Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 217c

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Vom Punkt zur vierten Dimension. Geometrie für Jedermann.

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Siebzehntes Kapitel

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Grundlegung der Maßgeometrie

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Wir werden also, wiederum, an der Hand Hilberts, die Regeln feststellen, die das Reich der reellen Zahlen beherrschen. Reelle Zahlen sind bekanntlich alle Arten von Zahlen mit Ausnahme der sogenannten imaginären Zahlen, von denen dann die komplexen nur eine erweiterte Spielart (nämlich eine Verbindung reeller und imaginärer Zahlen) sind. Wir dürfen uns für unsere Zwecke vorläufig ohne weiteres mit reellen Zahlen zufriedengeben. Denn die Geometrie wird für uns bis auf weiteres auch nichts anderes sein als ein Reich „reeller“ Größen.

Hilbert nun führt Folgendes aus: Die reellen Zahlen bilden in ihrer Gesamtheit ein System von Dingen mit gewissen Eigenschaften, die man, ähnlich den Axiomen der Geometrie, in Gruppen zusammenfassen kann. Diese Gruppen sind:

A. Sätze der Verknüpfung (1-6).

1. Aus der Zahl a und der Zahl b entsteht durch „Addition“ eine bestimmte Zahl c, in Zeichen:

a + b = c oder c = a + b.

2. Wenn a und b gegebene Zahlen sind, so existiert stets eine und nur eine Zahl x und auch eine und nur eine Zahl y, so daß

a + x = b bzw. y + a = b

Wird.

3. Es gibt eine bestimmte Zahl - sie heiße Null -, so daß für jedes a zugleich

a + 0 = a und 0 + a = a

ist.

4. Aus der Zahl a und der Zahl b entsteht noch auf andere Art, durch „Multiplikation“, eine bestimmte Zahl c, in Zeichen:

a · b = c oder c = a · b

5. Wenn a und b beliebig gegebene Zahlen sind und a nicht 0 ist, so existiert stets eine und nur eine Zahl x und auch eine und nur eine Zahl y, so daß

a · x = b bzw. y · a = b

wird.

6. Es gibt eine bestimmte Zahl - sie heiße eins -, so daß für jedes a zugleich

a · 1 = a und 1 · a = a

ist.

B. Regeln der Rechnung (7-12):

Wenn a, b, c beliebige Zahlen sind, so gelten stets folgende Rechnungsgesetze:

7. a + (b + c) = (a + b) + c (assoziatives Gesetz).

8. a + b = b + a (kommutatives Gesetz der Addition).

9. a · (b · c) = (a · b) · c (assoziatives Gesetz).

10. a · (b + c) = a · b = a · c (distributives Gesetz).

11. (a + b) · c = a · c + b · c (distributives Gesetz).

12. a · b = b · a (kommutatives Gesetz der Multiplikation).

C. Sätze der Anordnung (13-16):

13. Wenn a, b irgend zwei verschiedene Zahlen sind, so ist stets eine bestimmte von diesen Zahlen (etwa a) größer (>) als die andere; die letztere heißt dann die kleinere, in Zeichen:

a > b und b < a.

14. Wenn a > b und b > c,so ist auch a > c (Gesetz der Transitivität).

15. Wenn a > b ist, so ist auch stets

(a + c) > (b + c).

16. Wenn a > b und c > 0 ist, so ist auch stets

a · c > b · c.

D. Sätze von der Stetigkeit (17-18):

17. (Archimedischer Satz.) Wenn a > 0 und b > 0 zwei beliebige Zahlen sind, so ist es stets möglich, a zu sich selbst so oft zu addieren, daß die entstehende Summe die Eigenschaft hat

(a + a + a + .... + a) >b.

18. (Satz von der Vollständigkeit.) Es ist nicht möglich, dem System der Zahlen ein anderes System von Dingen hinzuzufügen, so daß auch in dem durch Zusammensetzung entstehenden System, bei Erhaltung der Beziehungen zwischen den Zahlen, die Sätze 1-17 sämtlich erfüllt sind; oder kürzer: Die Zahlen bilden ein System von Dingen, das bei Aufrechterhaltung sämtlicher Beziehungen und sämtlicher angeführten Sätze keiner Erweiterung mehr fähig ist.

