Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 103c

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Geschichte der Mathematik (Teil 3)

Hatte noch ein Thales von Milet, der wohl ursprünglich Kaufmann gewesen ist und sich erst im höchsten Alter der Mathematik hingab, den großen Übergang zur wahren Wissenschaft mehr geahnt als ausgeführt, so verband sich in Pythagoras all das, was sein Lehrer Thales wußte, mit den Ergebnissen seiner Studienreisen sofort zu einer ganzen Reihe bahnbrechender Errungenschaften. Als erste dieser Neuerungen wollen wir die bekannteste besprechen, den sogenannten pythagoreischen Lehrsatz, ohne den eine Mathematik im weiteren Sinne überhaupt nicht zu denken ist. Wir wollen nicht allzuweit vorgreifen, aber wir müssen doch hier schon andeuten, daß ohne diesen Lehrsatz kaum irgendein Zweig der Geometrie und darüber hinaus der auf Geometrie fußenden höheren Mathematik sich hätte ausbilden können.

Jedermann weiß, wie dieser Lehrsatz lautet, weiß, daß in jedem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite (der Hypotenuse) gleich ist der Summe aus den Quadraten über den beiden anderen Dreieckseiten, den sogenannten Katheten. Die von Schopenhauer aufgeworfene Frage, warum diese Beziehung bestehe, ist wie alle derartigen Fragen nicht zu beantworten. Man kann in hundert Arten beweisen, daß es so ist. Das „Warum“ bleibt ein Mysterium. Die Eigenschaften einer geometrischen Figur liegen eben in ihrem Wesen, im Begriff der Figur, den wir selbst gebildet haben. Solche Fragen sind ebenso sinnlos wie die Fragen, ob es in „Wirklichkeit“ rechte Winkel geben kann. Es „gibt“, streng genommen, in einer derart aufgefaßten „Wirklichkeit“ überhaupt keine Winkel, da sich unendlich dünne Linien und vollständig ausdehnungslose Scheitelpunkte in einer materiellen Welt nicht manifestieren können. Alle Gebilde der Geometrie existieren nur in unsrem Kopfe, sie sind ein Geisterreich, das seine Gesetze, unabhängig von der äußeren Erfahrung, in sich selbst trägt, das aber ebendeshalb als Reich reiner Formen, an jede beliebige „Wirklichkeit“ angelegt, Geltung besitzen und behalten muß. Die Sätze über das Dreieck gelten für ein Dreieck aus Fixsternen ebenso hundertprozentig wie für ein Dreieck aus Holz, Metall, Stein oder Brotteig. Sie gelten aber auch für ein Dreieck aus Zahlenlinien. Doch das nur nebenbei.

Pythagoras hatte also als erster den Satz für jedes Dreieck ausgesprochen, der bisher in Ägypten bloß für das Seitenverhältnis 3, 4, 5 (somit 3² + 4² = 5² oder 9 + 16 = 25) und in Indien für die Seiten 5, 12 und 13 (somit 5² + 12² = 13² oder 25 + 144 = 169) bekannt war. Und dazu für seine Umkehrung, von der man in Ägypten und Indien eigentlich ausgegangen war. In diesen beiden Ländern hatte man, wie wir wissen, gesagt, ein rechter Winkel entstehe (oder ein rechtwinkliges Dreieck liege vor), wenn die Seiten in dem und dem Verhältnisse ständen. Pythagoras sagt umgekehrt: in jedem rechtwinkligen Dreieck, also in jedem und jedem aller überhaupt möglichen rechtwinkligen Dreiecke, verhielten sich die Seiten in dem schon oben geschilderten quadratischen Verhältnis der Gleichheit von Summe der Kathetenquadrate mit dem Hypotenusenquadrat. Wenn man Weiters etwa als Konstruktionsbehelf den Satz des Thales von Milet heranzieht, dann könnte man über einer und derselben Hypotenuse alle die unendlich Vielen rechtwinkligen Dreiecke zeichnen, die ihre Scheitelpunkte im Kreisumfang haben müssen. Wie verschieden diese Dreiecke nun auch aussehen, stets wird das Quadrat über dem Kreisdurchmesser flächengleich sein der Summe der Quadrate über den beiden Seiten, die je einen Umfangspunkt des Halbkreises mit den Endpunkten des erwähnten Durchmessers verbinden. Und wir glauben, daß es auch einem Skeptiker jetzt klar sein muß, wie weit sich dieses vollständig allgemeine Gesetz von den an sich brauchbaren und richtigen Einzelfällen der ägyptischen und indischen Geometrie unterscheidet. Vor allem ist der Satz des Pythagoras, obgleich er ein wirkliches Messen erst ermöglicht, durchaus unabhängig von jeder eigentlichen konkreten Maßgröße. Er ist Ursprung und Ausgangspunkt und nicht Folge oder Ergebnis der Messung. Das bis dahin primitive „Werkzeug“ ist gleichsam zur universell anwendbaren Maschine geworden. Und man darf jetzt ruhig die Frage aufwerfen, wie groß etwa die Hypotenuse sein müsse, wenn wir die beiden Katheten

