Álgebra/Análisis numérico/Integración y Diferenciación Numérica/Cuadratura de Gauss

Definición

Newton – Cotes: Estimación de la integral, se basa sobre valores de la función uniformemente espaciados. La localización de estos puntos fue fijo.

Regla Trapezoidal: Debe pasar a través de los puntos extremos. Existen casos donde la fórmula resulta en un error grande.

Supóngase que la restricción de los puntos fijos es eliminada y se tiene la libertad de evaluar el área bajo una recta que conecta dos puntos cualesquiera sobre la curva. Al ubicar estos puntos en forma “inteligente”, se puede definir una línea recta que equilibre los errores negativos y positivos. El objetivo de la cuadratura de Gauss es determinar los coeficientes de una ecuación de la forma:

$I\approx c_{0}f(x_{0})+c_{1}f(x_{1})$

En la cual las c son coeficientes desconocidos. En contraste con la regla trapezoidal que usa los puntos extremos fijos a y b, los argumentos de la función x0 y x1 no están fijos en los puntos extremos.

Se tienen cuatro incógnitas que deben ser evaluadas y se requieren cuatro condiciones para determinarlas con exactitud. Se pueden obtener dos de esas condiciones al suponer que la ecuación ajusta la integral de una constante y de una función lineal con exactitud. Para tener las otras dos condiciones, se extiende este razonamiento al suponer que también ajusta la integral de una función parabólica (y = x2) y de una cúbica (y = x3). Las cuatro funciones a resolverse son:

$c_{0}f(x_{0})+c_{1}f(x_{1})=\int _{-1}^{1}{1dx}=2$

$c_{0}f(x_{0})+c_{1}f(x_{1})=\int _{-1}^{1}{xdx}=0$

$c_{0}f(x_{0})+c_{1}f(x_{1})=\int _{-1}^{1}{x^{2}dx}={2 \over 3}$

$c_{0}f(x_{0})+c_{1}f(x_{1})=\int _{-1}^{1}{x^{3}dx}=0$

Resolviendo simultáneamente:

$c_{0}=c_{1}=1$ $x_{0}=-{1 \over {\sqrt {3}}}=-0.5773503...$ $x_{0}={1 \over {\sqrt {3}}}=0.5773503...$

Sustituyendo en la ecuación de coeficientes para obtener la ecuación de Gauss–Legendre de dos puntos:

$I\simeq f\left({-{1 \over {\sqrt {3}}}}\right)+f\left({1 \over {\sqrt {3}}}\right)$

Se llega a un resultado interesante en el que la simple suma de los valores de la función en x = 1/√3 y –x = 1/√3 dan una estimación de la integral que tiene una exactitud de tercer orden.

Obsérvese que los límites de integración de las ecuaciones son de -1 a 1. Esto se hizo para simplificar las matemáticas y para hacer la formulación tan general como sea posible. Es posible usar un cambio de variable para trasladar cualquier límite a esta forma. Suponiendo que una nueva variable xd se relaciona con la variable original x en una forma lineal, como en:

$x=a_{0}+a_{1}x_{d}$

Si el límite inferior x = a, corresponde a xd = -1, estos valores podrán sustituirse en la ecuación anterior para dar:

$a=a_{0}+a_{1}(-1)$

De manera similar, el límite superior x = b, corresponde a xd = 1, para dar:

$b=a_{0}+a_{1}(1)$

Resolviendo estas ecuaciones simultáneamente:

$a_{0}={{b+a} \over 2}a_{1}={{b-a} \over 2}$

Las cuales se pueden sustituir en la ecuación de relación para obtener:

$x={{(b+a)+(b-a)x_{d}} \over 2}$

Esta ecuación puede diferenciarse para dar:

$dx={{b-a} \over 2}dx_{d}$

Las dos ecuaciones anteriores podrán sustituirse para x y dx, respectivamente, en la evaluación que se habrá de integrar. Esas sustituciones transforman el intervalo de integración sin cambiar el valor de la integral.