Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 111c

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Geschichte der Mathematik (Teil 11)

Eine andere Frage ist es, auf welchem Weg Archimedes zu seinen ungeheuren Entdeckungen gelangte. Darüber hat uns ein glücklicher Fund aufgeklärt, den der dänische Gelehrte und Archimedesforscher J. L. Heiberg im Jahre 1906 machte. In diesem von Heiberg und Zeuthen entzifferten Palimpsest sagt nämlich Archimedes selbst ganz unbefangen in einem Schreiben an Eratosthenes: „Manches, was mir vorher durch die Mechanik klar geworden, wurde nachher bewiesen durch die Geometrie, weil die Behandlung durch jene Methode noch nicht durch Beweis begründet war; es ist nämlich leichter, wenn man durch diese Methode (d. h. die mechanische) vorher eine Vorstellung von den Fragen gewonnen hat, den Beweis herzustellen, als ihn ohne eine vorläufige Vorstellung zu erfinden.“ Über dieses Zeugnis von Archimedes selbst ist nicht hinwegzukommen. Und es ist zugleich ein Generalzeugnis für den mathematischen Zeugungsakt überhaupt. Synthetisch, aus Axiomen, Definitionen und Forderungen aufbauend, ist wohl, entwicklungsgeschichtlich betrachtet, nur die nachträgliche systematische Darstellung der Mathematik. Das Auffinden einzelner Wahrheiten geschieht eher auf analytischem oder mechanischem Wege oder gar durch das „mathematische Experiment“, wie es ja schon dem Pythagoras zugeschrieben wird. Und es ist sogar sehr wahrscheinlich, daß der Mechaniker Archimedes bei Inhaltsbestimmungen vorher mit der Waage gearbeitet und den geometrischen Beweis nachher ersonnen hat, was seine Verdienste nicht schmälert, da seine geometrischen Beweise als Musterbeispiele von synthetischer Strenge und Ausführlichkeit auf die Zukunft übergingen. Allerdings gibt es noch eine andere Art, mathematische Entdeckungen zu machen, die Oswald Spengler die magische nennen würde. Leibniz hat sie als „cabbala vera“, als wahre Kabbalistik oder als lullische Kunst bezeichnet. Doch es ist hier noch nicht der Ort, darüber zu sprechen, da sie bei Archimedes und auf hellenischem Boden nicht auftritt. Hier ist erst die Mechanik und die Bewegungsgeometrie (Spirale, Rotationskörper usw.) in den Bereich der streng euklidischen „ruhenden“ Mathematik eingebrochen.

Ein Kapitel der Mechanik aber war es, das sich seit Archimedes dauernd als eigentümliche Zwischenform zwischen Mathematik und Physik erhielt und das auch heute noch eine ungeheure Rolle spielt. Wir meinen die so recht eigentlich durch Archimedes begründete und durch ihn bereits zu großer Vollendung getriebene Statik, die Lehre vom Gleichgewicht ruhender Körper. Es kann nicht deutlich genug gesagt werden, daß eine mathematische Statik ohne Unendlichkeitsüberlegungen kaum denkbar ist. Schon der Schwerpunkt an und für sich ist nicht bloß ein möglicher Unterstützungspunkt eines Körpers, sondern die Fiktion, daß das ganze Gewicht des betrachteten Gebildes in diesem einen, durchaus ausdehnungslosem Punkt vereinigt sei. Darüber hinaus aber kann es ein Gleichgewicht sicherlich nur geben, wenn ein Gewicht existiert. Schon Archimedes setzt sich über diese selbstverständlich scheinende Forderung mit einem einzigen Gewaltstreich hinweg. Er vindiziert alle Eigenschaften von Gebilden, die der Schwere unterworfen sind, wie Gleichgewicht, Schwerpunkt, Schwerlinien usw. für geometrische Figuren. Da ausdehnungslose Gebilde keine Masse, also kein Gewicht haben können, ist dieser Gewaltstreich größer und kühner, als wir es heute fühlen. Wir sind durch Jahrtausende an diese Darstellungsart gewöhnt, die voraussetzt, daß man ein wirkliches, etwa aus Holz angefertigtes Dreieck (das natürlich eigentlich ein sehr niedriges Prisma ist), stets dünner werden läßt, bis es, sagen wir Papierdicke erhät. Nun läßt man seine Dicke weiter und weiter schwinden und sieht zu, welche statischen Eigenschaften unabhängig von der Dicke erhalten bleiben. Gut, der Schwerpunkt bleibt derselbe, bzw. er bleibt in der Draufsicht am gleichen Fleck, wie sehr ich auch die Dicke verringere. Dasselbe gilt für die Schwerlinien. Dasselbe für Beziehungen des Gewichtes und der Gewichtsverteilung zu anderen Flächengebilden jeweils gleicher Dicke. Wenn sich nun Schwere und Körperlichkeit vollständig verflüchtigt haben, wenn die Figur zum geometrischen Schemen geworden ist, dann behalte ich diese Beziehungen als Rest in der Hand. Obwohl im tiefsten Sinn eine ungeheure Abstraktionskraft erforderlich ist, vom „Schwer“punkt schwereloser Schatten und vom Gleich„gewicht“ gewichtsloser Dinge zu sprechen. Wie man auch die Sache wenden mag, bleibt ohne vollste infinitesimale Überlegung der Widerspruch bestehen, und auch die Analogie mit den geometrischen Figuren, die ja in „Wirklichkeit“ ebensowenig existieren, ist sehr brüchig. Denn geometrische Figuren sind Gestaltformen, sind Größengesetze, während statische Betrachtungen außerhalb gravitierender Massen, also außerhalb eines körperlichen Bereiches, überhaupt jeden Sinn verlieren.

