Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 216c

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Vom Punkt zur vierten Dimension. Geometrie für Jedermann.

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Sechzehntes Kapitel

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Übergang zur Maßgeometrie

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Jetzt schließt sich für uns das ganze Gebäude der Geometrie in harmonischer Weise. Wir haben nicht einen überflüssigen Schritt gemacht. Denn zuerst müssen wir die Gebilde in ihrem Aufbau kennen. Dann müssen wir ihre Proportionen und Lagebeziehungen durchschauen. Und schließlich werden wir darangehen, all dies nicht bloß festzustellen, sondern rein größenmäßig zu erfassen. Nichts ist hier unten, nichts oben. Nichts Beginn und nichts Schluß. Sondern alles zusammen ergibt in wunderbarer Einheit die Geometrie. Und es war nur die Frage, wo wir die Forschung beginnen sollten. Durch systemloses Fragen hatten wir uns in den Sumpf verirrt, worauf wir radikal versuchten, die Geometrie von den Wurzeln aufzubauen. Wir haben dabei manches Überraschende gefunden und sind von Erfolg zu Erfolg geschritten. Der schwerste Schritt ist aber noch zu tun, von dem alles Weitere abhängt. Nämlich die Verbindung der von uns bisher untersuchten Geometrie der Lage mit der Geometrie der Proportionen und der Geometrie der Größen oder der Maßgeometrie.

Wir stellen dazu vorgreifend fest, daß wir eigentlich nur zwei „Dinge“ in der Geometrie zu messen haben, aus denen dann alle anderen Maße sich ergeben: nämlich die Länge und den Winkel. Auch bei unserem Entfernungsmesser haben wir nur von Längen und von Winkeln gesprochen. So wird es überall sein. Denn weitere Maße, wie Flächen- und Raummaße, sind nichts anderes als Ableitungen aus dem Längenmaß. Man mißt auch etwa den Kubikinhalt eines Behälters nicht mit Maßwürfeln, sondern mit dem Zollstab, wenn man dann das Ergebnis auch in Maßwürfeln ausdrückt.

Also noch einmal in aller Schärfe: die Maßgeometrie nimmt zu den Lagebeziehungen und Verhältnisbeziehungen noch die Größenbeziehungen, das heißt die Verhältnisbeziehung der Länge und des Winkels zur Längeneinheit und Winkeleinheit hinzu.

Wir sprachen aber noch von etwas anderem. Nämlich von der Einbeziehung des Zahlenreiches in die Geometrie. Besser sollte man sagen, daß sich zum Zweck einer wirklich brauchbaren Maßgeometrie das Reich der Zahlen, die Arithmetik, mit dem Reich der Gestalten, der Geometrie, unlösbar verschwistern müsse. Dieses Problem der Verschwisterung von Arithmetik und Geometrie ist weit verwickelter und weit abgründiger, als es auf den ersten Blick scheint. Wenn wir für einen kurzen Augenblick elementarste Kenntnisse der Maßgeometrie voraussetzen, so geschieht es nur aus dem Grund, weil wir unser Problem sonst nicht verdeutlichen können. Nehmen wir etwa an, wir hätten ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten der Länge 5 cm, 12 cm und 13 cm. Der pythagoräische Lehrsatz behauptet, daß die Quadrate der beiden kleineren Seiten größenmäßig gleich sein müßten mit dem Quadrat der größeren Seite.

Also 5² +12² = 13² oder

25 + + 144 = 169, alles in Zentimetern, was offensichtlich stimmt. Nun vergesse ich etwa plötzlich, daß es sich um Geometrie handelt, und denke bloß daran, daß ich einen rechnerischen Ansatz vor mir habe. Es lockt mich, rein rechnerisch mit meiner „Gleichung“ zu jonglieren. Und ich stelle mir vor, ich wüßte nur zwei der Ziffern und wollte daraus die dritte finden. :Also etwa 25 + x = 169. Rechne ich nach den Regeln der Gleichung, dann erhalte ich

x = 169 - 25 = 144.

Nun wollte ich aber kompliziertere Rechnungsoperationen anwenden und etwa unsere Gleichung folgendermaßen darstellen:

5² + x² = 13².

