Álgebra/Análisis numérico/Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales/Métodos de eliminación
Definición
[editar]El paso de la eliminación que consume tiempo se puede reformular de tal manera que involucre sólo operaciones sobre los coeficientes de [A].
Conveniente para situaciones donde se tienen que evaluar varias veces el vector [b], para un mismo valor de [A].
El método de eliminación de Gauss se puede implementar como una descomposición LU.
LU proporciona un medio eficiente para calcular la matriz inversa.
Revisión de descomposición LU:
Descomposición LU Matriz U Ecuación de U
Matriz L Ecuación de L
La anterior es una estrategia de dos pasos:
Descomposición LU: La matriz a se factoriza o "descompone" en matrices triangular inferior (L), y superior (U).
Sustitución: L y U se usan para determinar una solución x para un lado derecho b. Este a su vez se divide en dos: – Ld = b, se usa para generar un vector intermedio d por sustitución hacia delante. – El resultado es sustituido en Ux – d = 0, que se resuelve por sustitución hacia atrás.
Complejidad de resolver Sistemas Lineales usando el método LU:
La eliminación Gaussiana para realizar la descomposición LU presenta un costo computacional del orden de m3/3.
Se puede resolver un sistema lineal explícitamente invirtiendo la matriz, entonces la solución es dada por: x = A-1b.
Calcular A-1 es tan costoso como resolver el sistema mismo.
La inversión explícita es 3 veces más costosa como la descomposición LU.
Produce pérdida de precisión en la respuesta.