Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 127c

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Geschichte der Mathematik (Teil 27)

Die Arithmetiker, die wir ankündigten, waren der Deutsche Michael Stifel, der Franzose Chuquet und das merkwürdige italienische Quadrifolium Ferro, Gardano, Tartaglia und Ferrari. Eigentliche Rechenkünstler und Pädagogen dagegen waren der sprichwörtlich gewordene Adam Riese und Rudolff.

Wenn auch Stifel und Chuquet auf große selbständige Leistungen blicken konnten, wenn auch beide in der Gegenüberstellung einer arithmetischen und geometrischen Reihe gleichsam den ersten Ton in der Tonleiter der Logarithmenforschung anschlugen, so gelang den Italienern ungleich Bedeutsameres. Sie waren es nämlich, die den ersten entscheidenden Schritt über die antike Mathematik hinaus tun konnten, indem ihnen die Lösung der Gleichung dritten Grades durch Wurzelausdrücke gelang.

Wenn wir „ihnen“ sagen, so hat diese Ausdrucksweise sehr tiefliegende Gründe. Die eigentliche Entdeckung soll nämlich der uns ansonst unbekannte Ferro gemacht haben. Alles weitere ist von einem Prioritätsstreit umnebelt, wie er in der Geschichte der Wissenschaft kaum je wieder vorgekommen ist. Die Einzelphasen gleichen Novellen von Boccaccio oder den Memoiren irgendeines Rokoko-Abenteurers. Es wimmelt dabei nur so von Schmähschriften, Flugblättern, Beschimpfungen, Amts-Verlusten, Verträgen, Stichproben, Herausforderungen. Die Wahrheit darüber war niemals ganz genau zu ermitteln, doch ist die neueste Forschung geneigt, trotz all seiner Eidbrüche, dem Cardano ein großes, dem immerhin genialen Tartaglia das kleinere Verdienst zuzubilligen. Und so wird auch die Schlußformel der Auflösung kubischer Gleichungen heute allgemein als Gardanosche oder Cardanische Formel bezeichnet, was allerdings historisch wieder nicht genau stimmt, auch wenn man vom Prioritätsstreit und der aus ihm sich ergebenden schwankenden Tatsachenlage ganz absieht. Denn diese Schlußformel, so zwangsläufig sie sich aus den Cardanoschen Lösungen ergibt, stammt von einem späteren ausgezeichneten Arithmetiker, von Bombelli. Nun war die Auflösung der kubischen und die kurz darauf erfolgte Auflösung der biquadratischen Gleichung, also der Gleichung, in der die Unbekannte in vierter Potenz als höchste Potenz auftritt, nicht nur an und für sich eine Entdeckung, sondern es wurden gelegentlich dieser Lösungen Wege beschritten, deren spätere Verallgemeinerung und Durchdringung all das ermöglichen, was die moderne Algebra und dazu noch die moderne Theorie der Integrale leistet. Es handelt sich dabei um die sogenannte Substitution, um die Ersetzung algebraischer Ausdrücke durch andere einfachere oder kompliziertere. Jeder, der nur ein wenig in der Algebra bewandert ist, weiß, daß man etwa die ansonst unzugängliche Gleichung sechsten Grades

$x^{6}+5x^{3}-14=0$

dadurch lösen kann, daß man $x^{3}$ durch die neue Unbekannte $u$ ersetzt, das $u$ für $x^{3}$ „substituiert“ und nun die Gleichung $u^{2}+5u-14=0$ behandelt, deren Lösung bekanntlich gleich ist

$-{\frac {5}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {25}{4}}+14}}$,

die somit die Lösungen $u_{1}=2$ und $u_{2}=-7$ liefert. Man hat also die sechstgradige auf eine gemischtquadratische Gleichung zurückgeführt, zurückgeschraubt, man hat sie „reduziert“. Nun kehrt man zu den rein kubischen Gleichungen $u_{1}={x_{1}}^{3}$ und $u_{2}={x_{2}}^{3}$ zurück und findet die x-Werte als ${\sqrt[{3}]{u_{1}}}$ bzw. ${\sqrt[{3}]{u_{2}}}$ also ${\sqrt[{3}]{2}}$ und ${\sqrt[{3}]{-7}}$, was allerdings noch weitere Überlegungen erfordert.

