Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 090c

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Mathematik von A bis Z (Teil 27)

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Siebenundzwanzigstes Kapitel

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Drei Arten des Nichts

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Zuerst die verschiedenen Kleinheitsordnungen: Wir haben schon rein formal angedeutet, daß in der Unendlichkeitsanalyse das „winzig“, „winzigst“ und „allerwinzigst“ eine große Rolle spielt. Wir behaupteten sogar schon und erklärten es arithmetisch durch Brüche, daß man ein $(dx)^{2}$ gegenüber einem dx einfach vernachlässigen dürfe, weil sich das x zum dx verhalte wie das Weltall zur Erde und das dx zum $(dx)^{2}$ wie die Erde zum Staubkorn. Wenn ich nun die Erde auf einer Zeichnung oder in einer Rechnung als kleinsten Punkt betrachte, dann kommt es auf Staubkörner nicht mehr an. Allerdings soll nicht verschwiegen werden, daß sich gegen diese Betrachtungsweise gerade viele Angriffe richten. Man gibt zu, daß es praktisch auf das Staubkorn nicht ankomme, daß es aber theoretisch zwar vernachlässigt werden könne, durch nichts jedoch aus der Welt zu schaffen sei. Die Infinitesimalrechnung gehöre deshalb nicht zur „Präzisionsmathematik“, sondern zur „Approximations- (Annäherungs-) Mathematik“, wie ja überhaupt auch alles Rechnen mit Irrationalzahlen nur „Annäherungsmathemalik“ sei.

So interessant es wäre, moderne Versuche zu besprechen, dieser Schwierigkeit zu begegnen, müssen wir uns dies gleichwohl im Rahmen unserer Darstellungsweise versagen. Wir werden eher versuchen, die Möglichkeit verschiedener Kleinheitsordnungen besonders sinnfällig zum Ausdruck zu bringen, indem wir rein zeichnerisch „drei Arten des Nichts“ demonstrieren. Zu diesem Zweck stellen wir uns vor, wir hätten ein sogenanntes Parallelepiped (d. i. ein Prisma oder eine Säule, deren Kanten alle rechtwinkelig aneinanderstoßen). Dieses Parallelepiped bestände aus einem Metall, das sich wie alle Metalle durch Erwärmung ausdehnt. Nun soll die Ausdehnung aber nicht nach allen Richtungen, sondern bloß in drei Abmessungen erfolgen. Dies könnte man etwa dadurch erzielen, daß man das Metallstück in eine Zimmerecke stellt, so daß es sich nur nach oben und nach zwei Seiten gegen vorne zu ausdehnen kann.

Natürlich erfolgt die Vergrößerung des Metallprismas nicht getrennt in den verschiedenen Richtungen, sondern gleichzeitig. Nun zerlegen wir uns, nachdem das Prisma seinen größten Rauminhalt erreicht hat, in Gedanken den „Zuwachs“. Und zwar so, als ob jede der drei Flächen F₁, F₂ und F₃ ohne Rücksicht auf die anderen Flächen aus ihrer ursprünglichen Lage um den entsprechenden „Zuwachs“ nach oben oder vorn gerückt wäre.

