Álgebra/Análisis numérico/Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales/Métodos de eliminación

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Definición[editar]

El paso de la eliminación que consume tiempo se puede reformular de tal manera que involucre sólo operaciones sobre los coeficientes de [A].

Conveniente para situaciones donde se tienen que evaluar varias veces el vector [b], para un mismo valor de [A].

El método de eliminación de Gauss se puede implementar como una descomposición LU.

LU proporciona un medio eficiente para calcular la matriz inversa.

Revisión de descomposición LU:

Descomposición LU Matriz U Ecuación de U


Matriz L Ecuación de L

La anterior es una estrategia de dos pasos:

Descomposición LU: La matriz a se factoriza o "descompone" en matrices triangular inferior (L), y superior (U).

Sustitución: L y U se usan para determinar una solución x para un lado derecho b. Este a su vez se divide en dos: – Ld = b, se usa para generar un vector intermedio d por sustitución hacia delante. – El resultado es sustituido en Ux – d = 0, que se resuelve por sustitución hacia atrás.

Complejidad de resolver Sistemas Lineales usando el método LU:

La eliminación Gaussiana para realizar la descomposición LU presenta un costo computacional del orden de m3/3.

Se puede resolver un sistema lineal explícitamente invirtiendo la matriz, entonces la solución es dada por: x = A-1b.

Calcular A-1 es tan costoso como resolver el sistema mismo.

La inversión explícita es 3 veces más costosa como la descomposición LU.

Produce pérdida de precisión en la respuesta.

Ecuación[editar]

Ejemplo[editar]