So weit Hilbert. Wir sind uns klar darüber, daß der Anfänger gegen diese Aufstellungen dieselben Einwände haben wird wie gegen die Axiome der Geometrie. Zum Teil erscheinen ihm die Sät e banal, zum Teil übermäßig abstrakt und weit hergeholt. Schließlich - das gibt Hilbert bei diesen arithmetischen Sätzen selbst zu - sind die einzelnen Sätze nicht unabhängig voneinander. Einige sind Folgen anderer. Trotz dieser Bedenken wird gerade der Anfänger gut daran tun, sich diese Sätze ebenso wie die Axiome der Geometrie abzuschreiben, und zu versuchen, sie miteinander zu vergleichen und in Zusammenhang zu bringen. Ebenso wäre es eine sehr sinnvolle Übung, wenn der Leser bei den einfachsten Rechnungen, etwa bei Multiplikationen mit gewöhnlichen konkreten Zahlen oder bei simplen Gleichungen ersten Grades, das Wirksamsein dieser verschiedenen „Eigenschaften“ des Systems der reellen Zahlen prüfen würde. Es ist anzunehmen, daß er sich dadurch über vieles klarer wird, da wir ja außerstande sind, innerhalb des uns zur Verfügung stehenden Raumes derart primitive und weitgehende Übungen anzustellen.

Noch eine letzte Anmerkung zu diesem Gegenstand: Die moderne Geometrie, die sich durch einen wahren Zauber der Verallgemeinerung auszeichnet, was wir erst später voll werden erfassen können, läßt bei jeder ihrer Aufstellungen die verschiedensten Möglichkeiten offen. So haben wir schon mehrfach angedeutet, daß etwa das Parallelenaxiom unter den Axiomen der Geometrie, gleichsam als Außenseiter des Systems, allein und isoliert dasteht. Es wäre nun auch hier, bei den Sätzen der Arithmetik ein Satz vorhanden, nämlich der Satz 17 oder das archimedische Postulat, das sicherlich nicht eine Folge der übrigen Sätze ist. Prinzipiell gesprochen, könnte man es fortlassen, ohne das übrige System im Einzelnen ungültig zu machen. Hilbert sieht solche Möglichkeiten tatsächlich vor. Er nennt ein Zahlensystem, das nur einen Teil der Eigenschaften 1-18 besitzt, ein „komplexes Zahlensystem“ (Hat mit dem oben definierten Begriff der komplexen Zahl“ (a + bi) nichts zu tun.”) und bemerkt, daß ein solches System dann ein „archimedisches“ heiße, wenn es den Satz 17 enthalte, und dann ein „nichtarchimedisches“, wenn dieser Satz im System fehle. Wir wollten dies, wie gesagt, bloß andeuten. Vorläufig werden wir auf solche l Feinheiten nicht achten, sondern unser vollständiges System 1-18 unseren weiteren Betrachtungen zugrundelegen.

Nun sind wir nach großer Mühe so weit, daß wir uns mit den nächsten Schritten schon ein beträchtliches Stück aus dem Sumpf werden herausarbeiten können. Denn ist es uns einmal geglückt, die volle und unlösbare Verschwisterung von Arithmetik und Geometrie einzusehen, dann steht uns eigentlich für alles Weitere die ganze Mathematik zur schrankenlosen Verfügung. Gewiß, Probleme werden sich stets neu vor uns auftürmen. Aber wir arbeiten dann auf einem sicheren Grund: Auf dem Grund unserer Axiome! Und ein Zweifel am Ganzen ist dann nur mehr möglich, wenn wir uns gezwungen sehen würden, alle Axiome preiszugeben. Dafür aber besteht keine Gefahr. Und das Preisgeben von einzelnen Axiomen bedeutet wieder niemals den Sturz des Ganzen, sondern im Gegenteil neue Erkenntnis.

Wir denken aber jetzt von all diesen uns noch bevorstehenden revolutionären Ereignissen in unserer Wissenschaft weit weg und stellen uns - ob aus „Naturnotwendigkeit“ oder aus „Übereinkunft“, ist dabei gleichgültig - voll auf den Boden sämtlicher Axiome der Geometrie und aller Sätze des Zahlenrechnens. Zum Zweck unseres Vorhabens werden wir einmal den Spieß umkehren. Wir führen - wieder nach Hilbert - kühn eine neue Art von Rechnung, eine Rechnung nur mit Größen, in Form einer Streckenrechnung ein. Ähnliches hat es schon bei den alten Griechen gegeben. Dort war ja die Geometrie gleichsam die primäre Mathematik und das Zahlenrechnen das Sekundäre. Wir werden jedoch bei unserer Untersuchung der Streckenrechnung wie die Argusse darüber wachen, daß wir stets die Regeln des Zahlenrechnens auch in der Streckenrechnung nachweisen. Denn nur so können wir uns von der Verschwisterung der beiden Reiche der Zahlen und der Größen-überzeugen. Dabei werden wir den geometrischen Begriff der Kongruenz ($\equiv$) für vollständige Gleichheit durch den arithmetischen Begriff der Gleichheit (=) ersetzen, was durchaus keine Fälschung, sondern bloß eine sprachliche Vereinfachung und Vereinheitlichung bedeutet.