Daraus ergibt sich als x² die Differenz 13² - 5² und als

$x={\sqrt {144}}=$

Nun hätte ich aber noch weitere rechnerische Ambitionen. Ich hätte etwa die Lust, jede unserer Zahlen mit 3² zu multiplizieren, was nach den Rechenregeln die Gleichung nicht verändert, da Gleiches mit Gleichem multipliziert wieder. Gleiches ergibt. Also

3² · (5² + 12²) = 3² · 13²

3² · 5² + 3² · 12² = 3² · 13²

15² + 26² = 39²

Ich könnte natürlich mit der Gleichung noch weit verwickeltere Umformungen vornehmen. Nun erinnere ich mich plötzlich meines pythagoräischen Lehrsatzes, drehe alles um und behaupte, daß die letzte Gleichung

15² + 36² = 39² nichts anderes darstelle, als ein neues rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten 15, 36, und 39. Und daß unser x und x₁ früher nichts anderes waren als ein gesuchtes Seitenquadrat bzw. eine gesuchte Seite. Gewiß, es stimmt aufs Genaueste. Alles, was ich jetzt behauptete, stimmt. Eine Zeichnung würde mich sofort über die Richtigkeit meiner Behauptungen belehren. Aber es ist durchaus nicht selbstverständlich, daß es stimmen muß. Denn es wäre ganz gut denkmöglich, daß die Rechenregeln der Arithmetik für sich richtig sind, sich jedoch nicht als Resultat rechnerischer Umformungen auf geometrische Beziehungen zurückübertragen lassen. Eine Gleichung und die in der Gleichung vorkommenden Umformungen sind etwas an sich Weltverschiedenes von rechtwinkligen Dreiecken und ihren Seitenverhältnissen.

Deshalb müssen wir auch diesen Parallelismus von Arithmetik und Geometrie irgendwie klarstellen. Denn wir dürfen ihn nicht stillschweigend voraussetzen, wie es in der elementaren Schulgeometrie gewöhnlich geschieht. Und wir verraten, daß eben diese Verschwisterung von Arithmetik und Geometrie den tieferen Geometrikern der letzten Jahrtausende genügend Kopfzerbrechen verursacht hat, und daß man bei der Lösung des Problems gern von einem Extrem ins andere fiel. Bald wollte man die ganze Geometrie arithmetisieren, bald wieder die Arithmetik geometrisieren, so daß es sich gleichsam um eine Sache in zwei verschiedenen Erscheinungsformen gehandelt hätte. Andere Geometriker wieder ließen die beiden Reiche der Arithmetik und der Geometrie gleichsam in prästabilierter Harmonie (also in einem vorgegebenen, gottgewollten Gleichklang) nebeneinander bestehen, ohne die Vereinigung zu versuchen. Und erst durch die projektive Geometrie ist es wirklich gelungen, die Brücke zwanglos und befriedigend zu schlagen, die die beiden Reiche notwendig verbindet.

Jetzt und an dieser Stelle wird sich erst der ganze Nutzen zeigen, den uns sowohl die projektive Geometrie als die Axiome gewähren. Und wir werden versuchen, an der Hand Hilberts den Übergang von der Geometrie der Lage zu der Maßgeometrie und zu den Proportionen zu finden.

Zu diesem Zweck werden wir wieder zum Lehrsatz des Blaise Pascal zurückkehren, diesmal allerdings in ganz anderer Absicht.als damals, wo wir bloß das Wirken des Dualitätsprinzipes an diesem Lehrsatz erläutern wollten. Wir haben schon angedeutet, daß es sich beim Pascalschen Satz um einen Lehrsatz über Kegelschnitte handelt. Damit wir uns etwas vorstellen können, wollen wir uns zuerst die vier Kegelschnittskurven möglichst sinnfällig aufzeichnen. (Fig. 47.)

Der Satz des Pascal lautet nun, daß wenn man sechs Punkte, die in einer Kegelschnittslinie (also in einem Kreis, einer Ellipse, Parabel oder Hyperbel) liegen, in einer gewissen, noch näher zu erörternden Art miteinander verbindet, die drei Schnittpunkte auf einer Geraden, der sogenannten Pascalschen Geraden liegen müssen. Wie muß nun diese Verbindung geschehen? Nun, in folgender Art: Man numeriert die erwähnten sechs Punkte mit 1, 2, 3, 4, 5, 6 und verbindet sie dadurch zum „Pascalschen Sechseck“, daß man von 1 zu 2, von 2 zu 3, von 3 zu 4, von 4 zu 5, von 5 zu 6 und endlich von 6 zu 1 Gerade zieht. Dabei heißen 1-2 und 4-5, 2-3 und 5-6, 3-4 und 6-1 die „Gegenseiten“. Und eben die drei Schnittpunkte je zweier Gegenseiten liegen auf der Pascalschen Geraden, wie die folgende Figur an allen vier Kegelschnitten zeigt. Nun haben wir aber, des erinnern wir uns noch genau, den Pascalsatz in einer ganz anderen Form kennen gelernt. Nämlich als Satz, der uns die Punkte auf zwei einander schneidenden Geraden zeigte. Also durchaus nicht auf einer „Kegelschnittskurve“.

