Álgebra/Álgebra elemental/Expresiones algebraicas

En Aritmética se consideran operaciones posibles en un determinado conjunto y un sistema numérico: suma y multiplicación en el conjunto de los números naturales, radicación sobre los racionales, resta dentro de los reales, etc. Las expresiones algebraicas son una generalización de esas operaciones, denotadas mediante ciertos símbolos. Por ejemplo:

${\begin{matrix}x+y-{\cfrac {x}{y}}&x^{3}+x^{2}-10&{\cfrac {5x^{4}+2x^{3}-8x+1}{x^{3}+5}}\\a-{\sqrt {{\frac {b}{2}}+30}}&{\cfrac {5x-{\sqrt {3x^{3}+11x}}}{3x-1}}&5\alpha -{\frac {2}{3}}\end{matrix}}$

En una expresión algebraica, las letras son utilizadas para indicar un número, una cantidad que puede ser constante o variable y que admite distintos valores. Sobre estas cantidades se puede operar para reducir la expresión, por ejemplo:

$x+3x+5-{\frac {x}{2}}$

$4x-{\frac {x}{2}}+5$

${\frac {8x-x}{2}}+5$

${\frac {7x}{2}}+5$

${\frac {7}{2}}x+5$

Las reglas y propiedades que se tienen en cuenta a la hora de reducir expresiones algebraicas son, en su mayoría, las mismas que se emplean en la aritmética; basta con volver a analizar por un momento el ejemplo anterior para notar la aplicación de la propiedad conmutativa, resta de fracciones y factor común (para sumar y restar la letra x).

Definición. Una expresión matemática es algebraica si contiene, además de números y símbolos comunes, letras que expresan magnitudes (cantidades), variables o constantes, a las que se les efectúa las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación con exponente entero y radicación con índice natural.

Clasificación

Las expresiones algebraicas se clasifican de acuerdo a las operaciones que "afectan" a las letras.

Expresiones enteras

Se llama así a las expresiones que contienen las operaciones de

• suma
• resta
• multiplicación
• potenciación con exponente entero

sobre las letras.

${\begin{matrix}x^{3}+x^{2}-10&x+1\\2x^{3}+{\cfrac {5}{3}}x-7y^{4}-{\cfrac {\sqrt {3}}{2}}&{\cfrac {x+y-z}{5}}\end{matrix}}$

A su vez, las expresiones algebraicas enteras se pueden clasificar en:

• monomios, cuando contienen un único sumando:

${\begin{matrix}x&-5b^{3}\\{\cfrac {7}{2}}x&2xy^{3}\end{matrix}}$

• polinomios, cuando contienen más de un sumando (minuendo o sustraendo, viene a ser lo mismo cuando hablamos de números enteros ya que la resta es la suma de un opuesto). También pueden ser considerados como una suma de monomios. En particular, los polinomios se denominan binomios cuando tienen dos sumandos, trinomios cuando tienen tres y cuatrinomios si tienen cuatro. A partir de cinco sumandos se denominan, directamente, polinomios.

${\begin{matrix}-{\cfrac {2}{3}}x^{3}-5&4x+3y-2\\x^{4}-2x^{3}+5x+1&3x^{3}+2x^{2}y-2xy^{2}-5y^{3}+2\end{matrix}}$

Expresiones fraccionarias

Se llama así a las expresiones que contienen, además de las operaciones mencionadas anteriormente, fracciones (divisiones) con letras en el denominador.

${\begin{matrix}{\cfrac {1}{x}}&{\cfrac {5}{x^{2}+3y}}+{\cfrac {4x+3}{y-5}}\\7-{\cfrac {x^{2}+2x+5}{x^{3}-x+2}}&{\cfrac {7}{2x^{5}+{\cfrac {3}{7}}y^{2}-2y}}\end{matrix}}$

Expresiones irracionales

Se llama así a las expresiones que contienen todas las operaciones mencionadas antes y, además, la radicación de índice natural aplicadas a las letras.

${\begin{matrix}{\sqrt[{3}]{5+x}}&1-5{\sqrt {y+2x}}\\{\cfrac {4x^{5}-x+1}{\sqrt[{4}]{3x}}}&{\cfrac {2y-x}{{\sqrt {5-4x^{3}+3y}}-5}}\\\end{matrix}}$

Monomios y polinomios

En general, se puede representar a un monomio de la siguiente forma:

$a\,.\,x^{n},\quad a\in \mathbb {C} \land n\in \mathbb {N}$

si se consideran a y n constantes, x variable.

El número a se denomina coeficiente del monomio y n, grado. Se aplica una terminología análoga a los polinomios, ya que están compuestos por una suma de monomios. O sea, para un polinomio genérico:

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$

Los coeficientes son $a_{n},a_{n-1},\dots ,a_{2},a_{1},a_{0}$ y el grado es n, siempre que $a_{n}\neq 0$.

