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Dado un conjunto:
B
{\displaystyle {\mathfrak {B}}}
formado cuando menos por los elementos:
∅
,
U
{\displaystyle \varnothing ,\;U}
en el que se ha definido:
∼:
B
→
B
a
→
b
=∼
a
{\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\sim :&{\mathfrak {B}}&\to &{\mathfrak {B}}\\&a&\to &b=\sim a\end{array}}}
En esta operación definimos una aplicación que, a cada elemento a de B , le asigna un b de B .
∀
a
∈
B
:
∃
!
b
∈
B
/
b
=∼
a
{\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}\,:\quad \exists !b\in {\mathfrak {B}}\;/\quad b=\sim a}
Para todo elemento a en B , se cumple que existe un único b en B , tal que b es el complemento de a .
⊕
:
B
×
B
→
B
(
a
,
b
)
→
c
=
a
⊕
b
{\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\oplus :&{\mathfrak {B}}\times {\mathfrak {B}}&\to &{\mathfrak {B}}\\&(a,b)&\to &c=a\oplus b\end{array}}}
por la que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a , b ) de B por B , le asigna un c de B .
∀
(
a
,
b
)
∈
B
×
B
:
∃
!
c
∈
B
/
c
=
a
⊕
b
{\displaystyle \forall (a,b)\in {\mathfrak {B}}\times {\mathfrak {B}}\,:\quad \exists !c\in {\mathfrak {B}}\;/\quad c=a\oplus b}
Para todo par ordenado (a , b ) en B por B , se cumple que existe un único c en B , tal que c es el resultado de sumar a con b .
La operación binaria interna, que llamaremos producto :
⊙
:
B
×
B
→
B
(
a
,
b
)
→
c
=
a
⊙
b
{\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\odot :&{\mathfrak {B}}\times {\mathfrak {B}}&\to &{\mathfrak {B}}\\&(a,b)&\to &c=a\odot b\end{array}}}
Con lo que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a , b ) de B por B , le asigna un c de B .
∀
(
a
,
b
)
∈
B
×
B
:
∃
!
c
∈
B
/
c
=
a
⊙
b
{\displaystyle \forall (a,b)\in {\mathfrak {B}}\times {\mathfrak {B}}\,:\quad \exists !c\in {\mathfrak {B}}\;/\quad c=a\odot b}
Para todo par ordenado (a , b ) en B por B , se cumple que existe un único c en B , tal que c es el resultado del producto a y b .
Dada la definición del álgebra de Boole como una estructura algebraica genérica, según el caso concreto de que se trate, la simbología y los nombres de las operaciones pueden variar.
Axiomas necesarios [ editar ]
Diremos que este conjunto y las operaciones así definidas:
(
B
,
∼
,
⊕
,
⊙
)
{\displaystyle ({\mathfrak {B}},\sim ,\oplus ,\odot )}
son un álgebra de boole , si cumple las siguientes axiomas :
∀
a
,
b
,
c
∈
B
:
(
a
⊕
b
)
⊕
c
=
a
⊕
(
b
⊕
c
)
{\displaystyle \forall a,b,c\in {\mathfrak {B}}:\;(a\oplus b)\oplus c=a\oplus (b\oplus c)}
1b: La ley asociativa del producto:
∀
a
,
b
,
c
∈
B
:
(
a
⊙
b
)
⊙
c
=
a
⊙
(
b
⊙
c
)
{\displaystyle \forall a,b,c\in {\mathfrak {B}}:\;(a\odot b)\odot c=a\odot (b\odot c)}
∀
a
∈
B
:
a
⊕
∅
=
a
{\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\oplus \varnothing =a}
2b: Existencia del elemento neutro para el producto:
∀
a
∈
B
:
a
⊙
U
=
a
{\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\odot U=a}
∀
a
,
b
∈
B
:
a
⊕
b
=
b
⊕
a
{\displaystyle \forall a,b\in {\mathfrak {B}}:\;a\oplus b=b\oplus a}
3b: La ley conmutativa del producto:
∀
a
,
b
∈
B
:
a
⊙
b
=
b
⊙
a
{\displaystyle \forall a,b\in {\mathfrak {B}}:\;a\odot b=b\odot a}
∀
a
,
b
,
c
∈
B
:
a
⊕
(
b
⊙
c
)
=
(
a
⊕
b
)
⊙
(
a
⊕
c
)
{\displaystyle \forall a,b,c\in {\mathfrak {B}}:\;a\oplus (b\odot c)=(a\oplus b)\odot (a\oplus c)}
