Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 121c

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Geschichte der Mathematik (Teil 21)

Um diese Bezeichnung und den ganzen Inhalt des Begriffes Algorithmus (früher sagte man auch Algorismus) voll würdigen zu können, müssen wir zuerst einmal sehen, wo das Wort zum erstenmal auftritt, und müssen dann sofort als echte Besucher Bagdads den Zauberteppich besteigen, der uns diesmal nicht aus dem Märchenbereich von Tausend-und-einer-N acht hinausführen wird. Wir verrieten schon, wo das Wort zum erstenmal vorkommt. Nämlich als Anfang eines Rechenbuches. Was nun enthält dieses Rechenbuch? Etwas für uns vollkommen Entzaubertes, Selbstverständliches: die sogenannten Species, die Rechnungsoperationen, die jedes Kind in der Volksschule lernt. Dazu noch zwei inzwischen aus der Übung gekommene Operationen des Verdoppelns und des Halbierens, deren Ursprung sich vielleicht rein sprachlich aus den Formen des Duals (der Zweizahl) herleitet, den es als Ergänzung der Einzahl (Singularis) und Mehrzahl (Pluralis) sowohl im Sanskrit als etwa im Altgriechischen gab. Gut, uns sind diese Rechnungsarten selbstverständlich, aber dies nur aus einem Grund, der gerade ihren Zauber ausmacht. Sie beruhen nämlich, und dies der Kernpunkt, auf dem durchsichtigsten und vollkommensten System, das in der Geschichte des Geistes bisher geschaffen wurde: auf dem Stellenwertsystem oder Positionssystem der Ziffernschreibung. Die Tatsache, daß man mit zehn Begriffssymbolen, die von jeder Sprache unabhängig sind, alle Zahlen vom denkbar kleinsten Systembruch bis zu der sich im Nebel des Unendlichgroßen verlierenden astronomischen und überastronomischen Zahl mühelos und irrtumsfrei, eindeutig und allgemeinverständlich anschreiben kann, hat im geistigen Kosmos nicht ihresgleichen. Von allen Wissenschaften besitzt nur noch höchstens die Chemie ein annähernd so ehernes und scharfes Werkzeug in ihrer Symbolik der Elemente, dessen Gültigkeit und Vollständigkeit jedoch jederzeit von einer Erkenntnisrevolution zertrümmert werden kann, was bei der Ziffernschrift unmöglich ist. Damit ist aber die Zauberkraft des Stellenwertsystems, das natürlich nicht einmal gerade ein dekadisches sein müßte, noch durchaus nicht erschöpft. Es gebiert gleichsam fortzeugend Gutes. Und es ermöglicht etwa zum erstenmal eine im wahrsten Sinne kinderleichte Handhabung auch sehr verwickelter Rechnungsoperationen und eine Fülle von im System selbst begründeten Proben und Kontrollen. Damit wird es zur ersten wirklichen Denkmaschine, deren Bedienung, wie gesagt, jeder Elementarschüler kennt, deren tiefere Struktur und deren Zahnräderwerk aber durchaus nicht so einfach ist, wie es sich der Laie vorzustellen versucht ist. Ein solcher „Durchschauer“ müßte zuerst einmal bei Gauß in die Lehre gehen und etwas von „Rest-Modul-Systemen“ oder Primzahlforschungen in Sich aufnehmen. Doch das nur nebenbei.

Unserem Alchwarizmi also fiel die historische Aufgabe zu, das indische dekadische Stellenwertsystem in einem Rechenbuch zusammenzufassen, worauf er oder ein Übersetzer seinen Herkunftsnamen „Algoritmi“ an die Spitze stellte.

Wir wollen aber jetzt dieses erste an uns herantretende Beispiel eines Algorithmus, und zwar den vollkommensten aller Algorithmen, ein wenig näher prüfen, um uns ein richtiges Bild über das Geleistete und über den Anteil der einzelnen Kulturen an dieser Epoche zu bilden.

