Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 089c

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Mathematik von A bis Z (Teil 26)

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Sechsundzwanzigstes Kapitel

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Beziehungen zwischen Differentialquotient und Integralbefehl

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Wir haben schon früher einmal gezeigt, daß man rein arithmetisch zwar nicht die einzelnen Differentiale, wohl aber ihr Verhältnis zueinander, den sogenannten Differentialquotienten $\textstyle {\frac {dy}{dx}}$ bestimmen kann, wenn uns eine Funktion $y=f(x)$ gegeben ist. Wir haben diese sogenannte „Ableitung“ oder „derivierte Funktion“, wie der Wert des Differentialquotienten auch heißt, an zwei Beispielen zu gewinnen versucht und wirklich gewonnen. Und der Leser darf es uns glauben, daß jede beliebige Funktion durch mehr oder weniger verwickelte Rechnungen differentiierbar ist.

(Natürlich nur, wenn sie nicht Eigenschaften hat, die dem Wesen der Differentiierbarkeit zuwiderlaufen.)

Die Differentialrechnung, deren Grundregeln wir bald kennenlernen werden, ist eine Rechnungsoperalion, die mit derselben Sicherheit gehandhabt werden kann wie etwa die Multiplikation. Ob sie zu den thetischen oder lytischen Rechnungsarten gehört, darüber sind die Ansichten geteilt. Sie hat nämlich Eigenschaften von beiden Typen der Rechnungsoperationen. Darüber aber wollen wir uns vorläufig weiter nicht den Kopf zerbrechen, sondern vielmehr untersuchen, ob uns die Differentialrechnung nicht vielleicht den Schlüssel zur Bewältigung der Integralrechnung an die Hand gibt. Und zwar wollen wir die Geometrie für einige Zeit verlassen und der Angelegenheit rein formal und arithmetisch an den Leib rücken. Schon bei den Imaginärzahlen ist es uns gelungen, mit Hilfe einer Gleichung ein scheinbar unzugängliches Rätsel, die Größe des Drehungsfaktors bei 90 Graden, zu lösen und diesen Faktor als i zu entlarven.

Bei der Quadratur erhielten wir Befehle von der Form Fläche $\textstyle \int y\;dx$ und $\textstyle \int f(x)\;dx$. In beiden Befehlen steckt sowohl die Funktion der Kurve (einmal als Ordinate y und einmal als in x ausgedrückter gleich großer Wert dieser Ordinate) als auch das dx. Die erste Frage, die wir zu untersuchen haben, ist nun, ob dieses dx aus der Funktion f(x) stammt. Dies ist offenbar nicht der Fall. Denn wir kennen bisher nur eine Gleichung

$\textstyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x)$.

Ein dx gehört nach unseren bisherigen Erkenntnissen nicht zu einer „Stammfunktion“, sondern zu einem Differentialquotienten einer Stammfunktion, den wir als y' oder f'(x) schreiben. Nun machen wir in Gedanken einen kühnen Kunstgriff, den Leibniz an jenem historischen 29. Oktober 1676 machte. Wir betrachten nämlich die Integrale so, als ob nicht eine Stammfunktion, sondern als ob ein Differentialquotient hinter dem Integralzeichen stände. In Wirklichkeit hat sich gar nichts geändert, das sei nochmals betont. Geändert hat sich bloß die große Kabbala unserer Auffassung. Hätte die zu quadrierende Kurve etwa die Gleichung $y=x2$ gehabt, so bleibt es dabei. Wir behaupten bloß, daß es noch eine andere, die Stammfunktion $F(x)$ gäbe, von der unsere Funktion $y=x^{2}$ eben der Differentialquotient sei. Wir sind uns klar, daß dieses Umdenken die größte Schwierigkeit der Unendlichkeitsanalysis ist.

Wenn man diesen Kunstgriff einmal verstanden hat, ist alles andere leicht und eine mehr oder weniger rechenmechanische Angelegenheit. Trotz der Schwierigkeit der Sache wollen wir aber vorläufig nicht verweilen, sondern weiterschreiten. Wir nehmen also kurzerhand an, wir hätten einen Differentialquotienten vor uns

$\textstyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x)=y'$

Arithmetisch ist das eine Gleichung wie jede andere. Und ich kann sie formal nach den Regeln der Gleichungslehre behandeln. Also sie etwa mit dx multiplizieren. Dabei darf es uns nicht weiter stören, daß das Gleichheitszeichen zweimal erscheint. Denn hätte ich ein Rechteck mit den Seiten $a=5$ und $b=3$, so dürfte ich ja auch schreiben $F_{R}=a\cdot b=5\cdot 3$ oder sogar $F_{R}=a\cdot b=5\cdot 3=15$ und alles bliebe richtig, wenn ich mit 2 multiplizierte: $2F_{R}=2a\cdot b=2\cdot 5\cdot 3=30$. Also wir multiplizieren mit dx und erhalten

$\textstyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x)\;dx=y'\;dx$ oder

$dy=f'(x)\;dx=y'\;dx$.