a = 5 und b = 7 kennen.

Die Summe a² + b² ist in konkreten Zahlen hier

5² + 7² = 25 + 49 = 74,

somit ist das Hypotenusenquadrat gleich 74.

Nun ist aber diese Zahl keine Quadratzahl, hat keine ganzzahlige „Wurzel“, denn

8² = 64 und 9² schon 81.

Also eine sicherlich sehr ernste Schwierigkeit, auf die wir an dieser Stelle noch nicht näher eingehen wollen. Pythagoras suchte daher sofort nach einem Weg, beliebig viele Zahltriaden, also Zahldreiheiten, zu gewinnen, für die unter der Bedingung

a² + b² = c² alle drei Zahlen a, b und c stets ganze Zahlen waren.

Für ungerade Zahlen fand er selbst die Formel, für gerade wurde sie erst Jahrhunderte später von seinem großen Schüler Platon aufgestellt. Die pythagoreische Lösung lautet, modern geschrieben, wenn a eine ungerade Zahl ist

und dieses a als a = 2n + 1 dargestellt wird,

für b = 2n² + 2n und für

die Hypotenuse c = 2n² + 2n + 1.

Also für a = 9 etwa oder a = 2·4 + 1 ist

b = 2·4² +2·4 = 40 und

c = 2·4² + 2·4 + 1 = 41.

Tatsächlich ist 9² + 40² = 41² oder 81 + 1600 = 1681

Des Interesses halber sei hier bereits die platonische Formel für gerade Ausgangszahlen vorweggenommen. Sei 2n eine gerade Zahl, dann ergeben sich die drei Seiten als

2n, (n² + 1) und (n² - 1)

also etwa für 2n = 8 die andern Seiten 17 und 15.

Also 8² + 15² = 17² oder 64 + 225 = 289.

Nach dieser pythagoreischen Formel findet man leicht für n = 1 das ägyptische und für n = 2 das indische Dreieck. Daß Pythagoras auch wußte, daß er jede dieser Zahldreiheiten mit beliebigen ganzen Zahlen vervielfachen durfte, ohne die Ganzzahligkeit der Lösung zu beeinträchtigen, ist mehr als wahrscheinlich, da die einfachste Zeichnung lehrt, daß sich am Wesen der Figur durch Verdopplung, Verdreifachung usf. der Einheitsstrecke nichts ändert.

Etwa (3·3)² + (3·4)² = (3·5)² ergibt wieder ein ganzzahliges rechtwinkliges Dreieck, da 81 + 144 = 225 die Richtigkeit zeigt.

Wie nun, so fragen wir uns, hat Pythagoras unbestimmte Gleichungen behandelt, die ihm die erwähnten Lösungen lieferten? War er etwa schon im Besitze einer Buchstabenrechnung? Oder hat er seine Weisheit von der ägyptischen Haufenrechnung entlehnt? Die zweite Möglichkeit besteht, die erste ist unbedingt abzulehnen. Es besteht aber noch eine dritte Möglichkeit, mit der wir uns aus sehr wichtigen Gründen eingehend auseinandersetzen müssen. Es wird nämlich berichtet, daß schon Pythagoras und die Pythagoreer die Kunst des „Anlegens“ geübt hätten, daß ihnen alle drei Methoden des parabolischen, elliptischen und hyperbolischen Anlegens geläufig gewesen seien. Wir dürfen - dies sei festgestellt - hier noch durchaus nicht an die uns bekannten Kurven-Begriffe von Parabel, Ellipse und Hyperbel denken. Viel später, wie wir noch sehen werden, hat sich dieser Kurvenbegriff bei Apollonios von Pergä aus dem entwickelt, was hier in Rede steht. Aber so weit sind wir vorläufig noch nicht. Die Kunst des Anlegens war vielmehr etwas, was sich auf griechischem Boden eigentümlich entwickelte, eine Verwandlungskunst, eine Kunst, Figuren der Geometrie in andre Figuren gleichen Flächeninhaltes zu verwandeln. Neuere Forscher der Mathematikgeschichte haben diese Betätigung treffend als „geometrische Algebra“ bezeichnet).

