Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 218c

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Vom Punkt zur vierten Dimension. Geometrie für Jedermann.

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Achtzehntes Kapitel

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Fundamentalsatz der Proportionengeometrie

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Bevor wir uns nun in die für uns jetzt vollständig offene Maßgeometrie begeben, wollen wir nur noch eine anscheinend kleine, doch unendlich wichtige Untersuchung anstellen. Sie betrifft die sogenannten Proportionen oder Verhältnisse. Und wir beginnen damit, daß wir erklären, zwei Dreiecke seien dann einander ähnlich, wenn alle drei Winkel in diesen beiden Dreiecken entsprechend gleich seien. Wir haben übrigens schon über solche Gegenstände gelegentlich der Erörterung von Leibnizens Analysis der Lage gesprochen. Wir behaupten nun, daß wenn a, b und a', b' entsprechende Seiten in zwei ähnlichen Dreiecken seien, sich a zu b so verhalten müsse wie a' zu b'.

Um diese Behauptung zu beweisen, wollen wir zuerst einen besonderen Fall betrachten, in dem die beiden ähnlichen Dreiecke sogenannte rechtwinklige Dreiecke sind. Wir wissen schon vom Parallelen-Axiom her, daß in einem Dreieck stets nur ein rechter Winkel vorkommen kann, da ja die Winkelsumme aller drei Winkel zwei rechte Winkel beträgt, und bei einem Dreieck mit mehr als einem, also mit mindestens zwei rechten Winkeln, nichts mehr für den dritten Winkel übrig bleiben würde; was übrigens auch unmittelbar aus der Anschauung hervorgeht.

Unsere Figur nun ist auf folgendem Gedankengang aufgebaut: Wenn wir die beiden ähnlichen Dreiecke in ein und denselben rechten Winkel eintragen und dann parallel zu den beiden Hypotenusen vom Endpunkt einer willkürlich gewählten Einheitsstrecke 1 eine Gerade ziehen, schneiden wir damit das Stück e ab. Nach unserer Streckenrechnung ist dann $b=a\cdot e$ und $b'=ea'$ Wenn wir weiterrechnen, erhalten wir $e={\frac {b}{a}}$ und im zweiten Fall $={\frac {b'}{a'}}$. Jetzt bilden wir überall die reziproken Werte und erhalten ${\frac {1}{e}}={\frac {a}{b}}$ und ${\frac {1}{e}}={\frac {a'}{b'}}$. Wenn nun weiters zwei Größen einer dritten Größe gleich sind, dann sind sie auch untereinander gleich. Also: ${\frac {a}{b}}={\frac {a'}{b'}}$, was zu beweisen war.

Um nun diese Grundbeziehung der Proportionengeometrie in voller Allgemeinheit zu beweisen, brauchen wir einen der sogenannten „merkwürdigen“ Punkte des Dreiecks, nämlich den Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden oder Winkelsymmetralen des Dreiecks.

Wir behaupten, daß sich die drei Winkelhalbierenden des Dreiecks in einem einzigen Punkt schneiden müssen. Der Beweis dafür ist in folgender Art zu führen: Da sich die Symmetralen der Winkel bei A und bei B in einem Punkte 0 schneiden müssen, kann von diesem Punkt 0 je eine Normale auf die bezüglichen Schenkel dieser Winkel gezogen werden. Dabei müssen die Normalen aus 0 auf AB und auf AC aus bereits erörterten Gründen (WSW- Satz) gleich sein. Aus denselben Gründen ist aber 0 auch von AB und BC gleich weit entfernt).

(„Entferntsein“ ist identisch mit der Länge der Normalen, die aus dem betreffenden Punkt auf die betreffende Gerade oder Strecke gefällt wird.)

Daher muß nun 0 auch von AC und BC gleich weit entfernt liegen. Wenn dies aber zutrifft, dann liegt eben 0 aus diesem Grund auch in der Symmetrale des Winkels C, was zu beweisen war.

