Análisis real/Preliminares de la teoría de conjuntos

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No entraremos aquí en una discusión de la teoría axiomática de conjuntos, pues esto nos tomaría mucho tiempo, y pondría demasiado énfasis en ideas que no son objeto directo de este libro. En su lugar, lo que aquí expondremos es lo que suele llamarse teoría intuitiva de conjuntos, pues ésta incluye los resultados básicos de la teoría de conjuntos sin poner mucha atención en los detalles técnicos de la misma. Así pues, lo que veremos en esta sección no constituye más que un lenguaje apropiado para introducir los conceptos que veremos después.

Un conjunto puede entenderse como una colección de objetos. Un objeto perteneciente a un conjunto dado se dice un elemento de este conjunto. Para indicar que el objeto es un elemento del conjunto escribiremos

Usaremos la notación según la cual, por ejemplo,

representa al conjunto cuyos únicos elementos son a, b, c, d y e. Usaremos también la notación más concisa según la cual el conjunto de aquellos elementos que satisfacen una propiedad dada se representa por

Dos conjuntos y son iguales si y sólo si todo elemento de lo es de y todo elemento de lo es de . También se dice que es subconjunto de , en símbolos , si todo elemento de es elemento de .

El único conjunto sin elementos, llamado conjunto vacío, será representado por . Así pues,

para cualquiera que sea el objeto .

La notación empleada aquí para representar a los conjunto numéricos familiares al lector se resume en la tabla siguiente.

Conjunto de números naturales
Conjunto de números enteros
Conjunto de números racionales
Conjunto de números reales
Conjunto de números complejos

Tenemos además las operaciones sobre conjuntos: si y son dos conjuntos, se definen

llamados unión e intersección de y respectivamente. La diferencia de y se define como el conjunto

Las figuras siguientes ilustran cada una de estas operaciones.


Union.svg Interseccion.svg Diferencia.svg


Cuando , se dice el complemento de en .

Estas son algunas propiedades en torno a estas operaciones sobre conjuntos

Sean , y conjuntos cualesquiera. Tenemos

( U-1 )

( U-2 )

( U-3 )

( U-4 )

( U-5 )

( U-6 ) si y solo si

( I-1 )

( I-2 )

( I-3 )

( I-4 )

( I-5 )

( I-6 ) si y solo si


Además, se cumplen las siguientes leyes distributivas:

( UI-1 )

( UI-2 )

Para la diferencia de conjuntos tenemos:

( D-1 )

( D-2 )

( D-3 )

( D-4 )

( D-5 )

( D-6 )

( D-7 )

( D-8 ) si y solo si