Seit den bahnbrechenden und verdienstvollen Forschungen des englischen Kolonialbeamten Colebrooke, der 1816 zum erstenmal die indische Mathematik ins richtige Licht stellte und auf dessen Arbeiten dann die weitere Forschung nicht nur des Abendlandes, sondern auch der autochthonen Forscher Indiens selbst weiterbaute, weiß man, daß die alten Inder in mehr als einer Art zur Entwicklung der Mathematik beigetragen haben. Ihre mit ausschweifender, zügelloser Phantastik gemischte mathematische Begabung befähigte sie zu großen Entdeckungen, deren größte eben das Stellenwertsystem ist. Gewiß, sie hatten auch bedeutende Algebraiker wie Aryabhatta (476 nach Christi Geburt), Brahmagupta (7. Jahrhundert nach Christi Geburt) und Bhaskara (12. Jahrhundert nach Christi Geburt). Sie entdeckten selbständig die ganzzahlige Lösung unbestimmter Gleichungen und drangen bis zur Algebra dritter Stufe, also bis zur reinen Symbolschreibung, vor. Ihr Werk aber blieb mit Ausnahme der Zahlenschreibung abseits von der allgemeinen Entwicklung und hat daher in unsrem Sinne nicht den Charakter des Epochehaften, sondern eher des Episodischen. Daran änderte es auch nichts, daß Bhaskara den Grenzwert von $\textstyle {\frac {a}{0}}$ richtig einschätzt und sagt: „Je mehr der Divisor verkleinert wird, um desto mehr wird der Quotient vergrößert. Wird der Divisor aufs äußerste verkleinert, so vergrößert sich der Quotient aufs äußerste. Aber solange noch angegeben werden kann, er sei so und so groß, ist er noch nicht aufs äußerste vergrößert; denn man kann alsdann eine noch größere Zahl angeben. Der Quotient ist also von unbestimmbarer Größe und wird mit Recht unendlich genannt.“

[Wenn der Divisor allerkleinst, also 0 ist.]

Wenn solche reife Erkenntnisse des Infinitesimalen aus dem Zauberland des Meditierens, aus indischen Schulen, damals schon ins Abendland gelangt und in die geeigneten Hände gekommen wären, hätte sich wahrscheinlich die Weltgeschichte anders entwickelt. Aber es begab sich eben anders. Und das Abendland erfuhr auch bis zum 19. Jahrhundert nichts davon, daß Brahmagupta mehrere Unbekannte durch Farbenbezeichnungen unterschied, wie denn die indische Algebra überhaupt in ihrer Einkleidung sehr poetisch war. So sagt Bhaskara in seinem „Lilavati“ überschriebenen Kapitel über die Rechenkunst: „Schönes Mädchen mit den glitzernden Augen, sage mir, so du die richtige Kunst der Umkehrung verstehst, welches ist die Zahl, die mit 3 vervielfacht, sodann um $\textstyle {\frac {3}{4}}$ des Produktes vermehrt, durch 7 geteilt, um ein Drittel des Quotienten vermindert, mit sich selbst vervielfacht, um 52 vermindert, durch Ausziehung der Quadratwurzel, Addition von 8 und Division durch 10 die Zahl 2 hervorbringt.“ Falls diese Lilavati ein wirkliches schönes Mädchen und nicht bloß, wie einige Historiker annehmen, die allegorische Darstellung der herrlichen Rechenkunst selbst war, dann dürften sich, auch wenn sie die „Methode der Umkehrung“ verstand, ihre glitzernden Augen ein wenig getrübt haben, bevor sie wußte, daß der Gang der Rechnung

$(2\cdot 10-8)^{2}+52=196$

${\sqrt {196}}=14$ und

$(14\cdot 1{\frac {1}{2}}\cdot 7\cdot {\frac {4}{7}}):3=28$ lautete,

da alle in Worten angegebenen Rechnungsoperationen gerade umgekehrt angesetzt werden mußten. Denn $28\cdot 3=84$. Dazu $\textstyle {\frac {3}{4}}$ von 84, also 63, ergibt 147.

Diese 147 durch 7 sind 21, davon $\textstyle {\frac {1}{3}}$ ab macht 14, das, mit sich selbst vervielfacht, 196 ergibt.

Subtraktion von 52 vermindert l96 auf 144, dessen Quadratwurzel 12 ist. Wenn man hierzu 8 addiert, also 20 erhält, und dies durch 10 dividiert, resultiert tatsächlich 2, wie es verlangt war. Noch poetischer erscheint uns die Aufgabe: „Von einem Schwarm Bienen läßt $\textstyle {\frac {1}{5}}$ sich auf einer Kadambablüte, $\textstyle {\frac {1}{3}}$ auf der Silindhablume nieder. Der dreifache Unterschied der beiden Zahlen flog nach den Blüten einer Kutuja, eine Biene blieb übrig, die in der Luft hin und her schwebte, gleichzeitig angezogen durch den lieblichen Duft einer Jasmine und eines Pandamus. Sage mir, reizendes Weib, die Anzahl der Bienen“. Es handelt sich dabei nicht um einen großen Bienenschwarm. Wenn wir ihn $x$ nennen, so ist