Solche Kunstgriffe waren schon im Altertum, etwa dem Diophantos, wohlbekannt. Die Zeit Gardanos hat also die Substitutionen durchaus nicht erfunden. Wir Wollen aber die Gelegenheit gleichwohl nicht Versäumen, an der sogenannten Cardanischen Lösung ein ganzes Netz von Substitutionen aufzuzeigen, Weil wir an diese Rechnungshilfe einige allgemeine Bemerkungen anschließen werden. Wir beschränken uns dabei auf gemischt-kubische Gleichungen und bringen alle Überlegungen in moderner Schreibweise, die zur Zeit Cardanos noch durchaus nicht bestand. Es wurde damals noch vorwiegend „Wortalgebra“ mit schwachen synkopierten Einschlägen getrieben. Wir stellen also in unsrer gegenwärtigen Sprache fest, daß sich jede gemischt-kubische Gleichung auf die Form $x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$ muß bringen lassen können, wobei a, b, c irgendwelche konkrete oder allgemeine Zahlen, also Konstanten bzw. Koeffizienten sind. Diese Form hatte, wie erwähnt, bisher allen Lösungsversuchen getrotzt, was hauptsächlich durch das quadratische Glied der Unbekannten, also durch ax² verschuldet war, wie sich bald herausstellte.

Um dieses nun zu beseitigen, substituierte Cardano (wie wir ohne Rücksicht auf die Prioritätslage weiterhin sagen werden) für x den Wert

$\textstyle y-{\frac {a}{3}}$.

Dadurch ergibt sich

$y^{3}-3y^{2}{\frac {a}{3}}+3y{\frac {a^{2}}{9}}$ $-{\frac {a^{2}}{27}}+ay^{2}-{\frac {2a^{2}y}{3}}+{\frac {a^{3}}{9}}$ $+yb-{\frac {ab}{3}}+c=0$

und nach Ausrechnung

$y^{3}+(b-{\frac {a^{2}}{3}})y+({\frac {2a^{3}}{27}}$ $-{\frac {ab}{3}}+c)=0$

also eine Gleichung, die nur mehr die dritte und die erste Potenz der Unbekannten enthält. Sie hat somit, allgemein gesprochen, die Form

${x_{1}}^{3}+px_{1}+q=0$

wobei sich $p$ und $q$ lediglich aus den Konstanten a, b und c zusammensetzen.

Es wird gleichsam $p$ für $\left(b-{\frac {a^{3}}{3}}\right)$ und $q$ für

$\left({\frac {2a^{3}}{27}}-{\frac {ab}{3}}+c\right)$ substituiert.

Nun vollzieht Cardano zur Behandlung dieser vom quadratischen Gliede befreiten Gleichung eine neuerliche, anscheinend sinnlose und komplizierende Substitution, indem er für die Unbekannte $x_{1}$ zwei Hilfsunbekannte $u$ und $v$ einführt.

Es wird also, wegen $u+v=x_{1}$, aus der Gleichung

${x_{1}}^{3}+px_{1}+q=0$ die neue Gleichung

$u^{3}+3u^{2}v+3uv^{2}+v^{3}+pu+pv+q=0$

oder geordnet

$u^{3}+v^{3}+q+(u+v)\cdot (3uv+p)=0$.

Da man ohne weiteres annehmen darf, daß $(3uv+p)$ den Wert Null ergibt, wird dann sofort

$u^{3}+v^{3}+q$ auch Null.

Wir besitzen also jetzt zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Wenn nun, wie erwähnt,

$(3uv+p)=0$ sein soll, dann ist

$3uv=-p$ oder

$\textstyle v=-{\frac {p}{3u}}$.

In die zweite Gleichung

$u^{3}+v^{3}+q=0$ eingesetzt, ergibt sich aber

$\textstyle u^{3}-{\frac {p^{3}}{27u^{3}}}+q=0$

oder mit $27u^{3}$ multipliziert und durch 27 dividiert die Form $u^{6}+u^{3}q-{\frac {p^{3}}{27}}=0$.

Wir stehen also jetzt vor einer Gleichung 6. Grades, die sich auf eine gemischt-quadratische Gleichung zurückführen läßt, da sie die Unbekannte bloß in der 2n-ten und n-ten Potenz enthält. Wir müßten jetzt eigentlich neuerlich substituieren und für u3 etwa r setzen. Wir machen dies jedoch diesmal nur in Gedanken und berechnen direkt $u^{3}$ als

$-{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{2}}\right)^{3}}}$,

worauf sich wieder $v^{3}$ als

$v^{3}=-q-u^{3}$, also als

$v^{3}=-q+{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{2}}\right)^{3}}}$,

schließlich als

$-{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{2}}\right)^{3}}}$ ergibt.

