Álgebra/Análisis numérico/Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales/Método de Jacobi

Definición

Hasta ahora los métodos directos e indirectos han tenido problemas con los redondeos y aproximaciones a la solución real. Los métodos iterativos representan una alternativa potente para solucionar esta dificultad, puesto que éstos se acercan más a la solución real esperada a medida que se itera, de manera que la calidad de la aproximación obtenida dependerá de la cantidad de iteraciones que se éste dispuesto a efectuar. El planteamiento consiste en suponer un valor inicial y luego usar un método sistemático para obtener una estimación refinada de la solución.

El Método de Jacobi es uno de los métodos iterativos más conocidos.

Supóngase que se tiene un sistema 3 x 3. Si los elementos de la diagonal no son todos cero, la primera ecuación se puede resolver para x1, la segunda para x2 y la tercera para x3, para obtener:

x_1 = {{b_1 - a_{12} x_2 - a_{13} x_3 } \over {a_{11} }} x_2 = {{b_2 - a_{21} x_1 - a_{23} x_3 } \over {a_{22} }} x_3 = {{b_3 - a_{31} x_1 - a_{32} x_2 } \over {a_{33} }}

En general, para un sistema de ecuaciones lineales de n ecuaciones con n incógnitas, el Método de Jacobi para encontrar un valor k de una variable x es el siguiente:

x_i^{(k)} = \left( {b_i - \sum\limits_{j = 1,j \ne i}^n {a_{ij} x_j^{(k - 1)} } } \right)/a_{ii}

El procedimiento consiste en asignar unos valores iniciales a las variables, usualmente se escoge "0" por simplicidad, de manera que para generar la siguiente iteración se sustituyen los valores obtenidos en la ecuación siguiente, con lo que se obtiene:

x_1 = b_1 /a_{11}

En la siguiente sección se ilustra cómo la convergencia de éste método está dada por:

\left| {\varepsilon _{a,i} } \right| = \left| {{{x_i^k - x_i^{k - 1} } \over {x_i^k }}} \right| \times 100\% < \varepsilon _s

\left\| {b - {\rm A}x} \right\|_{norma} < tol

Convergencia del método:

Para determinar si el método de Jacobi converge hacia una solución. Se evalúan las siguientes condiciones de convergencia (Nota: las siguientes van en un órden de modo que si se cumple una de las condiciones, comenzando por la primera por supuesto, la evaluación de las siguientes no es necesario realizarlas):

La matriz sea estrictamente dominante diagonalmente por filas (E.D.D. por filas), es decir, para todo i desde 1 hasta n que es el tamaño de la matriz A: \left| {a_{ii} } \right| \ge \sum\limits_{j = 1}^{i - 1} {\left| {a_{ij} } \right|} + \sum\limits_{j = i + 1}^n {\left| {a_{ij} } \right|}

Es decir, el elemento de la diagonal correspondiente a la fila i debe ser mayor a la suma de los elementos de esa fila i.

A partir de la siguiente identidad: A = D - L - U

Donde D corresponde a la matriz formada por los elementos de la diagonal de A (D=diag(a11, a22, ..., ann)), -L corresponde a la matriz triangular inferior obtenida de la parte triangular estrictamente inferior de A, y -U corresponde a la matriz triangular superior obtenida de la parte triangular estrictamente superior de A, se puede deducir la fórmula vectorial de este método:

X^k = D^{ - 1} (L + U)X^{k - 1} + D^{ - 1} b, k = 1, 2, ...

De donde BJ (conocida como la matriz de iteración de Jacobi) es D-1(L+U). Para que el método de Jacobi converja hacia una solución,

\left\| {B_J } \right\|_{norma} < 1, para una norma matricial inducida.

ρ(BJ), que corresponde al máximo de los valores absolutos de las raíces de la ecuación característica de la matriz BJ (det(BJ - λI)) es menor que 1.