Wie dem nun auch sei, hat Archimedes mit kühnsten Griffen diesen Teil der Mechanik durchforscht. Er war sich klar über die Hebelgesetze, handhabte in doppelt infinitesimaler Art die Flächenvergleichung von im Gleichgewicht befindlichen Figuren, die er in beliebig (unendlich) dünne Streifen zerlegte, und leistete zudem in der Hydrostatik durch Entdeckung des „archimedischen Prinzips“ [Gleichheit des Gewichts der verdrängten Wassermenge mit dem Gewicht des schwimmenden Körpers.] Bahnbrechendes, wobei er zudem noch den Begriff des spezifischen Gewichtes der Körper und die Gesetze der Schwimmlage und Schwimmstabilität (metazentrische Höhe) feststellte. Und seine Mechanik war so umfassend, daß er nicht bloß die „Schraube ohne Ende“ zur Wasserförderung verwendete und seinem König Hiero die Sensation verschaffte, als einzelner ein schweres Schiff von Stapel zu lassen, sondern daß er, wie schon erwähnt, seine Vaterstadt durch zwei Jahre gegen die Römer verteidigte.

Das alles aber würde ihn zwar zum Genie, noch nicht aber zum größten Mathematiker des Altertums stempeln. Als solcher ist seine Produktivität schier unerschöpflich gewesen. Und vor allem seine ungeheure Gelenkigkeit, wenn man so sagen darf. Daß der Kreisinhalt gleich ist einem Dreieck mit der Kreisperipherie als Grundlinie und dem Radius als Höhe, ist ebenso einzigartig meisterhaft wie die Aufstellung neuer Axiome, etwa, daß die Gerade stets die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten sei. Und erst in neuester Zeit wurde eine weitere axiomatische Feststellung des Archimedes in ihrer vollen Bedeutung gewürdigt, die Aussage nämlich, daß all unsrem Messen der Grundsatz vorangehen müsse, es sei stets möglich, jede beliebige Strecke

{\overline {AB}}

durch entsprechende Vervielfachung einer kleineren Strecke

{\overline {AC}}

zu übertreffen. Das sieht wie ein Scherz aus oder wie eine Binsenwahrheit. Es hat sich aber herausgestellt, daß dieses und eben dieses Axiom unsre ganze Geometrie zum Typus einer „archimedischen“ macht, wobei andre „nichtarchimedische“ Typen weder unmöglich noch in sich widersprechend sind. Schließlich hat Archimedes auch die Stereometrie durch die Feststellung und Durchforschung der 13 archimedischen oder halbregelmäßigen Körper (Polyeder) mächtig gefördert. Deren Flächen sind 3-, 4-, 5-, 6-, 8-, 10- und 12-Ecke, und zwar bestehen zehn dieser Vielflache aus je zweierlei und die übrigen drei aus je dreierlei der angeführten regelmäßigen Vielecke. Es zeigt sich bei Archimedes nach Ablauf von Jahrtausenden das Gesetz wirklicher menschlicher Geistesgröße. Er selbst war der Großmeister der Exhaustion. Sein Werk aber, so klein es verhältnismäßig rein äußerlich und an Seitenanzahl erscheint, ist kaum „auszuschöpfen“. Noch weniger ist das Wunder zu erfassen, daß sich stets wieder innerhalb streng geschlossener Kulturen Menschen erheben, die durch ihre Taten weit in die Zukunft noch nicht gewordener Kulturen hineinreichen. Das ist aber der dynamischste und aktuellste Begriff des Erschaffens „ewiger“ Werte, der potentiellen „Unsterblichkeit“ echtester Leistung. Denn erst beinahe achtzehn Jahrhunderte später sollte der faustische Geist der abendländischen Völker dort anknüpfen, wo der römische Soldat blindwütig die Kreise des Titanen gestört hatte.

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