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Álgebra/Álgebra de Boole/Definición

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Dado un conjunto: formado cuando menos por los elementos: en el que se ha definido:

En esta operación definimos una aplicación que, a cada elemento a de B, le asigna un b de B.

Para todo elemento a en B, se cumple que existe un único b en B, tal que b es el complemento de a.

por la que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.

Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de sumar a con b.

  • La operación binaria interna, que llamaremos producto:

Con lo que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.

Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado del producto a y b.

Dada la definición del álgebra de Boole como una estructura algebraica genérica, según el caso concreto de que se trate, la simbología y los nombres de las operaciones pueden variar.

Axiomas necesarios

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Diremos que este conjunto y las operaciones así definidas: son un álgebra de boole, si cumple las siguientes axiomas:

  • 1b: La ley asociativa del producto:
  • 2b: Existencia del elemento neutro para el producto:
  • 3b: La ley conmutativa del producto:
  • 4b: Ley distributiva del producto respecto a la suma:
  • 5a: Existe elemento complemento para la suma:
  • 5b: Existe elemento complemento para el producto:

Teoremas fundamentales

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Partiendo de los cinco axiomas anteriores, se pueden deducir y demostrar los siguientes teoremas fundamentales:

  • 6b: Ley de idempotencia para el producto:
  • 7b: Ley de absorción para el producto:
  • 8a: Ley de identidad para la suma:
  • 8b: Ley de identidad para el producto:
  • 10: Ley del complemento:

Orden en el álgebra de Boole

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Sea: un álgebra de Boole, sean a, b dos elementos del conjunto, podremos decir entonces que a antecede a b y lo denotamos:

si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

Estas cuatro condiciones se consideran equivalentes y el cumplimiento de una de ellas implica necesariamente el cumplimiento de las demás. Definiendo un conjunto parcialmente ordenado.

Si se cumple que:

Para los valores a, b de , que cumplen que a antecede a b, o que b antecede a a, se dice que a y b son comparables.

Si se cumple que:

Para los valores a, b de , que cumplen que a no antecede a b, y que b no antecede a a, se dice que a y b son no comparables.