4b: Ley distributiva del producto respecto a la suma:
∀
a
,
b
,
c
∈
B
:
a
⊙
(
b
⊕
c
)
=
(
a
⊙
b
)
⊕
(
a
⊙
c
)
{\displaystyle \forall a,b,c\in {\mathfrak {B}}:\;a\odot (b\oplus c)=(a\odot b)\oplus (a\odot c)}
5a: Existe elemento complemento para la suma:
∀
a
∈
B
;
∃
∼
a
∈
B
:
a
⊕
∼
a
=
U
{\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}};\;\exists \sim a\in {\mathfrak {B}}:\;a\oplus \sim a=U}
5b: Existe elemento complemento para el producto:
∀
a
∈
B
;
∃
∼
a
∈
B
:
a
⊙
∼
a
=
∅
{\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}};\;\exists \sim a\in {\mathfrak {B}}:\;a\odot \sim a=\varnothing }
Teoremas fundamentales [ editar ]
Partiendo de los cinco axiomas anteriores, se pueden deducir y demostrar los siguientes teoremas fundamentales:
∀
a
∈
B
:
a
⊕
a
=
a
{\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\oplus a=a}
6b: Ley de idempotencia para el producto:
∀
a
∈
B
:
a
⊙
a
=
a
{\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\odot a=a}
∀
a
∈
B
:
a
⊕
U
=
U
{\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\oplus U=U}
7b: Ley de absorción para el producto:
∀
a
∈
B
:
a
⊙
∅
=
∅
{\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\odot \varnothing =\varnothing }
8a: Ley de identidad para la suma:
∀
a
∈
B
:
a
⊕
∅
=
a
{\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\oplus \varnothing =a}
8b: Ley de identidad para el producto:
∀
a
∈
B
:
a
⊙
U
=
a
{\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\odot U=a}
∀
a
∈
B
:
∼
(
∼
a
)
=
a
{\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;\sim (\sim a)=a}
∼
U
=
∅
{\displaystyle \sim U=\varnothing }
∼
∅
=
U
{\displaystyle \sim \varnothing =U}
∀
a
,
b
∈
B
:
∼
(
a
⊕
b
)
=∼
a
⊙
∼
b
{\displaystyle \forall a,b\in {\mathfrak {B}}:\;\sim (a\oplus b)=\sim a\odot \sim b}
∀
a
,
b
∈
B
:
∼
(
a
⊙
b
)
=∼
a
⊕
∼
b
{\displaystyle \forall a,b\in {\mathfrak {B}}:\;\sim (a\odot b)=\sim a\oplus \sim b}
Orden en el álgebra de Boole [ editar ]
Sea:
(
B
,
∼
,
⊕
,
⊙
)
{\displaystyle ({\mathfrak {B}},\sim ,\oplus ,\odot )}
un álgebra de Boole, sean a , b dos elementos del conjunto, podremos decir entonces que a antecede a b y lo denotamos:
a
⪯
b
{\displaystyle a\preceq b}
si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
a
⊕
b
=
b
{\displaystyle a\oplus b=b}
a
⊙
b
=
a
{\displaystyle a\odot b=a}
∼
a
⊕
b
=
U
{\displaystyle \sim a\oplus b=U}
a
⊙
∼
b
=
∅
{\displaystyle a\odot \sim b=\varnothing }
Estas cuatro condiciones se consideran equivalentes y el cumplimiento de una de ellas implica necesariamente el cumplimiento de las demás. Definiendo un conjunto parcialmente ordenado .
Si se cumple que:
a
,
b
∈
B
:
a
⪯
b
∨
b
⪯
a
⟶
a
,
b
→
c
o
m
p
a
r
a
b
l
e
s
{\displaystyle a,b\in {\mathfrak {B}}\;:\quad a\preceq b\;\lor \;b\preceq a\quad \longrightarrow \quad a,b\rightarrow {\mathit {comparables}}}
Para los valores a , b de
B
{\displaystyle {\mathfrak {B}}}
, que cumplen que a antecede a b , o que b antecede a a , se dice que a y b son comparables .
Si se cumple que:
a
,
b
∈
B
:
a
⋠
b
∧
b
⋠
a
⟶
a
,
b
→
n
o
c
o
m
p
a
r
a
b
l
e
s
{\displaystyle a,b\in {\mathfrak {B}}\;:\quad a\npreceq b\;\land \;b\npreceq a\quad \longrightarrow \quad a,b\rightarrow {\mathit {no\;comparables}}}
Para los valores a , b de
B
{\displaystyle {\mathfrak {B}}}
, que cumplen que a no antecede a b , y que b no antecede a a , se dice que a y b son no comparables .