Nun haben wir nichts weiter zu tun, als den Weg zurückzuschreiten, den wir bisher gegangen sind. Wir hatten ja postuliert, daß

$x_{1}=u+v$ sei, folglich ist

$x_{1}={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{2}}\right)^{3}}}}}$ $+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{2}}\right)^{3}}}}}$.

Wir müssen allerdings hinzufügen, daß weder bei Cardano noch bei Bombelli die Vorzeichen in unserer Art auftreten, was insbesondere für die Vorzeichen vor den Quadratwurzeln gilt, die selbst Bombelli noch im ersten Ausdruck nur als „ + “ und im zweiten Kubikwurzelausdruck nur als „ - “ ansetzte.

Dieses sogenannte „Wurzelpolynom“ für $x_{1}$ muß nun noch Weiter rückübertragen werden, da ja noch die Substitutionen für $p$ und $q$ und endlich die Beziehung zu $\textstyle x=x_{1}-{\frac {a}{3}}$ berücksichtigt werden müssen. Wir bemerken Weiters, daß schon Cardano und seine unmittelbaren Nachfolger sich mit dem Imaginärwerden des Wurzelpolynoms befaßten und zur Vermeidung dieser „Unmöglichkeit“ allerlei neue Substitutionen ersannen. Außerdem stieß ebenfalls schon Gardano auf die bisher gar nicht in Betracht gezogene Tatsache, daß eine und dieselbe Gleichung drei Lösungen ergeben konnte. Er wußte auch, daß seine Substitutionen nicht stets zum Ziele führten und daß es auch „irreduzible“ Fälle geben konnte.

Prinzipiell aber war nunmehr die Gleichung kubischen Grades erstmalig durch rein algebraische Umformungen als durch Wurzelziehen lösbar erkannt, und es änderte daran nichts, daß man, insbesondere seit Girard und der Einbürgerung der Logarithmen, die trigonometrischen Lösungen dieses Gleichungstyps, die irgendwie auf die Winkeldreiteilung zurückgingen, aus Berechnungsgründen bevorzugte.

Was aber über diese Sonderfragen hinaus alle tiefer denkenden Mathematiker seit dieser Zeit zunehmend bewegte, war das Problem der Substitution an und für sich. Wie, wann und warum kann man algebraische Ausdrücke kurzweg durch einfachere oder kompliziertere andre algebraische Ausdrücke ersetzen? Was bleibt hierbei gleich, was ändert sich durch dieses Vorgehen? Daß dabei eine Gestaltfrage und eine Ähnlichkeitsfrage vorlag, wurde bald klar. Den vollen Begriff der Formbeharrung, der Invarianz, zu fassen, war auf jener Stufe noch nicht möglich, da sich der Begriff der Transformation, der Umformung erst aus der Koordinatengeometrie und der Unendlichkeitsanalysis in leuchtender Klarheit heraushob. Doch davon werden wir erst bei der Besprechung der Algebra im neunzehnten Jahrhundert zu handeln haben. Vorläufig muß es uns genügen, daß wir am Beispiel der kubischen Gleichung das Problem in seiner vollen Schwere und Bedeutung kennengelernt haben. Wieder hatte der Menschengeist ein neues Zaubermittel in die Hand bekommen und ruhte nicht eher, bis er es zu weit höherer Wirkung entfaltete.