Ejemplos:

• $4x^{5}$ es un monomio de grado 5 cuyo coeficiente es 4.
• $-{\frac {x^{3}}{5}}$ es un monomio de grado 3 cuyo coeficiente es $-{\frac {1}{5}}$.
• ${\frac {\sqrt {3}}{2}}x^{2}$ es un monomio de grado 2 cuyo coeficiente es ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$.
• $x$ es un monomio de coeficiente y grado iguales a 1.

• ${\frac {7}{2}}x+5$ es un binomio de grado 1 y coeficientes ${\frac {7}{2}}$ y 5.
• $x^{3}+x^{2}-10$ es un trinomio de grado 3 y coeficientes 1, 1, 0 y -10.
• $x^{6}-2x^{4}+5x^{2}+1$ es un cuatrinomio de grado 6 y coeficientes 1, 0, 2, 0, 5, 0 y 1.

Suma y resta

La suma de dos monomios da como resultado un binomio de la forma $ax^{n}+bx^{m}$. El grado del binomio está dado por n, siempre que sea mayor que m. La resta $ax^{n}-bx^{m}$ no es más que la suma del opuesto del segundo monomio, es decir $ax^{n}+(-bx^{m})$.

Si se quieren sumar o restar dos polinomios, en cambio, el resultado final dependerá de los coeficientes y el grado de los polinomios sumandos.

Ejemplo: sean dos polinomios $5x^{3}+2x-7$ y $7x^{4}+x^{2}-3x-1$ obtener la suma.

Se expresa a ambos como suma y se reduce la expresión:

$5x^{3}+2x-7+7x^{4}+x^{2}-3x-1$

$7x^{4}+5x^{3}+x^{2}-3x+2x-7-1$

$7x^{4}+5x^{3}+x^{2}-x-8$

Una forma más simple de sumar dos polinomios es expresarlos uno encima del otro, ordenados y con todos sus términos, para que quede de esta manera:

${\begin{aligned}\,&0x^{4}&+5x^{3}&+0x^{2}&+2x&-7\\+&7x^{4}&+0x^{3}&+x^{2}&-3x&-1\\\hline \,&7x^{4}&+5x^{3}&+x^{2}&-x&-8\end{aligned}}$

Ahora, supongamos que se quiere averiguar la resta de los mismos polinomios del ejemplo anterior. Para eso se expresan como la suma del primero y el opuesto del segundo:

$5x^{3}+2x-7-(7x^{4}+x^{2}-3x-1)$

De modo que se obtiene:

${\begin{aligned}\,&0x^{4}&+5x^{3}&+0x^{2}&+2x&-7\\-&7x^{4}&+0x^{3}&-x^{2}&+3x&+1\\\hline -&7x^{4}&+5x^{3}&-x^{2}&+5x&-6\end{aligned}}$

Cabe destacar que no hubiera sido lo mismo restar los polinomios anteriores en orden inverso, puesto que es

${\begin{aligned}\,&7x^{4}&+0x^{3}&+x^{2}&-3x&-1\\-&0x^{4}&-5x^{3}&+0x^{2}&-2x&+7\\\hline \,&7x^{4}&-5x^{3}&+x^{2}&-5x&+6\end{aligned}}$

polinomio opuesto al conseguido en el ejemplo anterior.

Multiplicación

El producto entre dos monomios $ax^{n}$ y $bx^{m}$ se averigua aplicando propiedades de la multiplicación y potenciación de igual base:

$ax^{n}.bx^{m}=a.x^{n}.b.x^{m}=a.b.x^{n}.x^{m}=a.b.x^{n+m}$

La multiplicación entre dos polinomios se resuelve como en el siguiente ejemplo:

Obtener el producto de dos polinomios $5x^{2}+3x-2$ y $x^{3}-10$.

$(5x^{2}+3x-2).(x^{3}-10)$

Se aplica propiedad distributiva y se reduce la expresión:

$5x^{2}.x^{3}+5x^{2}.(-10)+3x.x^{3}+3x.(-10)+(-2).x^{3}+(-2).(-10)$

$5x^{2+3}-50x^{2}+3x^{1+3}-30x-2x^{3}+20$

$5x^{5}-50x^{2}+3x^{4}-30x-2x^{3}+20$

$5x^{5}+3x^{4}-2x^{3}-50x^{2}-30x+20$

División

El cociente entre dos monomios $ax^{n}$ y $bx^{m}$ se averigua aplicando propiedades de la división y potenciación de igual base:

$ax^{n}:bx^{m}=a.x^{n}:b.x^{m}=(a:b).(x^{n}:x^{m})=(a:b).x^{n-m}$

Para dividir dos polinomios primero se verifica que el grado del polinomio dividendo sea mayor que el del polinomio divisor. Luego, se sigue un proceso que se detalla en el siguiente ejemplo.