Strecken sind Gerade, die durch Punkte begrenzt sind. Punkte bezeichnen wir nach wie vor mit großen lateinischen Buchstaben A, B, C usw., Strecken dagegen mit kleinen lateinischen Buchstaben a, b, c usw.

Wir hätten nun auf einer Geraden drei Punkte A, B und C, wobei B zwischen A und C liegt. Wenn wir mit $c=AC$ die Summe der beiden Strecken $a=AB$ und $b=BC$ bezeichnen, dann gilt sofort die Beziehung $c=a+b$ oder $a+b=c$, was ja unser erster Satz des Zahlenrechnens war. Nun ist a sicherlich kleiner als c und b ebenfalls kleiner als c. Wir erhalten dadurch $a<c$ und $b<c$ oder umgekehrt $c>a$ und $c>b$ (Satz 13). Wenn wir weiter annehmen, daß a größer sei als b, wie es ja auch in der Zeichnung dargestellt ist, dann ist sicher, wenn $c>a$ und $a>b$ auch $c>b$ (Satz 14). Die Geltung des assoziativen und des kommutativen Gesetzes der Zahlenrechnung auch für die Streckenrechnung bezüglich der Addition ist ohne weiteres den geometrischen Axiomen der Gruppe III (1 bis 3) zu entnehmen. Also gelten die Sätze 7 und 8 des Zahlenrechnens,

nämlich a + (b + c) = (a + b) + c und

(a + b) = (b + a) auch für die Streckenrechnung.

Bisher sind wir durchaus nicht auf irgendeine Schwierigkeit gestoßen. Die Addition von Strecken erweist sich in jeder Beziehung als mit der Addition von Zahlen identisch. Daher durften wir auch stets in der Arithmetik, was ja jeder schon gesehen hat, Zahlen als Strecken darstellen und mit diesen Strecken so operieren, als ob es sich dabei um Zahlen handelte. Das einfache Messen mit dem Meterstab ist die alltägliche Anwendung dieser Sätze.

Ganz andere und sehr tiefgehende Schwierigkeiten tauchen sofort auf, wenn wir zur Multiplikation übergehen. Es ist zwar möglich, gewisse Grundsätze der Multiplikation auch an Rechtecken zu zeigen. Wir müßten aber dabei wieder eine Unzahl von Axiomen voraussetzen, die wir nicht voraussetzen wollen, und gerieten außerdem im weiteren Fortschreiten in allerlei Schwierigkeiten. Deshalb rufen wir jetzt, vorläufig noch nicht sichtbar, unseren „Maß-Pascal“ zur Hilfe herbei, der uns aus allen Schwierigkeiten einen Ausweg zeigen wird. Zuerst, das dürfen wir ohne weiteres bringen wir zwei Gerade im Punkte 0 (Null) im rechten Winkel zum Schnitt.

Vom Punkte O tragen wir nach rechts eine Strecke ab, die für die ganze weitere Untersuchung dieselbe bleiben wird und die wir 1 nennen. Wenn wir nun von 0 ab weiters die Strecke b abtragen und senkrecht dazu die Strecke a, dann bleibt uns zur Multiplikation dieser beiden Strecken keine andere Tätigkeit mehr übrig, als den Endpunkt der Strecke 1 mit dem Endpunkt der Strecke a zu verbinden und durch den Endpunkt der Strecke b parallel zu dieser ersten Verbindungsgeraden g₁ die Verbindungsgerade g₂ zu ziehen. Wo ₂ die Senkrechte schneidet, entsteht ein neuer Schnittpunkt. Dieser aber grenzt eine neue Strecke ab, die wir c nennen wollen. Nun definieren wir vorläufig, daß diese Strecke c das Produkt aus den beiden Strecken a und b sein soll.