$\textstyle x={\frac {x}{5}}+{\frac {x}{3}}+({\frac {x}{3}}-{\frac {x}{5}})3+1$

oder

$3x+5x+6x+15=l5x$

oder

$x=15$

Doch diese Beispiele nur nebenbei. Wir müssen jetzt zum Algorithmus des indischen Positionssystems zurückkehren. Daß es eine indische Entdeckung ist, unterliegt heute keinem Zweifel mehr, wenn auch die Zeit der Entstehung des Systems nicht genau bekannt ist. Vor der Zeit des Alchwarizmi aber war es sicherlich schon hoch ausgebildet. Nun beschränkt sich aber, wie schon gesagt, die Bedeutung des Stellenwertsystems durchaus nicht darauf, eine bequeme Zahlenschreibung zu ermöglichen. Das spezifisch „Algorithmische“ daran ist seine Fähigkeit, die Rechnungsoperationen, gleichsam zwangsläufig, in einer bis dahin unerreichten Einfachheit zuzulassen; was sich wieder insbesondere bei der Multiplikation und bei der Division geltend macht. Wir können uns hier nicht ins theoretische Detail verlieren.

Wir merken bloß an, daß das Stellenwertsystem eigentlich nichts anderes ist als eine fallende Potenzreihe der Form

$a_{0}g^{n}+a_{1}g^{n-1}+...+a_{n-2}g^{2}+a_{n-1}g^{1}+a_{n}g^{0}$

wobei $a_{0}$ bis $a_{n}$ an die Koeffizienten und $g^{0}$ bis $g^{n}$ die Potenzen der Grundzahl $g$ sind. Also beim Zehnersystem $g^{0}=10^{0}=1$ bis $g^{n}=10^{n}$. Nun werden bloß die Koeffizienten nach dem Grundsatz der Größenfolge geschrieben und die „Stelle“ zeigt an, mit welcher Potenz der Grundzahl der Koeffizient zu multiplizieren ist. In der Zahl 3457 ist die 3 tausendmal so groß als in der Zahl 72.553. Daher kann man für alle Fälle mit 10 Zeichen auskommen, wozu allerdings auch die sogenannte Null gehört, deren Erfindung am spältesten erfolgte und die im Indischen „das Leere“ (sunga) heißt. Erst diese Null schließt das System, indem sie das Fehlen von Grundzahlenpotenzen, bzw. das Vorhandensein von Nullkoeffizienten anzeigt. Gerade die Null aber ist eine echt indische Entdeckung, ebenso wie die Benennung der Stufenzahlen (10, 100, 1000 usw.) bis $10^{2}9$ mit eigenen Wörtern. Die Null nun wurde, wahrscheinlich in Ägypten, von den Arabern als „as sifr“ bezeichnet, was eine Übersetzung für das indische „das Leere“ ist. Aus diesem Wort aber entsprang wieder die Bezeichnungen chiffre und Ziffer, und Zero für die Null.

Wir sprachen von der algorithmischen Eignung der neuen Positionsarithmetik. Gewiß, auch die Griechen multiplizierten und dividierten. Ebenso die Römer. Sie mußten aber, etwa bei der Multiplikation, die Teilprodukte nach dem distributiven Gesetz wirklich bilden und diese Teilprodukte dann addieren, als ob es sich um Polynome (Mehrgliederausdrücke) gehandelt hätte. Die Zahlen 320 und 47 wurden multipliziert als

$(300\times 40)+(20\times 40)$ $+(300\times 7)+(20\times 7)$ $=12000+800+2100+140$ $=15.040.$

Wir haben absichtlich ein simples Beispiel gewählt, das durch die Null am Schluß von 320 noch vereinfacht wird, da dies zwei Teilprodukte erspart. Man stelle sich aber etwa diese Art Multiplikation von 932.581 und 764.822 vor, oder gar noch eine Verbindung mit Brüchen, die ja bloß in der Form gemeiner Brüche existierten. Es wird dadurch verständlich, daß später gesagt wurde, eine etwas größere Multiplikation (von der Division ganz zu schweigen), die heute jeder Volksschüler bewältigt, sei damals eine Aufgabe für erstrangige Mathematiker und Rechenvirtuosen gewesen.

Die Inder dagegen erkannten bald nach der vollständigen Ausbildung des Stellenwertsystems die eben in diesem System liegenden algorithmischen Vorzüge und Möglichkeiten.

Fig. 5

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