Álgebra/Análisis numérico/Integración y Diferenciación Numérica/Diferenciación numérica

Definición

Se desarrollarán fórmulas para aproximaciones de diferencias hacia delante, hacia atrás y centradas para la primera derivada utilizando la serie truncada de Taylor.

En el mejor de los casos, estas estimaciones presentan errores de orden O(h2); es decir, sus errores fueron proporcionales al cuadrado de su tamaño de paso. Este nivel de exactitud se debe al número de términos de la serie de Taylor.

Diferencias Divididas Finitas, 1ª derivada:

Definiendo un tamaño de paso h = xi+1 – xi

- Hacia delante:

$f(x_{i+1})=f(x_{i})+f'(x_{i})h+{{f''(x_{i})} \over {2!}}h^{2}+{{f'''(x_{i})} \over {3!}}h^{3}+\ldots$

$f'(x_{i})\simeq {{f(x_{i+1})-f(x_{i})} \over h}+O$

- Hacia atrás:

$f(x_{i-1})=f(x_{i})-f'(x_{i})h+{{f''(x_{i})} \over {2!}}h^{2}-{{f'''(x_{i})} \over {3!}}h^{3}+\ldots$

$f'(x_{i})\simeq {{f(x_{i})-f(x_{i-1})} \over h}+O/math>-Central:f'(x_{i})\simeq {{f(x_{i+1})-f(x_{i-1})} \over {2h}}+O(h^{2})$

Diferenciación de fórmulas de alta exactitud:

Se pueden generar fórmulas de alta exactitud al incluir términos adicionales en la expansión de la serie de Taylor. Teniendo en cuenta el término de la segunda derivada:

$f(x_{i+1})=f(x_{i})+f'(x_{i})h+{{f''(x_{i})} \over {2!}}h^{2}+\ldots$

Despejando para la primera derivada:

$f(x_{i+1})=f(x_{i})+f'(x_{i})h+{{f''(x_{i})} \over {2!}}h^{2}+\ldots$

De la expansión de Taylor hacia delante para f(xi+2) en términos de f(xi):

$f''(x_{i})={{f(x_{i+2})-2f(x_{i+1})+f(x_{i})} \over {h^{2}}}+O$

Despejando para f’’(xi):

$f'(x_{i})={{f(x_{i+1})-f(x_{i})} \over h}-{{f(x_{i+2})-2f(x_{i+1})+f(x_{i})} \over {2h^{2}}}h$

Agrupando términos y reordenando:

$f'(x_{i})={{-f(x_{i+2})+4f(x_{i+1})-3f(x_{i})} \over {2h}}+O(h^{2})$

La inclusión del término de la segunda derivada mejoró la exactitud en O(h2).

Se pueden desarrollar fórmulas similares para las fórmulas centradas y hacia atrás.