Usuario:Jccsvq/Hoja1/La Raíz Duodécima de 2

Introducción

El príncipe de la dinastía Ming Zhū Zàiyù (朱載堉; 1536-19 de mayo de 1611) fue un matemático, astrónomo, geógrafo, físico, escritor, coreógrafo, músico y teórico de la música chino. Tiene un lugar en la historia universal de la música por ser el primero en imaginar y describir el temperamento igual en el que se basa la afinación de los instrumentos musicales modernos. Para ello calculó la raíz duodécima de dos y sus potencias con 24 dígitos de precisión, por lo que también ocupa un lugar en la historia de las matemáticas chinas. Para esta hazaña numérica usó un par de ábacos tipo 5+2 de 81 varillas cada uno.

Por supuesto no se trata de repetir aquí sus cálculos con tal grado de precisión, nos limitaremos a un número menor de dígitos en un ábaco tradicional de 13 dígitos, especialmente para mostrar la eficiencia del método de Newton para raíces cúbicas y operaciones abreviadas. , lo que nos permitirá obtener 7-8 dígitos de la raíz duodécima de dos con un instrumento tan modesto.

Método

Dado que

$${\sqrt[{12}]{2}}={\sqrt[{3}]{\sqrt {\sqrt {2}}}}$$

$${\sqrt[{12}]{1+x}}\approx 1+{\frac {x}{12}}$$ $x\ll 1$ $${\sqrt[{12}]{2}}={\sqrt[{12}]{1+1}}\approx 1+{\frac {1}{12}}=1.083\cdots$$ $$2\times 5^{4}=2\times 625=1250$$ $${\sqrt {\sqrt {2}}}={\sqrt[{4}]{2}}={\frac {\sqrt[{4}]{2\times 5^{4}}}{5}}={\frac {\sqrt[{4}]{1250}}{5}}$$

Primer paso

Raíz cuadrada de 1250 1ª fase

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
1250	Primer dígito de la raíz: 3
0350	restar 3^2=9 de B
0175	Dividir por 2 in situ
3175	Inscribir el primer dígito de la raíz en A
3385	Dividir por 3. Regla 1/3>3+1 en B
+2	Revisar B al alza dos veces
-6
3525
-125	Restar 5^2/2=12.5 de D
35125	Dividir por 35
35335	Regla 1/3>3+1 en C
-15	Restar 3x5=15 de E
35320
-45	Restar 3^2/2=4.5 de F
3531955	Dividir por 353
3533T55	Regla 1/3>3+1 en D
-15	Restar 3x5=15 de F
-9	Restar 3x3=9 de G
3533896
+2	Revisar D al alza dos veces
-6
-10
-6
3535190
-125	Restar 5^2/2=12.5 de H
353518875	Dividir por 3535
353539875	Regla 1/3>3+1 en E
-15	Restar 3x5=15 de G
-09	Restar 3x3=9 de H
-15	Restar 3x5=15 de I
353538270
+2	Revisar E al alza dos veces
-6
-10
- 6
-10
353551200
-125	Restar 5^2/2=12.5 de J
35355119875	Dividir por 35355
35355329875	Regla 1/3>3+1 en F
-15	Restar 3x5=15 de H
-09	Restar 3x3=9 de I
-15	Restar 3x5=15 de J
-15	Restar 3x5=15 de K
35355313816
-45	Restar 3^2/2=4.5 de L
3535531380955	Semiresto: 1380955

Raíz cuadrada de 1250 2ª fase (acelerada)

Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
3535531380955	Dividir por 353553
3535533480955	Regla 1/3>3+1 (G)
-15
-09
-15
-15
-09
3535533320296
-045	*
3535533320295	Dividir por 35355
3535533950295	Regla 3/3>9+3 (H)
-45
-27
-45
-45
3535533902100
-27	*
3535533902097	Dividir por 3535
3535533906297	Regla 2/3>6+2 (J)
-1	Revisar J a la baja
+3
3535533905597
-25
-15
-25	*
3535533905329	Dividir por 353
3535533905959	Regla 3/3>9+3 (K)
-45
-27	*
3535533905911	Dividir por 35
3535533905932	Regla 1/3>3+1 (L)
-15	*
3535533905931	Dividir por 3
3535533905933	Regla 1/3>3+1 (M).Comparar con ${\sqrt {1250}}=35.355339059327\cdots$

${\sqrt[{4}]{1250}}=5.94603557501360\cdots$ $${\sqrt[{12}]{2}}={\sqrt[{3}]{\sqrt[{4}]{2}}}={\sqrt[{3}]{\frac {\sqrt[{4}]{1250}}{5}}}$$ $${\sqrt[{12}]{2}}={\frac {\sqrt[{3}]{125\times {\sqrt[{4}]{2}}}}{5}}={\frac {\sqrt[{3}]{125\times {\frac {\sqrt[{4}]{1250}}{5}}}}{5}}={\frac {\sqrt[{3}]{25\times {\sqrt[{4}]{1250}}}}{5}}$$