Fig. 51

Fig. 52

Der Deutlichkeit halber sind die einzelnen Teile, die den Gesamtzuwachs bilden, noch einmal gezeichnet und um die Hauptfigur, die deren Zusammensetzung zeigt, herumgestellt. Es ist klar, daß unser Metallprisma, wenn wir es auf die ursprüngliche Temperatur abkühlen, wieder die Größe annimmt, besser zur Größe einschrumpft, die es ursprünglich hatte. Alle Zuwachsstücke ziehen sich, rein arithmetisch gesprochen, wieder zur Größe Null zusammen. Sie sind ins Nichts verschwunden. Bevor sie jedoch dieses Nichts erreichten, als sie, wie wir es schon nannten, noch Limes Null ($\lim 0$) waren, hatten sie merkwürdigerweise eine grundverschiedene Größe. Die Flächenzuwächse (F₁, F₂, F₃) waren verschwindend dünne Flächen, die drei stabförmigen Ausfüllungsstücke (G₁, G₂, G₃) zogen sich zu Linien zusammen, während schließlich das würfelähnliche Gebilde (P) vorn oben zu einem Punkt schrumpfte. Wieder stoßen wir auf das Rätsel von Unterschieden im Nichts. Flächen-Nichts, Strecken-Nichts, Punkt-Nichts können nicht gleichbedeutend sein. Es sind, wenn der Ausdruck erlaubt ist, Nichtse verschiedener Mächtigkeit. Und wir deuten nur an, daß wir dies auch in folgender Art ausdrücken können, wenn wir den Punkt als „Einheit des Nichts“ wählen: Ein Punkt ist ein Nichts. Eine Strecke ist eine Aneinanderreihung von unendlich vielen Punkten, ist also unendlichmal größer, obgleich sie an und für sich auch ein Nichts ist. Eine Fläche ist sogar als Produkt aus Länge und Breite eine Menge von unendlich mal unendlich vielen Punkten, also die Menge von unendlich zum Quadrat Punkten. Und dies, obgleich sie eigentlich durch ihre nur gedachte Begrenzung und durch ihre Dickelosigkeit wiederum eine Art des Nichts ist.

Das Etwas beginnt also ganz streng physisch (oder physikalisch) genommen erst durch das Hinzutreten der dritten Dimension. „Etwas“ und „Dreidimensionalität“ sind, von einem gewissen Standpunkt gesehen, das gleiche. Doch wir wollen uns nicht allzuweit in diese sehr komplizierten Tiefen der sogenannten „Mengentheorie“, einem neuen und sehr abstrakten Teil der höchsten Mathematik, vorwagen. Wir stellen nur fest, daß wir nicht nur arithmetisch und logisch, sondern rein sinnfällig erkannt haben, daß es ebenso wie im Großen, so auch im Kleinen gewisse Rangordnungen der verhältnismäßigen Größe gibt. Man nennt sie die „verschiedenen Größenordnungen“ oder auch speziell für das Kleine „Kleinheitsordnungen“. Und man spricht von „Kleinheit erster, zweiter, dritter usw. Ordnung“, dx ist eine Kleinheit erster Ordnung, $(dx)^{4}$ eine Kleinheit vierter Ordnung, $(dx)^{n}$ eine Kleinheit n-ter Ordnung und so fort bis zur Kleinheit $\infty$ter oder mehrfach $\infty$ter Ordnung. Wenn sich der Verstand und die Vorstellungskraft auch sträuben, unterhalb des „Kleinsten“ noch Kleineres zu denken, so verlangt es doch eben derselbe Verstand, eine mit sich selbst multiplizierte Kleinheit als kleiner zu betrachten als die nichtmultiplizierte. Ebenso, wie ja sicher $\textstyle {\frac {1}{10}}$ größer ist als $\textstyle {\frac {1}{10}}\cdot {\frac {1}{10}}={\frac {1}{10}}$

Man könnte natürlich einwenden, daß die Übertragung von Begriffen und Regeln, die nur für das Endliche gelten und dort beweisbar sind, auf Operationen, in die das unvorstellbare und unkontrollierbare Unendlich hineinspielt, nicht zulässig seien. Nun haben wir aber dagegen wieder die gute Ausrede, daß wir ja gar nicht mit dem Unendlichkleinen, sondern bloß mit dem Beliebigkleinen arbeiten. Also stets mit $\lim 0$ und nicht mit 0, die dein Unendlichkleinen wertmäßig entspräche. Und zweitens sind wir in der Lage, unsere „infinitesimalen“ Behauptungen wo nicht stets zu beweisen, doch sicher und untrüglich zu verifizieren.

Wir müssen aber jetzt aus unserer anregenden Erörterung des Unendlichkleinen wieder zu etwas sehr Konkretem zurückkehren, um endlich die letzte Vorbedingung für unseren Gipfelsturm zu schaffen. Wir werden also all unsere bisherigen arithmetischen Kenntnisse zusammenfassen, um den berühmten „binomischen Lehrsatz“ zu bewältigen. Es gibt für diesen Satz die verschiedensten Ableitungen. Wir wählen die elegante kombinatorische Darstellung, um den Zusammenhang der Kombinationslehre mit dem schon oft erwähnten „Binomialkoeffizienten“ deutlich zu machen.

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