Und diese „Algebra“ ermöglicht es tatsächlich, in verkappter Art Gleichungen bis zum sogenannten zweiten oder gemischtquadratischen Grad zu lösen.

Es würde weit über unseren Rahmen hinausführen, diese Kunst eingehend zu erörtern, da sie als Gleichungsmethode ausschließlich auf die hellenische Mathematik beschränkt blieb. [Wo sie bei den Arabern oder im europäischen Mittelalter und zu Beginn der Neuzeit in Europa noch auftritt, ist sie ausschließlich Nachahmung der Griechen oder Reminiszenz an griechische Methoden.]

Es obliegt uns aber gleichwohl wenigstens ein einfaches Beispiel (eine parabolische Flächenanlegung) zu zeigen und zu erläutern. Daß man sich die Multiplikation als Rechteck denken kann, ist klar. Das Produkt aus a und b ist a mal b und dieses Produkt ist gleich der Fläche eines Rechteckes mit den Seiten a und b. Es ergibt sich daraus auch die Umkehrbarkeit (Kommutativität) der Multiplikation, denn die Fläche des Rechteckes ist natürlich auch b·a, wie der Augenschein und ein reihenweises Auszählen der Einheitsquadrate lehrt. Man kann sogar die Lösung komplizierterer Aufgaben versuchen. Teilt man nämlich die beiden Seiten des Rechteckes (oder besser, stellt man sie als Summen dar), so findet man, daß

(a + b) (c + d) gleich ist mit

ac + bc + ad + bd.

Man braucht bloß in den Teilungspunkten Parallel-Linien zu den Seiten zu ziehen und den Flächeninhalt der durch diese Hilfslinien neu entstandenen vier Rechtecke abzulesen. Tatsächlich sagte man, so wie wir heute noch

a·a als a² oder „a zum Quadrat“ bezeichnen,

für das allgemeine Produkt a·b in Griechenland stets „Rechteck aus a und b“. [Diese Ausdruckweise findet sich noch bei Descartes und vereinzelt noch später.]

Ein Produkt aber ist eine neue Zahl, bzw. es kann jederzeit als Zahl aufgefaßt werden. Wir werden allerdings später sehen, daß Vieta und andere neuzeitliche Mathematiker es rügen, daß die Hellenen die Zahlen einmal als Linien und dann wieder als Flächen ansahen. Doch das werden wir später erörtern. Tatsache war es für die Griechen, daß man eine Zahl n, die nur irgendwie teilbar war, als Rechteck der Seiten a und b darstellen konnte.

Also n = ab.

Nun kann man dieses Rechteck zeichnen. Will man weiters n durch irgendeine Zahl (= Strecke) d dividieren, dann verlängert man etwa b um d und „legt“ an dieses d ein neues Rechteck „an“. Und zwar so, wie in der Figur dargestellt.

Fig. 1

Man zieht nämlich auch die Verlängerung d₁ zum Punkt B, von dort durch E die Diagonale bis dorthin, wo sie sich mit der Verlängerung von a schneidet. Von diesem Scheitelpunkt C wird nun, parallel mit b, eine Linie bis D gezogen, der ein Schnittpunkt der Verlängerung von a₁ mit dieser Parallelen ist.

Nun ist das ganze neue große Rechteck ABCD durch die Diagonale in zwei gleiche Dreiecke geteilt, die jedes aus einem Rechteck ab, bzw. dq

und aus zwei Dreiecken $\triangle _{1}$ und $\triangle _{2}$ bzw. $\triangle _{1}^{\prime }$ und $\triangle _{2}^{\prime }$ bestehen.

Da die $\triangle _{1}$ und $\triangle _{2}$ mit $\triangle _{1}^{\prime }$ und $\triangle _{2}^{\prime }$ ersichtlich gleich sind, ist auch das Rechteck ab gleich dem neu „angelegten“ Rechteck dq.

Wenn aber ab = dg, dann ist ${\frac {ab}{d}}=q$

oder die zu dividierende Zahl n durch den Divisor d gleich dem Quotienten q.