Also c = a · b, oder a · b = c (Satz 4).

Aus unserer Zeichnung können wir auch unmittelbar den Satz 6 entnehmen. Denn wenn ich 1 und b als identisch annehme, dann fallen die Parallelen zusammen und a · 1 ist tatsächlich auch in der Streckenrechnung gleich a, während ich 1 · a = a sogleich aus der Geltung der Vertauschbarkeit (kommutatives Gesetz) werde ableiten können."

Dieses Gesetz, das wir allgemein als a · a = b · a definieren wollen, ist nun für die Streckenrechnung zu beweisen, womit der Satz 12 als „verschwistert“ festgestellt wäre. Zuerst konstruieren wir uns in der schon einmal durchgeführten Art das Produkt aus a und b. Jetzt tragen wir weiters auf dem waagrechten Schenkel unseres rechten Winkels die Strecke a auf und auf dem anderen Schenkel die Strecke b, verbinden den Endpunkt der Strecke 1 mit dem Endpunkt von b auf dem senkrechten Schenkel und ziehen zu dieser Geraden g₃ die Parallele g₄ aus dem Endpunkt der waagrecht abgetragenen Strecke a. Da wir prinzipiell genau so vorgegangen sind wie bei Bildung des Produktes a · b, müssen wir durch g₄ jetzt das Produkt b · a erhalten. Denn wir haben den Endpunkt von 1 mit dem Endpunkt von b verbunden und hierauf durch den Endpunkt von a eine Parallele gezogen. Nun ist bloß noch zu beweisen, daß diese Gerade g₄ auch wirklich durch den Endpunkt von c geht.

Diesen Beweis aber leistet uns der „Maß-Pascal“. Die Hilfslinien g₅ und g₆ sind offensichtlich parallel, da sie je zwei Punkte verbinden, die vom Scheitel des Winkels gleich weit abstehen. Nun sind aber auch g₁ und g₂ sowie g₃ und g₄ voraussetzungsgemäß parallel. Da sich nun weiters g₆ und g₄, g₁ und g₃, g₂ und g₅, g₃ und g₅ und schließlich g₁ und g₆ gemäß unserer Konstruktion auf Schenkeln des Winkels (also auf der „Kurve zweiter Ordnung“) schneiden, muß sich nach dem „Maß-Pascal“ der sechste Schnittpunkt dieser offensichtlichen Gegenseiten, nämlich der Schnittpunkt von g₂ und g₄, auch auf einem Schenkel befinden. Da aber schließlich g₂ voraussetzungsgemäß durch den Endpunkt von a · b = c geht, so muß auch g₄ durch eben diesen Punkt gehen. Damit aber ist der volle Beweis dafür erbracht, daß a · b = b · a, was wir ja beweisen wollten.

So interessant es nun auch wäre, dem weiteren Aufbau der Streckenrechnung an der Hand Hilberts zu folgen, so würde uns dieses Eingehen ins Einzelne gleichwohl zu weit von unserer eigentlichen Aufgabe ablenken. Wir bitten also an dieser Stelle um Kredit, dessen Berechtigung übrigens jeder Leser im Werke Hilberts selbst nachprüfen kann, Und wir stellen bloß fest, daß es mit Hilfe des „Maß-Pascals“ auch verhältnismäßig einfach gelingt, sowohl das assoziative Gesetz der Multiplikation, also die Tatsache, daß

a · (b · c) = (a · b) · c, und das distributive Gesetz der Multiplikation, also

a (b + c) = a · b + a · c, auch für die Streckenrechnung nachzuweisen. Mit wenigen weiteren Voraussetzungen können wir dann noch den Rest der „Rechenregeln für Zahlen“ als gültige „Rechenregeln für Größen“ entlarven, womit der angekündigte Übergang von der Arithmetik zur Geometrie unzerreißbar hergestellt ist. Es ist uns sonach weiterhin jederzeit erlaubt, zahlenmäßige Feststellungen, die wir aus Beziehungen zwischen Strecken gewonnen haben, rein nach den Regeln des Zahlenrechnens weiterzubehandeln. Falls wir dann, nach so und so viel Zahlenoperationen, wieder zu Größen oder Figuren zurückgehen, muß all das im Reich der Größen genau stimmen, was wir im Reich der Zahlen errechneten. Denn beide Reiche unterstellen bis in die Einzelheiten denselben Gesetzen.

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