Einen Augenblick Geduld! Was sind denn zwei einander schneidende Gerade? Ist das nicht am Ende gar auch ein Kegelschnitt? Gleichsam ein Grenzfall oder eine Degeneration der Hyperbel? Gewiß haben wir hier einen Kegelschnitt vor uns. Denn jede Ebene, die ich durch die Achse des Kegels lege, ergibt als Schnitt ein ebenes zentrisches Büsche! zweier Strahlen oder Halbstrahlen, je nachdem ich einen einfachen oder Doppelkegel schneide. Wenn also der „Pascal“ für alle Kegelschnitte gilt, dann muß er auch für achsiale Schnitte, also für den Grenzfall der degenerierten Hyperbel gelten. Zur Klarstellung fügen wir noch bei, daß unsere sechs Pascalschen Punkte durchaus nicht auf beide „Äste“ der Hyperbel verteilt werden müssen. Sie können alle sechs in einem beliebigen Bereich der Kurve, auch enge zusammengedrängt, liegen. Aber noch mehr : Die Punkte dürfen sogar zum Teil zusammenfallen, so daß aus dem Pascalschen Sechsecksatz ein Fünfeck-, Viereck- und sogar ein Dreiecksatz folgt. Diese Sätze findet der Leser sehr übersichtlich im Bändchen 1 der projektiven Geometrie von Prof. Doehlemann (Göschen Nr. 72). Wir können sie hier bloß erwähnen, da unsere Aufgabe, wie ein für allemal festgestellt sei, nicht darin liegt, Dinge" abzuschreiben, die in jedem Lehrbuch des betreffenden Zweiges der Geometrie enthalten sind, sondern vielmehr darin, ein möglichst abgerundetes Bild der ganzen Geometrie samt ihrer Problematik zu entwerfen, das dem angehenden Geometriker als erste kursorische Einführung und gleichsam als Orientierungsplan dienen soll.

Deshalb zeigen wir einen prinzipiell viel bedeutungsvolleren Zusammenhang auf, an dem wir die geradezu dämonische Vielfalt geometrischer Möglichkeiten demonstrieren können. Wir haben seinerzeit davon gesprochen, daß man parallele Gerade so behandeln könne, „als ob“ sie sich im sogenannten „unendlichfernen“ Punkt schneiden würden. Wenn das wahr ist, dann sind zwei Parallele ein zweistrahliges ebenes Büschel. Wenn aber, wie wir schon behaupteten, ein zweistrahliges Büschel ein achsialer Kegelschnitt, also eine Kurve zweiter Ordnung ist, dann sind zwei Parallele auch ein Kegelschnitt. Scheinbar ist das der purste Wahnsinn. Zwei Parallele sollen einmal ein Büschel, dann ein achsialer Kegelschnitt und außerdem noch eine Kurve sein. Es fehlt nur noch, daß wir sie als Körper bezeichnen. Nun, gemach! Das Letzte wollen wir unterlassen. Aber daran, daß Parallele eine Kegelschnittskurve sind, halten wir eigensinnig fest.

(Die Parabel, deren Schnitt ja parallel zur „Gegenseite“ des Kegels erfolgen muß, degeneriert beim Zylinder ebenfalls zu zwei Parallelen oder zu einer Geraden.)

Sie sind eben ein „Zylinderschnitt“, sind gleichsam ein degenerierter Hyperbelast des Zylinders, der ja selbst nichts ist als ein unendlich langer Kegel. Man weiß ja auch, daß sich Kreis und Ellipse aus dem Zylinder genau so gut gewinnen lassen, wie aus einem Kegel. Jede Hausfrau, die Sandwiches aus einem zylindrischen Wecken schneidet, ist sich klar darüber, daß sie den Zylinderwecken schräg schneiden muß, wenn sie elliptische Brötchen servieren will. Wenn wir aber weiter nachdenken, dann muß für unsere unheimliche degenerierte, einästige Zylinderhyperbel, die ja, obwohl sie aus zwei parallelen Geraden besteht, nichts anderes ist als eine Kurve zweiter Ordnung, „natürlich“ auch der Pascalsche Satz gelten. Wagen wir die Bewahrheitung dieses verhexten logischen Schlußverfahrens:

Archivo:Vom Punkt zur Vierten Dimension Seite 140 picture cutout.jpg

Unsere geometrische Untat ist geglückt. Wir haben ein prächtiges Pascalsches Sechseck und eine einwandfreie Pascalsche Gerade mit den drei Schnittpunkten der bezüglichen Gegenseiten erhalten.