Das ist aber nur eine der vielen algebraischen Anwendungsmöglichkeiten der parabolischen Anlegung. Man könnte auch eine lineare Gleichung der Form ab = cx oder eine ihrer Umformungen in derselben Weise lösen. Oder aber es könnte das Problem so gestellt sein, daß Wir aus dem Rechteck ab ein Quadrat erzeugen, somit ab = x² konstruieren sollten, was wieder die positive Lösung der reinquadratischen Gleichung liefert usf. Jedenfalls waren die schon bei Pythagoras und seinen nächsten Schülern behandelten Probleme durchaus nicht primitiv.

Dieser Eindruck verstärkt sich noch bedeutend, wenn wir jetzt die pythagoreische Zahlenlehre, seine Arithmetik naher ins Auge fassen. Man Weiß, daß Pythagoras die Eins selbst nicht als Zahl, sondern als Ursprung aller Zahlen ansah. Man betrieb nach dem Grundsatze, daß das Wesen der Dinge die Zahl sei, eine sehr umfassende Zahlenmystik und entdeckte im Laufe der Forschungen über die Zahlen allerlei Zusammenhänge. Bevor wir jedoch Näheres darüber mitteilen, müssen wir noch einen Begriff nachtragen, der auch bei der Zahlenlehre eine Rolle spielen wird. Man nannte die bei allen Flächenanlegungen bedeutsame Figur ABDFEG (Fig. 1) ein „Gnomon“ (zu deutsch einen „Erkenner“). Nun versuchten die Pythagoreer sofort, an ein Quadrat der Einheit rechtwinklig-gleicharmige Gnomone anzulegen, und fanden damit, wie die Figur 2 zeigt, die auffallende Tatsache, daß die Summe der ungeraden Zahlen, wie weit man die Summierung auch treibt, stets Quadratzahlen liefert.

Also 1 + 3 = 4 = 2²,

1 + 3 + 5 = 9 = 3²,

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²

und sofort bis

1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1) = n²,

wobei n die um eins vermehrte Anzahl der angelegten Gnomone bedeutet.

Aus der Addition der natürlichen Zahlen

1 + 2 + 3 + + 4 + ... dagegen bildete man ein Punkte-Dreieck mit der Eins als Spitze und nannte alle Zahlen Dreieckszahlen, die, wie etwa 28 oder 55, aus einer Auf-Addierung der Folge der natürlichen Zahlen entstanden waren.

Darüber hinaus erörterte man noch „befreundete Zahlen“ (etwa 220 und 284), von denen jede gleich der Summe der Teiler der anderen ist.

Denn 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 und

284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110.

„Vollkommene Zahlen“ aber waren wieder solche, die der Summe ihrer Teiler selbst gleich sind. Eine vollkommene Zahl war etwa

Fig. 2

6 = 1 + 2 + 3 oder

496 = l + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

Dies alles diene nur als Beispiel für die zahlentheoretische Beschäftigung (Wie man seit Legendre sagen müßte), die von Pythagoras selbst und seinen Schülern ausgeübt wurde. Was aber wollte man mit diesen Zahlenbeziehungen? Auch das wissen wir: man erstrebte, die Harmonie des Zahlenreiches und damit die Harmonie des Weltalls zu durchschauen. Man wurde in diesem Forschen noch durch die harmonischen Beziehungen der Musik bestärkt, die sich in den sonderbaren Proportionen der schwingenden Saitenlängen auf einem Monochord (einem Ein - Saiten - Instrument) offenbarten. Kurz, man schwelgte im Gedanken der ganzzahligen Erfaßbarkeit des Universums und glaubte den letzten Rätseln des Seins auf der Spur zu sein. In einer Art, die einzig und allein dem hellenischen Wesen entsprach: in der Form lückenloser Harmonie und reinlichster Klarheit und Durchsichtigkeit.

Da meldete sich, gerade den höchsten und weitesttragenden Entdeckungen entspringend, plötzlich eine avernische Macht [avernisch = höllisch, qualvoll; nach dem lateinischen Wort für »Unterwelt« Avernus], die diesen Traum mitleidlos zerstörte; wobei man allerdings damals nicht ahnte und ahnen konnte, daß eben diese höchst unerwünschte, fast unterweltliche Entdeckung später erst so recht die Bahn zu schwindelerregendem mathematischem Fortschritt freimachen würde. Wir meinen mit dieser Ankündigung die Entdeckung des Irrationalen.

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