Álgebra/Capítulos a reubicar/Resolución de ecuaciones por factorización de polinomios

Resolución de ecuaciones por factorización de polinomios

Cuando un polinomio esta factorizado podemos encontrar las raíces facilmente, es decir podemos resolver ecuaciones de grado n.

Ejemplos

Queremos resolver la ecuación $3x^{6}-3x^{5}-117x^{4}+327x^{3}-210x^{2}=0\,\!$ afortunadamente este es el mismo polinomio que en el apartado anterior con lo cual ya sabemos las soluciones, que son $x=1\,\!$ $x=2\,\!$ $x=5\,\!$ $x=-7\,\!$ $x=0{\mbox{(doble)}}\,\!$

Ahora queremos resolver $x^{7}-5x^{6}+3x^{5}-19x^{4}+30x^{3}\,\!$

Sacamos factor común $x^{3}\,\!$, aplicamos después Ruffini y encontramos las raíces 2 y -3 finalmente nos queda $(x-2)x^{3}(x+3)(x^{2}+4x+5)\,\!$ la ecuación $x^{2}+4x+5\,\!$ no tiene solución, por eso no podemos descomponer más. Las soluciones del polinomio son: $x=2\,\!$ $x=-3\,\!$ $x=0{\mbox{(triple)}}\,\!$ Como podemos ver aunque el polinomio es de grado 7 y debería tener 7 soluciones, dos de ellas no están porque hay una ecuación de segundo grado que no podemos descomponer.

Nota final

Aunque durante los dos últimos apartados se ha presentado los polinomios como fácilmente factorizables, no es así. Como norma general la raíz de un polinomio es un número no entero, 0,3242 por ejemplo, para encontrar estas raíces tiene que hacerse lo siguiente: Las soluciones racionales de una ecuación polinómica con coeficientes enteros se encuentran entre los números $p/q$ donde p es uno de los divisores del término independiente y q uno de los divisores del coeficiente director.

Ejemplos

Hallar las raíces de $x^{3}-2x-4=0$. Los divisores del termino independiente serán, en este caso, 1, -1, 2, -2, 4, -4 y del coeficiente director 1, -1. Por tanto las posibles raíces son 1, -1, 2, -2, 4, -4 que introduciendolos en el polinomio nos dara que la solución es 2. Hallar las raíces de $2x^{4}+x^{3}+2x+1=0$. Ahora tenemos como divisores del término independiente 1, -1 y del coeficiente director 1, -1, 2, -2. De lo que tenemos como posibles soluciones 1/2, -1/2, 1, -1 e introduciendolas en el polinomio comprobamos que las soluciones son -1/2 y -1. El número de soluciones que faltan para correponderse con el grado de estas ecuaciones corresponde a soluciones de números complejos.

Aun con esto muchas veces tampoco podremos encontrar las soluciones de un polinomio como $x^{4}+7x^{3}+27x^{2}+55x+50\,\!$ ya que se trata de soluciones irracionales a las que solo nos podemos aproximar, o soluciones de números complejos