Dado un conjunto: formado cuando menos por los elementos: en el que se ha definido:
En esta operación definimos una aplicación que, a cada elemento a de B, le asigna un b de B.
Para todo elemento a en B, se cumple que existe un único b en B, tal que b es el complemento de a.
por la que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.
Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de sumar a con b.
- La operación binaria interna, que llamaremos producto:
Con lo que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.
Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado del producto a y b.
Dada la definición del álgebra de Boole como una estructura algebraica genérica, según el caso concreto de que se trate, la simbología y los nombres de las operaciones pueden variar.
Diremos que este conjunto y las operaciones así definidas: son un álgebra de boole, si cumple las siguientes axiomas:
- 1b: La ley asociativa del producto:
- 2b: Existencia del elemento neutro para el producto:
- 3b: La ley conmutativa del producto:
- 4b: Ley distributiva del producto respecto a la suma:
- 5a: Existe elemento complemento para la suma:
- 5b: Existe elemento complemento para el producto:
Teoremas fundamentales
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Partiendo de los cinco axiomas anteriores, se pueden deducir y demostrar los siguientes teoremas fundamentales:
- 6b: Ley de idempotencia para el producto:
- 7b: Ley de absorción para el producto:
- 8a: Ley de identidad para la suma:
- 8b: Ley de identidad para el producto:
Orden en el álgebra de Boole
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Sea: un álgebra de Boole, sean a, b dos elementos del conjunto, podremos decir entonces que a antecede a b y lo denotamos:
si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
Estas cuatro condiciones se consideran equivalentes y el cumplimiento de una de ellas implica necesariamente el cumplimiento de las demás. Definiendo un conjunto parcialmente ordenado.
Si se cumple que:
Para los valores a, b de , que cumplen que a antecede a b, o que b antecede a a, se dice que a y b son comparables.
Si se cumple que:
Para los valores a, b de , que cumplen que a no antecede a b, y que b no antecede a a, se dice que a y b son no comparables.