0 ist also nicht bloß der Schnittpunkt aller drei Winkelhalbierenden, sondern dieser Punkt hat außerdem von allen drei Seiten des Dreiecks denselben Normalabstand oder dieselbe Entfernung. Daher kann ich mir jetzt unser Dreieck in folgender Art beschriften.

Daneben zeichne ich mir noch ein „ähnliches“ Dreieck, mit dem ich analog verfahre. Die entsprechenden Stücke kennzeichne ich durch „gestrichene“ Buchstaben $r'$, $c_{a}^{\prime }$ usw. Nun bin ich weiters berechtigt, den schon auf Grund unserer Streckenrechnung bewiesenen besonderen Fall des Proportionensatzes auf unsere zahlreichen kleinen rechtwinkeligen Dreiecke anzuwenden, die wir durch das Fällen der Normalen gewonnen haben. Wir dürfen also behaupten:

$a_{b}:r=a_{b}^{\prime }:r'\qquad b_{c}:r=b_{c}^{\prime }:r'$

$a_{c}:r=a_{c}^{\prime }:r'\qquad b_{a}:r=b_{a}^{\prime }:r'$

Wenn wir nun die untereinanderstehenden Paare von Proportionen addieren, was wir nach den Regeln über Gleichungen dürfen, so erhalten wir

${\frac {a_{b}+a_{c}}{r}}={\frac {a'_{b}+a'_{c}}{r'}}$ und ${\frac {b_{c}+b_{a}}{r}}={\frac {b'_{c}+b'_{a}}{r'}}$

was nach der Figur nichts anderes heißt als

$a:r=a':r'$ und $b:r=b':r'$.

Wenn wir nun schließlich diese zwei Proportionen - wieder nach allgemeinen Gleichungsregeln - durcheinander dividieren, dann erhalten wir

${\frac {a}{r}}:{\frac {b}{r}}={\frac {a'}{r'}}:{\frac {b'}{r'}}$

Da wir aber bei zwei durcheinander zu dividierenden Brüchen sowohl die Nenner als die Zähler durcheinander dividieren können, erhalten wir als Schlußergebnis

$a:b=a':b'$,

was zu beweisen war.

Nun haben wir also auch die Lehre von den Proportionen in der Geometrie auf eine unanfechtbare Grundlage gestellt. Wir können dem eben bewiesenen Satz aber zudem noch ohne weiteres den Fundamentalsatz in der Lehre der Proportionen entnehmen, der wie folgt lautet:

„Schneiden zwei Parallele auf den Schenkeln eines beliebigen Winkels die Strecken a, b bzw. a', b' ab, so gilt die Proportion $a:b=a':b'$.

Die Umkehrung des Fundamentalsatzes ist der Satz: „Wenn vier Strecken a, b, a', b' die Proportion $a:b=a':b'$ erfüllen, und a, a' und b, b' je auf einem Schenkel eines beliebigen Winkels abgetragen werden, so sind die Verbindungsgeraden der Endpunkte von a, b bzw. a', b' einander parallel.“

Es sei noch hinzugefügt, daß diese beiden Sätze zur Herstellung von Vergrößerungen und Verkleinerungen aller Art benutzt werden können und zum Beispiel bei der Überführung eines bestehenden Maßstabs in einen Maßstab größerer oder kleinerer Einheit eine ausschlaggebende Rolle spielen.

Im tiefsten Wesen ist dieser Fundamentalsatz, projektiv betrachtet, nichts anderes als der Schnitt eines Zweistrahlenbüschels mit einem Parallelenbüschel, wobei durch das Parallelenbüschel zwar die Verhältnisse und Beziehungen des einen Strahls des zentrischen Büschels auf dem anderen abgebildet werden, nicht aber die absoluten Maßgrößen. Dieser letzte Fall träte nur dann ein, wenn das Parallelenbüschel das zweistrahlige Büschel normal zu dessen Winkelsymmetrale schneiden würde.

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