Diesen großen Schritt vorwärts aber machte der geniale Arithmetiker und Algebraiker Vieta, den wir nur deshalb bloß als Algebraiker bezeichnen, Weil das Schwergewicht seiner epochalen Leistung auf diesem Gebiete lag. Er War nämlich überhaupt ein großer Mathematiker, auch Geometriker. Merkwürdigerweise war er kein Fachmathematiker im eigentlichen Sinn, sondern Jurist und Advokat, betätigte sich in allerlei Staatsanstellungen und entzifferte unter anderem einen Geheimcode der Spanier, der 500 Zeichen enthielt. Dadurch wurde es den Franzosen möglich, sämtliche Chiffredepeschen der mit ihnen im Krieg befindlichen Spanier mühelos zu lesen. Vieta war ursprünglich Hugenotte gewesen, soll aber seinen Glauben mehrmals gewechselt haben, was nicht hinderte, daß er stets ein Schützling Rohans blieb. Er brachte es zum Geheimrat beim französischen König, hinterließ 20.000 Taler, ließ alle Bücher auf eigene Kosten drucken, verschenkte sie nach allen Seiten an Freunde und Widersacher und war auch ansonsten sehr sanften Gemütes. So verköstigte er einen wissenschaftlichen Gegner durch viele Monate in seinem Hause und bezahlte ihm sogar die Heimreise.

Die Menschheit verdankt ihm aber, überall diese persönlich sympathischen Züge hinaus, etwas ganz Einzigartiges. Er nämlich und nur er war es, der die Algebra auf die dritte, rein symbolische Stufe emporhob. In seiner „Einführung in die analytische Kunst“ (In artem analyticam isagoge) vom Jahre 1591 spricht er vorerst das Homogenitätsprinzip klar und deutlich aus, das zwar von den hellenischen Mathematikern der klassischen Zeit stets unausgesprochen eingehalten, bei Heron und Diophantos jedoch nicht allgemein mehr gehandhabt wurde. Es lautet kurz dahin, daß nur Größen gleicher Art streng vergleichbar seien, daß es also etwa unzulässig wäre, Strecken, Flächen und Körper miteinander in Beziehung zu setzen. Dieses Prinzip nun führt Vieta für seine Buchstabenrechnung konsequent durch. Wie gesagt, hat er als erster die Worteinhüllung der Algebra fallen gelassen und verwendet die großen lateinischen Buchstaben zur Rechnung. Die Vokale sind dabei Symbole für die unbekannten, die Konsonanten Symbole der bekannten Größen. Das Wort „Größen“ ist zu beachten. Ganz eindeutig ist nämlich auch bei Vieta die Algebra noch nicht in den Bereich der Zahlen hinübergeschoben. Seinen Buchstaben haftet irgendwie der Begriff von „Größen“ im anschaulich geometrischen Sinn an. Und er rechnet dabei „Per species seu rerum formas“, also etwa „mit versinnbildlichenden Zeichen von Raumgebilden“. Diese Auffassung behält er bei, obgleich er sich durch den geometrischen Dimensionsbegriff nicht für gebunden erachtet und ruhig bis zur neunten Potenz in seinen Rechnungen fortschreitet. Es ist schwer zu entscheiden, was sich ein mathematischer Kopf vom Range Vietas bei dieser offensichtlichen Inkongruenz dachte. Ahnte er irgendwo eine mehrdimensionale Geometrie? Oder genügte ihm das Homogenitätsprinzip, das ihm auch bei höheren als der dritten Dimension die Beziehungen ungleichartiger Größengattungen aufeinander verbot? Oder hielt er die höheren Dimensionen der Buchstabengrößen gar nicht für höhere Raumdimensionen, da sie ja, wie wir bei Cardano gesehen haben, im Weg von Substitutionen auf die naturgegebenen drei Dimensionen reduzierbar waren? Diese Frage wird schwer zu entscheiden sein, ebenso schwer wie die Frage, ob sich ein heutiger Geometer irgendeine höhere Geometrie als die dreidimensionale als tatsächlich existent vorstellen will. In der Geschichte der Mathematik schob man bisher stets den ganzen Gedankeninhalt oder Anschauungsinhalt mathematischer Formen mehr oder weniger bewußt von der arithmetischen Seite zur geometrischen Seite hinüber und umgekehrt. Für die Hellen-en und alle ihre Schüler ist reine Algebra ein wesenloses Schattenreich, für heutige Mathematiker dagegen wird die Geometrie zu einem der zahllosen Anwendungsgebiete einer weit übergeordneten Wissenschaft, der „Gruppen“, „Ähnlichkeiten“, „Formen“, „Mannigfaltigkeiten“ und „Strukturinvarianzen“.

