Álgebra/Álgebra Lineal/Definición de espacio vectorial y ejemplo
Apariencia
Un espacio vectorial V sobre un cuerpo K es un conjunto que incluye dos operaciones: suma entre elementos de V y producto de elementos de K por elementos de V y cuyo resultado es otro elemento de V. A los elementos de V los denominamos vectores y los elementos de K, escalares.
- Ejemplo Podemos tomar V como el conjunto de los polinomios, y K el de los números reales. Así, tendríamos la suma de polinomios, elementos de V; y el producto de un número real por un polinomio, cuyo resultado es otro polinomio.
Sin embargo es necesario que se cumplan una serie de propiedades para ambas operaciones.
- Para la suma de elementos de V,y dados u, v, w elementos de V :
- la operación es interna, es decir, u+v pertenece a V
- la suma es asociativa, así, u+(v+w)=(u+v)+w
- existe elemento neutro para la operación suma, es decir, un elemento 0 de V tal que u+0=0+u=u
- existe elemento opuesto, esto es, para todo u, existe otro elemento -u tal que u+(-u)=0
- la operación es conmutativa, y así u+v=v+u
- En realidad esta operación dota a V de estructura de grupo beliano.