Álgebra/Análisis numérico/Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales/Método de Heun

Definición

Un método para mejorar la estimación de la pendiente involucra la determinación y promediado de dos derivadas para el intervalo (una en el punto inicial y otra en el punto final).

En el método de Euler, la pendiente al inicio del intervalo se usa para extrapolar linealmente a $y_{i}+1$. _ En el método de Heun la pendiente calculada en la estimación previa no es para la respuesta final, sino para una predicción intermedia. Esta ecuación es llamada predictor. Mejora una estimación de $yi+1$ que permite el cálculo de una estimación de la pendiente al final del intervalo.

$y'_{i+1}=f(x_{i+1},y_{i+1}^{0})$

Aquí,$y0i+1$ es el predictor, y es la misma ecuación de Euler para encontrar $y_{i}+1$.

Ésta nos sirve para calcular la pendiente $y'i+1$.

Las dos pendientes se promedian en el intervalo:

\overline {y'} = {{y'_i + y'_{i + 1} } \over 2}</math>

Esta pendiente promedio se utiliza para extrapolar linealmente desde $yi<math>hasta<math>y_{i}+1$ usando el método de Euler.

$y_{i+1}=y_{i}+{{f(x_{i},y_{i})+f(x_{i+1},y_{i+1}^{0})} \over 2}h$

Esta ecuación es conocida como ecuación corrector. El método de Heun es un procedimiento predictor – corrector.

Se puede conseguir una mejor precisión en el resultado si hacemos varios procesos correctores, esto lo logramos tomando $y_{i}+1$ y reemplazándolo por $y_{0}i+1$ en la ecuación y así encontrar un nuevo $y_{i}+1$, y se repite el proceso hasta donde se desee.