sich also bloß die zwei Symmetralen der Seiten AC und AB in einem Punkte O schneiden, was stets der Fall sein muß, dann ist weiterhin auch OB mit OC gleich, da diese beiden Strecken, wie schon oben erwähnt, beide gleich OA sind. Dann muß aber weiters der Punkt 0 auch ein Punkt der Seitensymmetrale von BC sein, was wieder aus der Umkehrung unseres oben bewiesenen Streckensymmetralensatzes folgt. Das aber war ja eben zu beweisen. Der Schnittpunkt der drei Seitensymmetralen des Dreiecks, die sich stets in einem einzigen Punkte schneiden müssen (Dieser Schnittpunkt kann auch außerhalb des Dreiecks liegen.), ist der zweite merkwürdige Punkt des Dreiecks und hat die Eigenschaft, daß alle drei Eckpunkte des Dreiecks von ihm gleich weit entfernt sind. Es ist also $OA\equiv OB\equiv OC$.

Um zum dritten merkwürdigen Punkt des Dreiecks zu gelangen, müssen wir einen neuen, äußerst wichtigen Begriff einführen, nämlich die Höhe des Dreiecks. Darunter versteht man die Senkrechte, die von einem der Eckpunkte auf die gegenüberliegende Seite oder auf deren Verlängerung gefällt wird. Jedes Dreieck hat also drei mögliche Höhen. Die Seite, auf der selbst oder auf deren Verlängerung die betreffende Höhe senkrecht steht, heißt jeweils die Grundlinie des Dreiecks und wird in den Zeichnungen stets horizontal gezogen, wobei der Eckpunkt, mit dem sie durch die Höhe verbunden ist, darüber zu liegen kommt.

Höhe und Grundlinie des Dreiecks sind gleichsam die Elementarstücke für jede Berechnung von Flächeninhalten. Daher wollen wir schon an dieser Stelle den Beweis führen, daß es ganz gleichgültig ist, welche Höhe und welche dazugehörige Grundlinie man der Berechnung unterlegt.

In unserem Dreieck schneiden sich die beiden Höhen h_a und h_b in einem Punkt 0 und verbinden die Punkte A und D bzw. B und E. Nun sind die Dreiecke BCE und ACD einander ähnlich, da sie beide rechtwinklige Dreiecke sind, die den Winkel bei C gemeinsam haben. Daher müssen auch die Winkel ε und δ einander gleich sein und es gilt der WWW-Ähnlichkeitssatz. Nach unserer Proportionenlehre muß dann aber auch die Beziehung $a:h_{b}=b:h_{a}$ gelten, woraus $a\cdot h_{a}=b\cdot h_{b}$ folgt. Da ich weiters die dritte Höhe jederzeit mit einer der beiden bereits gezogenen Höhen zum Schnitt hätte bringen können und dabei naturgemäß dieselbe Beziehung hätte finden müssen und da weiters zwei Größen, die einer dritten gleich sind, auch untereinander gleich sein müssen, ist der Beweis erbracht, daß $a\cdot h_{a}=b\cdot h_{b}$, daß also die Produkte aller drei Höhen mit ihren zugehörigen Grundlinien im Dreieck einander gleich sind. Wenn wir also eine Formel finden, in der das Produkt zwischen Grundlinie und Höhe eine Rolle spielt, dann.dürfen wir stets eine beliebige Höhe mit einer zugehörigen Grundlinie wählen und müssen dasselbe Ergebnis erhalten, als ob wir eine der beiden anderen Höhen gewählt hätten. Nun aber zum dritten merkwürdigen Punkt, zum gemeinsamen Schnittpunkt aller drei Höhen im Dreieck. Wir hätten im Dreieck ABC die drei Höhenkonstruiert, die sich tatsächlich - vorläufig können wir nicht wissen, ob dies vielleicht nur Zufall ist - in einem Punkte schneiden.

Hierauf ziehen wir durch die drei Eckpunkte A, B und C drei Parallelen zu den bezüglichen gegenüberliegenden Seiten unseres Dreiecks und bilden aus diesen drei Geraden ein großes Dreieck A'B'C'. Da nun nach dem Sätze, daß Parallele zwischen Parallelen gleich lang sein müssen, die Beziehung $AB'\equiv BC$ und $AC'\equiv BC$ gilt, so muß auch AB' kongruent sein AC'. Das aber AD auf BC senkrecht steht, muß AD auch auf der dazu parallelen Strecke B'C' senkrecht stehen. AD ist also sowohl eine Höhe im kleineren als auch eine Seitensymmetrale (der Seite B'C') im großen Dreieck. Da sich entsprechend die beiden anderen Höhen zu Seitensymmetralen von A'B' bzw. A'C' umdeuten lassen, müssen sich die drei Strecken AD, CF und BE als Seitensymmetralen des großen Dreiecks in einem gemeinsamen Punkte, nämlich im Punkte 0 schneiden. Diese Tatsache kann sich dadurch nicht ändern, daß man sie als Höhen des kleineren Dreiecks betrachtet. Denn stets muß die Höhe eines Dreiecks die Seitensymmetrale eines in obenstehender Art konstruierten großen Dreiecks sein. Damit ist aber auch der Beweis für das Vorhandensein des dritten merkwürdigen Punktes im Dreieck erbracht.