Sea $x^{3}-3x+2+5x^{4}$ el polinomio dividendo y $-7+x^{2}$ el divisor.

• Expresamos al polinomio dividendo completo y ordenado; al polinomio divisor, ordenado.

$5x^{4}+x^{3}+0x^{2}-3x+2\ {\underline {\left|x^{2}-7\right.}}$

• Dividimos los monomios de mayor grado $5x^{4}:x^{2}=5x^{2}$ y anotamos el resultado debajo del divisor.

${\begin{aligned}5x^{4}+x^{3}+0x^{2}-3x+2\ &{\underline {\left|x^{2}-7\right.}}\\\,&5x^{2}\end{aligned}}$

• Multiplicamos el monomio por el divisor $5x^{2}.(x^{2}-7)=5x^{4}-35x^{2}$ y lo restamos al dividendo.

${\begin{array}{rrrllll}\,&5x^{4}&+x^{3}&+0x^{2}&-3x&+2\ &{\underline {\left|x^{2}-7\right.}}\\-&5x^{4}&\,&+35x^{2}&\,&\,&5x^{2}\\\,&\,&x^{3}&+35x^{2}\end{array}}$

• Se repite la división de monomios de mayor grado $x^{3}:x^{2}=x$ y se anota el resultado debajo del divisor. Luego, se multiplica $x(x^{2}-7)=x^{3}-7x$ y se resta igual que antes.

${\begin{array}{rrrllll}\,&5x^{4}&+x^{3}&+0x^{2}&-3x&+2\ &\left|x^{2}-7\right.\\-&5x^{4}&\,&+35x^{2}&\,&\,&{\overline {5x^{2}+x}}\\\,&\,&x^{3}&+35x^{2}&\,&\,&\,\\\,&-&x^{3}&\,&+7x\,&\,\\\,&\,&\,&35x^{2}&4x&\,&\,\end{array}}$

• Se divide $35x^{2}:x^{2}=35$ y se multiplica $35(x^{2}-7)=35x^{2}-245$. El proceso finaliza aquí, puesto que el grado del polinomio resto es menor que el del divisor.

${\begin{array}{rrrllll}\,&5x^{4}&+x^{3}&+0x^{2}&-3x&+2\ &\left|x^{2}-7\right.\\-&5x^{4}&\,&+35x^{2}&\,&\,&{\overline {5x^{2}+x+35}}\\\,&\,&x^{3}&+35x^{2}&\,&\,&\,\\\,&-&x^{3}&\,&+7x\,&\,\\\,&\,&\,&35x^{2}&4x&\,&\,\\\,&\,&-&35x^{2}&\,&+245&\,\\\,&\,&\,&\,&4x&+247/&\,\end{array}}$

Por lo tanto,

${\frac {5x^{4}+x^{3}-3x+2}{x^{2}-7}}=5x^{2}+x+35+{\frac {4x+247}{x^{2}-7}}$

Regla de Ruffini

Se utiliza para los casos de división en donde el dividendo es un polinomio y el divisor, un binomio de la forma $x+a$.

Ejemplo: sea $-3x^{3}+7x+6$ el polinomio dividendo y $x-2$ el binomio divisor. La Regla de Ruffini establece que la división puede efectuarse de la siguiente manera:

• Se expresan todos los coeficientes del polinomio dividendo en columnas y debajo, a su izquierda, el opuesto del término independiente del binomio divisor. Se anota, debajo de todo, el primer coeficiente del polinomio dividendo.

${\begin{array}{r|lccc}\,&-3&0&7&6\\2&\,&\,&\,&\,\\\hline \,&-3&\,&\,&\,\end{array}}$

• Se multiplican el primer coeficiente del dividendo y el coeficiente del divisor; el resultado se suma al coeficiente de la segunda columna.

${\begin{array}{r|lccc}\,&-3&0&7&6\\2&\,&-6&\,&\,\\\hline \,&-3&-6&\,&\,\end{array}}$

• Se multiplica esta suma al coeficiente del divisor y se suma a la tercera columna; así sucesivamente.

${\begin{array}{r|lccc}\,&-3&0&7&6\\2&\,&-6&-12&-10\\\hline \,&-3&-6&-5&-4/\end{array}}$

El resultado de la división se expresa como un polinomio cuyos coeficientes son, en este caso, los primeros tres (–3, –6 y –5), –4 es el coeficiente del resto. El grado del polinomio cociente es exactamente menor en uno respecto al dividendo.

${\frac {-3x^{3}+7x+6}{x-2}}=-3x^{2}-6x-5+{\frac {-4}{x-2}}=-3x^{2}-6x-5-{\frac {4}{x-2}}$