Dieses geometrische Wunder hat uns kühn gemacht. Wir fragen nämlich plötzlich nach einem anderen Grenzfall. Was geschieht, so grübeln wir, wenn es uns nicht gelingt, die Gegenseiten zum Schnitt zu bringen. Das ist durchaus nicht unmöglich. Die Gegenseiten brauchen dazu bloß parallel zu sein, wie aus der nächsten Zeichnung hervorgeht.

Obwohl wir bei dieser Zeichnung durchaus keine Regel der Herstellung des Pascalschen Sechsecks verletzt haben, können wir unsere Pascalsche Gerade nicht gewinnen, da sich die Gegenseiten AB₁ und A₁B, BC₁ und B₁C und CA₁, und C₁A in keiner Art zum Schnitt bringen lassen. Ohne Schnittpunkte der Gegenseiten gibt es jedoch keine Pascalsche Gerade, da diese ja eben aus den Schnittpunkten gewonnen wird. Wir werden es also mit dem Rotwelsch der projektiven Geometrie versuchen, uns doch zu irgendeiner Pascalschen Geraden zu schwindeln. Denn wenn wir sie nicht fänden, fiele uns unser schöner allgemeiner Satz sofort zusammen. Allgemeine Sätze dürfen nicht eine einzige Ausnahme dulden. Sonst sind sie falsch oder überhaupt nie allgemein gewesen.

Wo also, so fragen wir harmlos, schneiden sich unsere Gegenseiten eigentlich? Der mürrische Euklidiker brummt darauf: „Nirgends! Laß mich in Ruhe. Du siehst ja, daß die Gegenseiten parallel sind. Parallel sein heißt aber, keinen Schnittpunkt haben. Hätte Pascal besser aufgepaßt und nicht solche vage Behauptungen aufgestellt.“ „Oho,“ antwortet darauf der projektive Geometriker, „oho, mein Freund. Du bist etwas veraltet in deinen Ansichten. Ich finde, daß da gar kein Widerspruch ist. Parallele Gerade schneiden einander in unendlich fernen Schnittpunkten. Wir haben hier also drei unendlich ferne Pascalsche Schnittpunkte.“ „Nun, und?“ brummt der Euklidiker weiter. „Was soll damit getan sein? Der eine deiner erschwindelten unendlich fernen Punkte liegt auf der einen, der andere auf der anderen Seite.“ „Das ist meine Sache, zu entscheiden, wo die drei Punkte liegen“, repliziert der Poncelet-Schüler. „Wie wir schon am Beispiel der Sonnenstrahlen zeigten, ist es naturgemäßer, die unendlich fernen Punkte nicht wahllos anzunehmen. Wir haben zudem hier drei Paare von Parallelen in einer Ebene. Wir lassen sie alle nach derselben Richtung zum Schnitt kommen. Dann werden alle drei Schnittpunkte gleich weit von uns entfernt sein, da sie alle unendlich weit sind. Und sie werden deshalb auf einer Geraden, der unendlich fernen Geraden liegen, die nach unseren projektiven Anschauungen als Schnittlinie eines Ebenenbündels aus parallelen Ebenen genau so berechtigt ist wie der unendlich ferne Punkt als Schnitt von parallelen Geraden. Damit aber ist unser Problem gelöst. In unserem Grenzfall ist die Pascalsche Gerade eine unendlich ferne Gerade, in der die drei Schnittpunkte der drei paarweise parallelen Gegenseiten als unendlich ferne Punkte liegen.“

Wir setzen die Debatte nicht fort, da die neue Geometrie diesen Sonderfall tatsächlich in dieser Art behandelt. Wir fügen nur bei, daß sich aus dem Pascalschen Satz überhaupt und insbesondere aus unserem letzten Fall eine ungeheuer wichtige Folgerung ergibt. Da nämlich jede Gerade schon durch zwei Punkte bestimmt ist, genügen stets schon zwei Schnittpunkte auch zur Bestimmung der Pascalschen Geraden. Wir können also die Pascalsche Gerade jederzeit schon als bestimmt betrachten, wenn die zwei ersten Paare Gegenseiten zum Schnitt gebracht wurden. Man sieht das klar aus der folgenden Zeichnung, in der die den dritten Punkt bestimmenden Gegenseiten gestrichelt sind.