Der vierte und letzte merkwürdige Punkt des Dreiecks führt uns in ein anderes Gebiet, nämlich ins Reich der Statik oder Gleichgewichtslehre, das streng genommen nicht der Geometrie, sondern der Physik zugehört. Dinge, die mit der Schwere etwas zu tun haben, können keine geometrischen Figuren sein. Denn geometrische Figuren sind stets schwerelose Schemen, sind vollständig immaterielle Gebilde. Gleichwohl sind jedoch die Geometriker aus verschiedenen Gründen gezwungen, sich mit Gleichgewichtsfragen zu beschäftigen, da das Gleichgewicht von Figuren gewissen rein geometrischen Formgesetzen unterliegt, die mit materieller Schwere nur höchst indirekt zu tun haben. Der Rauminhalt eines Körpers ist ja streng genommen auch eine physische oder physikalische Angelegenheit. Denn ein Kubikdezimeter Nichts ist eben überhaupt ein Nichts. So wie aber der Rauminhalt, im Hinblick auf mögliche Erfülltheit des Raumes mit Materie, ausgemessen werden kann, so kann auch die Schwerpunktverlagerung einer Figur rein geometrisch auf mögliche Verwirklichung dieser Figur in der körperlichen Welt untersucht werden. Es sei zugegeben, daß der Raum als das „Ausgedehnte“ bestehen bleibt, wenn auch alle Inhalte weggedacht werden, was beim Gleichgewicht nicht gut möglich ist. Aber eine gewisse Ähnlichkeit der beiden Probleme besteht sicherlich. Und in der Geschichte der Mathematik haben sich nicht nur Griechen, wie der große Archimedes, eingehendst mit statischen Aufgaben befaßt, die sie der Geometrie gleichsam eingliederten, sondern auch Neuere, wie Guldin, haben auf Grund statischer Beziehungen rein geometrische Sätze aufgestellt.

Wir beruhigen uns also damit, daß es sich für uns sozusagen um ein ideelles Gleichgewicht der Figuren handelt, wozu wir weiter nichts vorauszusetzen brauchen, als daß die Figuren in sich gleichartig (homogen) sind. Ebenen-Teile also mußten überall gleich dick sein, wobei diese Gleichheit auch besteht, wenn eine Dicke überhaupt nicht vorhanden ist. Die Figuren sind eben dann überall gleich „nicht-dick“ und sind damit homogen.

Nach diesen Verwahrungen definieren wir die drei sogenannten Schwerlinien des Dreiecks als Verbindungslinien der drei Eckpunkte mit den Mittelpunkten. der gegenüberliegenden Seiten. Und wir behaupten weiter, daß sich diese drei Schwerlinien im vierten und letzten merkwürdigen Punkt des Dreiecks, im sogenannten Schwerpunkt schneiden müssen. Ja noch mehr. Wir kündigen an, daß dieser Schnitt im Verhältnis 1:2 erfolgen wird. Dazu fügen wir zur Erläuterung des Wesens eines „Schwerpunkte“ bei, daß man ein aus homogenem Material bestehendes Dreieck nur im Schwerpunkt etwa mit einer Nadelspitze zu unterstützen brauchte, um es in einer auch bei jeder Drehung horizontalen Lage zu erhalten. Im Schwerpunkt ist nämlich gleichsam die ganze „Masse“ des betreffenden Körpers vereinigt. Oder, wenn man es anders sagen will: die Masse liegt um den Schwerpunkt gleichmäßig verteilt herum.

Jetzt aber wollen wir uns unsere Schwerlinien ansehen.

Wir hätten in unserem Dreieck ABC aus den Punkten B und C die zwei Schwerlinien BE und CF gezogen. Diese beiden. Geraden schneiden einander im Punkte O. Nun ziehe ich weiters aus den Halbierungspunkten der beiden Seiten AC und BC zwei der Schwerlinie CF parallele Gerade und bringe sie mit der Dreieckseite AB zum Schnitt. Dadurch entsteht ein projektives Parallelenbüschel (HE, FC, GD), das sowohl beide Schenkel des Winkels A, als auch beide Schenkel des Winkels B schneidet. Es schneidet aber auch die beiden Winkel (zweistrahlige Büschel), die aus AB und BE und aus AB und AD gebildet werden. Nun kennen wir die projektiven Folgen, die solch ein Schnitt Paralleler durch einen Winkel hat. Er bildet die Verhältnisse der gegenseitigen Punktlage des einen Schenkels genau proportional auf dem zweiten Schenkel ab. Daraus folgt, daß der Halbierungspunkt von BC auch als Halbierungspunkt von BF abgebildet wird. Wenn ich von diesem Punkt G nun wieder nach D zurückprojiziere, dann muß auch der Halbierungspunkt von BF als Halbierungspunkt von BO im Punkte I abgebildet werden. Da aber weiters BF$\equiv$AF, so ist die Abbildung von E in H wieder ein Halbierungspunkt, der AF in zwei mit GF und BG gleiche Stücke teilt. Abbildung von H auf AO erzeugt den Halbierungspunkt K der Strecke AO usw. Da nun weiters HF$\equiv$FG$\equiv$GB, so gilt auch E0$\equiv$OI$\equiv$IB. Woraus die Teilung der Schwerlinie indem von uns behaupteten Verhältnis 1:2 durch den Punkt 0 bewiesen ist. Da nun schließlich nach analogen Erwägungen auch die dritte Schwerlinie AD die Schwerlinie BE projektiv in die erwähnten, sich wie 1:2 verhaltenden Abschnitte teilen würde, so muß sie zu diesem Zweck ebenfalls durch den Punkt 0 gehen, womit das Vorhandensein des vierten merkwürdigen Punktes im Dreieck bewiesen ist.

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