Álgebra/Análisis numérico/Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales/Métodos indirectos

Definición

Un método indirecto para solucines de un Sistema de Ecuaciones, aprovecha las estructuras particulares de ciertas matrices para desarrollar esquemas de solución eficientes. Ya se vió que los métodos de descomposición tienen una deficiencia en cuanto a propagación de error a medida que se despejan las ecuaciones. En el método de Gauss Seidel se verá que éste puede ser controlado por el número de iteraciones, llegando con cada una a un mejor nivel de aproximación a la solución real.

Matrices Especiales:

Matriz Banda: Matriz cuadrada en la que todos sus elementos son cero, con excepción de una banda centrada sobre la diagonal principal. Los sistemas de ecuaciones caracterizados por este tipo de matrices ocurren típicamente en la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales.

Dimensiones de un sistema de banda:

Ancho de banda (BW, Band Width) y el ancho de banda media (HBW, Half Band Width).

BW = (2 \times HBW) + 1

Tipicamente, un sistema de banda es aquel para el cual se cumple:

a_{ij} = 0 \left\| {i - j} \right\| > HBW

Sistemas Tridiagonales:

Sistema tridiagonal

Una de las ventajas que tiene caracterizar un problema con un sistema tridiagonal, es que su aplicación evita guardar grandes números de ceros que no se utilizan en la matriz cuadrada de A, y por lo tanto éste requiere menos memoria de cómputo.

Solución por Algoritmo de Thomas:

- Descomposición:

 DO k=2, n
    ek=ek/fk-1
     fk=fk-ek*gk-1
 END DO

- Sustitución hacia Adelante:

 DO k=2, n
    rk=rk-ek*rk-1
 END DO

- Sustitución hacia Atrás

 xn=rn/fn
 DO k=n-1,1,-1
    xk=(rk-gk*rk-1)/fk
 END DO

Descomposición de Cholesky:

Si se tienen dos matrices simétricas (definidas positivas), los elementos de éstas se pueden descomponer de la siguiente manera, dado que [A] = [L][LT], cada elemento de éstas matrices se puede despejar como:

l_{kj} = {{a_{ki} - \sum\limits_{j = 1}^{i - 1} {l_{ij} l_{kj} } } \over {l_{jj} }} l_{kk} = \sqrt {a_{kk} - \sum\limits_{j = 1}^{k - 1} {l_{kj}^2 } }