In unserem Sonderfall muß aber noch etwas anderes eintreten. Wenn nämlich zwei Paare von Gegenseiten als Parallele festgestellt sind, dann haben wir bereits zwei unendlich ferne Schnittpunkte. Zwei unendlich ferne Punkte aber bestimmen unbedingt eine unendlich ferne Gerade. -Daraus folgt, daß auch der Schnittpunkt des dritten Paares von Gegenseiten ein unendlich ferner Punkt sein muß. Wenn er das aber ist, dann ist eben das dritte ,Paar Gegenseiten einander ebenfalls parallel. In dieser veränderten Fassung, die uns zur Grundlegung der Maßgeometrie dienen wird, lautet der ,”,MaB-Pascal“, wie wir ihn nennen wollen, folgendermaßen: Es seien A, B, C bzw. A₁, B₁, C₁ je drei Punkte auf zwei einander schneidenden Geraden g und g₁, wobei die erwähnten Punkte vom Schnittpunkt der beiden Geraden verschieden sein müssen. Ist dann etwa CB₁ parallel zu BC₁ und CA₁ parallel zu AC₁, dann ist auch BA₁ parallel zu AB₁. In dieser Form verwendet Hilbert den „Maß-Pascal“. Man könnte natürlich auch je zwei andere Paare von Gegenseiten voranstellen. Stets muß dann das dritte Paar ebenfalls parallel sein (siehe Fig. 51).

Bevor wir unseren Versuch der Vereinigung von Arithmetik und Geometrie anstellen, müssen wir uns noch über einen Tatbestand volle Klarheit verschaffen. Wir haben es in der Arithmetik stets mit Zahlen zu tun. Die Zahlen können, wie man weiß, ganze und gebrochene, rationale und irrationale, reelle und imaginäre sein usw. In der Maßgeometrie haben wir es offensichtlich mit „Größen“ zu tun. Soll eine vollkommene Verschwisterung, eine unbedingte Entsprechung von Arithmetik und Geometrie eintreten, dann müssen eben den Zahlen stets Größen und den Größen stets Zahlen entsprechen. An und für sich wäre das kein übertriebenes Verlangen. Es ist sicher nicht schwer, einer Größe eine Zahl und einer Zahl eine Größe zuzuordnen. Jedes Kind übt diese Tätigkeit aus, wenn es eine Länge mit dem Zentimeterstab oder dem geeichten Lineal abmißt. Nun hätten wir aber mit dieser bloßen Zuordnung noch sehr wenig gewonnen. Denn es interessiert uns in der Maßgeometrie durchaus nicht bloß das direkte Messen von Größen, sondern in weit höherem Grade das indirekte Messen, das man auch als „Berechnen“ vorläufig noch unbekannter geometrischer Stücke oder Größen bezeichnen kann. Nun liegt im Worte „berechnen“ bereits das ganze Problem, das wir vor uns haben, beschlossen. Wir haben es zudem schon einmal in unserem Beispiel des pythagoräischen Lehrsatzes aufgezeigt. Was berechtigt uns, fragen wir noch einmal, die Regeln der Rechnung auch für die Beziehungen der Größen als bestehend zu betrachten? „Berechnen“ ist ein Sammelname für eine Reihe von Rechenoperationen, die im Reiche der Zahlen Geltung besitzen und die wir nur im Reiche der Zahlen anwenden dürfen, wenn wir die Grenzen dieses Reiches nicht sehr unbefugt überschreiten wollen. Alle diese Rechenoperationen lassen sich aber wieder, wie die Sätze der Geometrie, auf eine ganz beschränkte Anzahl von Axiomen und Forderungen zurückführen.

Unsere Prüfung wird sich also darauf beschränken dürfen, den Nachweis zu erbringen, daß diese eben erwähnten Grundsätze des Zahlenrechnens sämtlich auch für die Beziehungen zwischen Größen, und zwar in unserem Fall zwischen geometrischen Größen gelten. Wenn uns dieser Nachweis glückt, dann haben wir gleichsam ein neues, noch umfassenderes Dualitätsprinzip festgestellt, das uns berechtigt, die Begriffe Größe und Zahl beliebig zu vertauschen.

(Der Verfasser behält es sich vor, diese mathematisch-philosophische Idee an anderer Stelle in all ihren ,Konsequenzen auszubauen.)

Haben wir dann im Reiche der Zahlen einen Satz bewiesen, so muß er im Reiche der Größen gelten und a umgekehrt. Damit aber hätten wir die weitere Möglichkeit gewonnen, stets die Arithmetik durch Geometrie verbildlichen und die Geometrie durch die Arithmetik sozusagen „verständlichen“ (rationalisieren) zu dürfen. Dies ergibt eine Gegenseitigkeit von Sinnlichkeit und Verstand, Auge und Gehirn, die ja in ihrer folgerichtigen Verwendung erst den wahren Triumph der Mathematik ausgemacht hat.

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