Dado un conjunto:
formado cuando menos por los elementos:
en el que se ha definido:
![{\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\sim :&{\mathfrak {B}}&\to &{\mathfrak {B}}\\&a&\to &b=\sim a\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/874bdad1e40a5719b388aa4dd5488f5b25c2cdc8)
En esta operación definimos una aplicación que, a cada elemento a de B, le asigna un b de B.
![{\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}\,:\quad \exists !b\in {\mathfrak {B}}\;/\quad b=\sim a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6039f312e384a59839acc1d0038ea97ad92a5030)
Para todo elemento a en B, se cumple que existe un único b en B, tal que b es el complemento de a.
![{\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\oplus :&{\mathfrak {B}}\times {\mathfrak {B}}&\to &{\mathfrak {B}}\\&(a,b)&\to &c=a\oplus b\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf1592f597aa7af4bb4c5e88883484b245bdf0f)
por la que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.
![{\displaystyle \forall (a,b)\in {\mathfrak {B}}\times {\mathfrak {B}}\,:\quad \exists !c\in {\mathfrak {B}}\;/\quad c=a\oplus b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddee8c03bbb9020741372495f5164e3d03c1a30b)
Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de sumar a con b.
- La operación binaria interna, que llamaremos producto:
![{\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\odot :&{\mathfrak {B}}\times {\mathfrak {B}}&\to &{\mathfrak {B}}\\&(a,b)&\to &c=a\odot b\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc926627239261048a2bcc2c52bcbcbc618c1f3e)
Con lo que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.
![{\displaystyle \forall (a,b)\in {\mathfrak {B}}\times {\mathfrak {B}}\,:\quad \exists !c\in {\mathfrak {B}}\;/\quad c=a\odot b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d978081a995bad7ac55718762c5e95ee1c587e91)
Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado del producto a y b.
Dada la definición del álgebra de Boole como una estructura algebraica genérica, según el caso concreto de que se trate, la simbología y los nombres de las operaciones pueden variar.
Diremos que este conjunto y las operaciones así definidas:
son un álgebra de boole, si cumple las siguientes axiomas:
![{\displaystyle \forall a,b,c\in {\mathfrak {B}}:\;(a\oplus b)\oplus c=a\oplus (b\oplus c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3132cdfe314c552f795feb2f10207c2025ff9a82)
- 1b: La ley asociativa del producto:
![{\displaystyle \forall a,b,c\in {\mathfrak {B}}:\;(a\odot b)\odot c=a\odot (b\odot c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45125b5d2512461870dc7538403844aa3917b635)
![{\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\oplus \varnothing =a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ea191db159d021e420a82197cdc99614551c999)
- 2b: Existencia del elemento neutro para el producto:
![{\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\odot U=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e2efa52079a10c27cefc445f5794dde77bf14e)
![{\displaystyle \forall a,b\in {\mathfrak {B}}:\;a\oplus b=b\oplus a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfd5ce750d22d4446862ff785a71a8e4c2e8aa7a)
- 3b: La ley conmutativa del producto:
![{\displaystyle \forall a,b\in {\mathfrak {B}}:\;a\odot b=b\odot a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed8994d8d8a88faf7bbb66b589307a3b39cc1674)
![{\displaystyle \forall a,b,c\in {\mathfrak {B}}:\;a\oplus (b\odot c)=(a\oplus b)\odot (a\oplus c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d3a9789d702c3e89859cbf31e8d7afb6d545cf7)
- 4b: Ley distributiva del producto respecto a la suma:
![{\displaystyle \forall a,b,c\in {\mathfrak {B}}:\;a\odot (b\oplus c)=(a\odot b)\oplus (a\odot c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e563f98ebcd524147036bc06e4aac5bd1b098c1d)
- 5a: Existe elemento complemento para la suma:
![{\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}};\;\exists \sim a\in {\mathfrak {B}}:\;a\oplus \sim a=U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45903c459456786a400abb44bb39bc309284f616)
- 5b: Existe elemento complemento para el producto:
![{\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}};\;\exists \sim a\in {\mathfrak {B}}:\;a\odot \sim a=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15ed2f63268eced6e9adf544616a53d88baf0ca6)
Teoremas fundamentales
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Partiendo de los cinco axiomas anteriores, se pueden deducir y demostrar los siguientes teoremas fundamentales:
![{\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\oplus a=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ea72e1f2c7faac86c86a389b2c54040d595c1ef)
- 6b: Ley de idempotencia para el producto:
![{\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\odot a=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e7e1b6a4f7fa97399701cda876dd4cc0a2b8ed3)
![{\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\oplus U=U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/804bcc7ac07a2dcaef9d562e975f1fc8655bcf01)
- 7b: Ley de absorción para el producto:
![{\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\odot \varnothing =\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/422f47917672d409968a3f620151398ff9c5d0d6)
- 8a: Ley de identidad para la suma:
![{\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\oplus \varnothing =a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ea191db159d021e420a82197cdc99614551c999)
- 8b: Ley de identidad para el producto:
![{\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\odot U=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e2efa52079a10c27cefc445f5794dde77bf14e)
![{\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;\sim (\sim a)=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eea51ad5dbaccc76f22c313602327e02611c9e40)
![{\displaystyle \sim U=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/818bab394b7b4603a341d4b910e2fb652d061227)
![{\displaystyle \sim \varnothing =U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e2ffb38f80a9358e9eecbea57d2ac8b9b7c0725)
![{\displaystyle \forall a,b\in {\mathfrak {B}}:\;\sim (a\oplus b)=\sim a\odot \sim b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e579aa059d8a6e9cbc7a6b0cc269d13e198da91)
![{\displaystyle \forall a,b\in {\mathfrak {B}}:\;\sim (a\odot b)=\sim a\oplus \sim b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a9129d0adab70daae478d94f3913bd55f82e5eb)
Orden en el álgebra de Boole
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Sea:
un álgebra de Boole, sean a, b dos elementos del conjunto, podremos decir entonces que a antecede a b y lo denotamos:
![{\displaystyle a\preceq b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f56634f1044bf3d86a3ab22119a38efe7705dcd7)
si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
![{\displaystyle a\oplus b=b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9b820e5800f74fc0e6c068a651d6604d54ba11d)
![{\displaystyle a\odot b=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d7650ca88b134cb6ece5940f3ed37f8c34fde8f)
![{\displaystyle \sim a\oplus b=U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/043e7782f81c11382a0756fa111b8243b66f13a9)
![{\displaystyle a\odot \sim b=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c26dcc59a6c71ade9280ef9eb94112732094717)
Estas cuatro condiciones se consideran equivalentes y el cumplimiento de una de ellas implica necesariamente el cumplimiento de las demás. Definiendo un conjunto parcialmente ordenado.
Si se cumple que:
![{\displaystyle a,b\in {\mathfrak {B}}\;:\quad a\preceq b\;\lor \;b\preceq a\quad \longrightarrow \quad a,b\rightarrow {\mathit {comparables}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d18808e86c220acccbecf2cd96b811b2cd52bdca)
Para los valores a, b de
, que cumplen que a antecede a b, o que b antecede a a, se dice que a y b son comparables.
Si se cumple que:
![{\displaystyle a,b\in {\mathfrak {B}}\;:\quad a\npreceq b\;\land \;b\npreceq a\quad \longrightarrow \quad a,b\rightarrow {\mathit {no\;comparables}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/097c5da27ff296484d41bc648620aceda18ba991)
Para los valores a, b de
, que cumplen que a no antecede a b, y que b no antecede a a, se dice que a y b son no comparables.