Doch wir wollen nicht vorgreifen. Vieta hat auf jeden Fall die Arithmetik oder das konkrete Rechnen als Zahlenrechnen oder „logistica numerosa“ streng von der Buchstabenrechnung, der „logistica speciosa“, getrennt, obgleich er, rein algorithmisch, das Maschinelle des Zahlenrechnens, wo es anging, auf das Buchstabenrechnen übertrug. Die deutsche Erfindung des Plus- und Minuszeichens zeigt sich bei ihm bereits überall, während die anderen Verknüpfungssymbole der heutigen Schreibweise noch fehlen oder durch andere als die heutigen Zeichen ausgedrückt werden. Den Bruchstrich verwendet Vieta bereits in unserem Sinn, ebenso hat er eigene Wurzelzeichen. Auch sind ihm geschweifte und eckige Klammern zur Zusammenfassung mehrgliedriger Ausdrücke nicht unbekannt.

Wir können also ruhig behaupten, daß Vieta als erster ganze mathematische Komplexe im strengsten Sinne des Wortes auf „Formeln“ brachte und durch Operationssymbole verknüpfte. Es blieben gewiß noch kleine Schlacken, wie durch Worte erfolgende Potenzbezeichnungen, am neuen Guß haften. Dieser neue Guß schimmert aber unter den Schlacken so eindeutig und unverkennbar hervor, daß die „Stenographie der Mathematik“ oder besser das „Esperanto der Mathematik“, also die reine Begriffs- und Symbolschrift auch allgemeiner Entwicklungen, sich im Laufe von weniger als 150 Jahren nach Vieta fast genau zur heutigen Schreibweise ausgebildet hatte. Unsre moderne Schreibung algebraischer Größen in kleiner Kursivschrift des lateinischen Alphabets ist eine Einführung des Oxforder Professors Thomas Harriot (1560-1621), der sie in seiner „Artis analyticae praxis“, in seiner „Praxis der analytischen Kunst“, Wahrscheinlich unter dem Einfluß Lord Napiers, von dem wir bald hören werden, propagierte.

Nun wäre, von unserem Standpunkt aus, noch über Vieta zu erwähnen, daß das Wort „Koeffizient“ aus seinem Sprachschatze stammt, das in einer geometrischen Aufgabe in der Form „longitudo coefficiens“, also etwa als „mitwirkende Länge oder Strecke“ auftritt. Koeffizient bedeutet sonach bei Vieta eine Strecke, die bei der Größenerzeugung mitwirkt. Nehmen wir etwa den Fall, es würde an ein Quadrat der Seite $(A+B)$ noch ein Rechteck angelegt werden, dessen eine Seite ebenfalls $(A+B)$ ist, während die andere D beträgt, dann ist die Fläche des neuen Gebildes wohl $(A+B)^{2}+D(A+B)$.

Es ist also hier D der „Koeffizient“ der Strecke $(A+B)$. Dabei stellt sich Vieta gemäß seinem „Homogeneitätsprinzip“ vor, daß das Quadrat $(A+B)^{2}$ erst dann addierbar Wird, wenn $(A+B)$ durch den Koeffizienten $D$ auch in die Dimension einer Fläche erhoben Wird. Ansonst Würde ja eine Fläche zu einer Linie addiert Werden, was unstatthaft ist.

Über die sonstigen sehr hohen mathematischen Qualitäten Vietas Wollen Wir in unserem Zusammenhang nicht sprechen. Wir Wollen auch nur kurz erwähnen, daß eine ganze Schule von Arithmetikern und Algebraikern am Werk War, die „Ars magna“ (große Kunst), Wie sie schon Cardano genannt hatte, Weiterzubilden. Seit Raimundus Lullus (Ramon Lull, 13. Jahrhundert nach Christi Geburt) War überhaupt das Ideal einer Universalwissenschaft, einer Methode, die das Denken gleichsam mechanisieren sollte, nicht mehr aus dem Blickfeld gekommen. Diese halb mystische Bemühung, die sich in Bezeichnungen Wie „Artium ars“ (Kunst der Künste) für die Algebra niederschlägt, hat natürlich auch auf deutschem und österreichischem Boden durch Männer Wie Regiomontanus und Peuerbach und überhaupt durch die Schule der „Cossisten“ Förderung erfahren. Cossist ist gleichbedeutend mit Algebraiker. Das Wort stammt von Causa oder Cosa, was soviel wie „Ding“ heißen soll. Dieser Ausdruck „Ding“ für die unbekannte Größe düfte aber Wieder auf die indischen Algebraiker zurückgehen, die die Unbekannte auch einfach „das Ding“ nannten.

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