Análisis real/Preliminares de la teoría de conjuntos

No entraremos aquí en una discusión de la teoría axiomática de conjuntos, pues esto nos tomaría mucho tiempo, y pondría demasiado énfasis en ideas que no son objeto directo de este libro. En su lugar, lo que aquí expondremos es lo que suele llamarse teoría intuitiva de conjuntos, pues ésta incluye los resultados básicos de la teoría de conjuntos sin poner mucha atención en los detalles técnicos de la misma. Así pues, lo que veremos en esta sección no constituye más que un lenguaje apropiado para introducir los conceptos que veremos después.

Un conjunto $A$ puede entenderse como una colección de objetos. Un objeto perteneciente a un conjunto dado se dice un elemento de este conjunto. Para indicar que el objeto $x$ es un elemento del conjunto $A$ escribiremos

$x\in A$

Usaremos la notación según la cual, por ejemplo,

$\{a,b,c,d,e\}\$

representa al conjunto cuyos únicos elementos son a, b, c, d y e. Usaremos también la notación más concisa según la cual el conjunto de aquellos elementos $x$ que satisfacen una propiedad $\phi (x)$ dada se representa por

$\{x\mid \phi (x)\}.$

Dos conjuntos $A$ y $B$ son iguales si y sólo si todo elemento de $A$ lo es de $B$ y todo elemento de $B$ lo es de $A$. También se dice que $A$ es subconjunto de $B$, en símbolos $A\subset B$, si todo elemento de $A$ es elemento de $B$.

El único conjunto sin elementos, llamado conjunto vacío, será representado por $\varnothing$. Así pues,

$x\notin \varnothing$

para cualquiera que sea el objeto $x$.

La notación empleada aquí para representar a los conjunto numéricos familiares al lector se resume en la tabla siguiente.

$\mathbb {N} \qquad$	Conjunto de números naturales
$\mathbb {Z}$	Conjunto de números enteros
$\mathbb {Q}$	Conjunto de números racionales
$\mathbb {R}$	Conjunto de números reales
$\mathbb {C}$	Conjunto de números complejos

Tenemos además las operaciones sobre conjuntos: si $A$ y $B$ son dos conjuntos, se definen

$A\cup B=\{x\mid x\in A\ {\mbox{o}}\ x\in B\}\qquad {\mbox{y}}\qquad A\cap B=\{x\mid x\in A\ {\mbox{y}}\ x\in B\}.$

llamados unión e intersección de $A$ y $B$ respectivamente. La diferencia de $A$ y $B$ se define como el conjunto

$A\setminus B=\{x\mid x\in A\ {\mbox{y}}x\notin B\}.$

Las figuras siguientes ilustran cada una de estas operaciones.

$A\cup B$	$A\cap B$	$A\setminus B$

Cuando $A\subset B$, $B\setminus A$ se dice el complemento de $A$ en $B$.

Estas son algunas propiedades en torno a estas operaciones sobre conjuntos

Sean $A$, $B$ y $C$ conjuntos cualesquiera. Tenemos

( U-1 ) $A\cup A=A$

( U-2 ) $A\cup \varnothing =x$

( U-3 ) $A\cup B=B\cup A$

( U-4 ) $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$

( U-5 ) $A\subseteq A\cup B$

( U-6 ) $A\subset B$ si y solo si $A\cup B=B$

( I-1 ) $A\cap A=A$

( I-2 ) $A\cap \emptyset =\varnothing$

( I-3 ) $A\cap B=B\cap B$

( I-4 ) $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$

( I-5 ) $A\cap B\subseteq A$

( I-6 ) $A\subseteq B$ si y solo si $A\cap B=A$

Además, se cumplen las siguientes leyes distributivas:

( UI-1 ) $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

( UI-2 ) $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

Para la diferencia de conjuntos tenemos:

( D-1 ) $A-A=\varnothing$

( D-2 ) $A-\varnothing =A$

( D-3 ) $A-(A-B)=A\cap B$

( D-4 ) $A\cap (B-C)=(A\cap B)-(A\cap C)$

( D-5 ) $A-(B\cup C)=(A\cap B)-(A\cap C)$

( D-6 ) $A-(B\cap C)=(A\cup B)-(A\cup C)$

( D-7 ) $A-B\subseteq A$

( D-8 ) $A\subseteq B$ si y solo si $A-B=\varnothing$