Da wir aber nach unserer Waageregel die Gleichheit nicht ändern, wenn wir an gleichen Dingen gleiche Rechnungsoperationen vornehmen, dürfen wir auch auf beiden oder hier auf allen Seiten der Gleichung den Inlegralbefehl erteilen. Also:

$\int dy=\int f'(x)\;dx=\int y'\;dx$.

Nun sind wir zu unserer Überraschung einer höchst wichtigen Eigenschaft des Integrals auf die Spur gekommen. Es ist die Gegenoperation der Differentialrechnung. Denn würde ich wieder alle Integrale fortlassen (ent-integrieren könnte man auf unserer Stufe sagen), dann würde ich wieder

$dy=f'(x)\;dx=y'\;dx$

und bei Division durch dx

$\textstyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x){\frac {dy}{dx}}=y'{\frac {dy}{dx}}=$$f'(x)=$$y'$,

also den ursprünglichen Differentialquotienten erhalten. Nun brauchen wir uns bloß noch darum zu kümmern, was $\textstyle \int dy$ bedeutet. Es ist eine unendliche Aufsummierung aller dy, also aller y-Zuwächse in dem von uns gewählten Bereich der Kurve. Natürlich jener Kurve, die ich differentiiert habe, um f'(x) oder y' zu erhalten. Also der Kurve, die der mir beim Integral unbekannten „Stammfunktion“ y=F(x) entspricht. Das $\textstyle \int dy$ ist also einfach y oder F(x), da dies ja das gleiche bedeutet. Und ich darf schreiben:

$\textstyle F(x)=y=\int y'\;dx=\int f'(x)\;dx$.

Damit ist das Problem der Integralrechnung gestellt. Es lautet: Haben wir eine beliebige Funktion zu integrieren, dann ergibt sich als Resultat der Integration der Wert der „Stammfunktion“deren Differentialquotient die uns zum Integrieren vorgelegte Funktion ist.

Gewöhnlich wird die „vorgelegte“ Funktion f(x) und die Stammfunktion F(x) geschrieben. Diese Schreibart ist für den Anfänger jedoch verwirrend, weil bei $y=f(x)$ und $y=F(x)$ das y zwei verschiedene Werte vorstellt. Man sollte entweder $y=F(x)$ und $y'=f(x)$ oder am konsequentesten gleich $y=F(x)$ und $y'=f'(x)$ schreiben. Nur ein Mensch, der sich die Infinitesimalrechnung im Selbststudium angeeignet hat, kann beurteilen, was für Schwierigkeiten die kleinste Abweichung von konsequenter Schreibung dem Anfänger macht.

Nun wissen wir also, daß

$\textstyle F(x)=y=\int f'(x)\;dx=\int y'\;dx$

bedeutet. Dabei müssen wir noch eine naheliegende Frage stellen. Warum hatten wir bei Quadratur und Rektifikation zum Integral die Grenzen hinzugesetzt, während wir sie hier wegließen? Die Frage ist nicht leicht zu beantworten. Es gibt nämlich ein sogenanntes „bestimmtes“ und ein „unbestimmtes“ Integral. Das bestimmte zeigt uns die Aufsummierung innerhalb eines begrenzten, das unbestimmte dagegen die Aufsummierung innerhalb eines unbegrenzten Bereiches. Beiläufig verhalten sich das bestimmte und das unbestimmte Integral zueinander wie eine konkrete und eine allgemeine Zahl. Habe ich das „unbestimmte“ Integral gefunden, das auch das „allgemeine“ heißt, dann kann ich stets durch Einsetzung von Grenzen zu einem „bestimmten“ oder „konkreten“ Integral kommen. Wir werden das bald an praktischen Beispielen kennenlernen.

Jetzt aber müssen wir uns der Differentialrechnung zuwenden, um aus ihr die Möglichkeit zu gewinnen, die Integrale wirklich zu berechnen oder „auszuwerten“, wie man auch sagt. Dabei werden wir, dem gewöhnlichen Vorgang entgegen, stets beide Rechnungsarten gemeinsam betrachten. Zur Vorbereitung allerdings haben wir noch zwei kleine Hügel zu übersteigen. Nämlich eine Analyse der verschiedenen Kleinheitsordnungen und den sogenannten binomischen Lehrsatz, dessen ruhmvoller Entdecker Isaac Newton war.

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