Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 212c

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Vom Punkt zur vierten Dimension. Geometrie für Jedermann.

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Zwölftes Kapitel

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Axiome der Verknüpfung und Axiome der Anordnung

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Als erste Axiomengruppe stellen die Axiome der Verknüpfung diese Verknüpfung zwischen Punkten, Geraden und Ebenen her und lauten:

I. 1. „Zwei voneinander verschiedene Punkte A und B bestimmen stets eine Gerade a.“ (Statt des Wortes „bestimmen“ werden auch andere Wendungen gebraucht. Etwa, die Gerade a „geht“ durch die Punkte A und B oder sie „verbindet“ A mit B usw.)

I. 2. „Irgend zwei voneinander verschiedene Punkte einer Geraden bestimmen diese Gerade.“

I. 3. „Auf einer Geraden gibt es stets- wenigstens zwei Punkte, in einer Ebene gibt es stets wenigstens drei nicht auf einer Geraden gelegene Punkte.“

I. 4. „Drei nicht auf ein und derselben Geraden liegende Punkte A, B, C bestimmen stets eine Ebene a.“

I. 5. „Irgend drei Punkte einer Ebene, die nicht auf ein und derselben Geraden liegen, bestimmen diese Ebene.“

I. 6. „Wenn zwei Punkte A, B einer Geraden a in einer Ebene a liegen, so liegt jeder Punkt von a in der Ebene a." (In diesem Falle sagt man auch, daß die Gerade a in der Ebene a liege.)

I. 7. -„Wenn zwei Ebenen α und β einen Punkt A gemeinsam haben, so haben sie wenigstens noch einen weiteren Punkt B gemeinsam.“

I. 8. „Es gibt wenigstens vier nicht in einer Ebene gelegene Punkte.“

Selbstverständlich folgen aus diesen Axiomen eine große Anzahl von weiteren Sätzen. Wir wollen uns jedoch vorläufig zur 'Erhöhung der Übersichtlichkeit auf die Axiome beschränken und gehen deshalb zur zweiten Gruppe, zu den Axiomen der Anordnung über. Die Axiome dieser Gruppe definieren den Begriff „zwischen“ und ermöglichen auf Grund dieses Begriffes die Anordnung der Punkte auf einer Geraden, in einer Ebene und im Raume. Sie lauten:

II. 1. „Wenn A, B und C Punkte einer Geraden sind, und B zwischen A und C liegt, so liegt B auch zwischen C und A.“

II. 2. „Wenn A und C zwei Punkte einer Geraden sind, so gibt es stets wenigstens einen Punkt B, der zwischen A und C liegt, und wenigstens einen Punkt D, so daß C zwischen A und D liegt.“

II. 3. „Unter irgend drei Punkten einer Geraden gibt es stets einen und nur einen Punkt, der zwischen den beiden anderen liegt.“

(Wir betrachten auf einer Geraden a zwei Punkte A und B. Der von diesen beiden Punkten begrenzte Teil heißt eine Strecke und wird als Strecke AB oder BA bezeichnet. Die Punkte zwischen A und B heißen Punkte der Strecke oder auch Punkte, die innerhalb der Strecke liegen. Die Punkte A und B heißen die Endpunkte der Strecke. Alle übrigen Punkte auf der Geraden a heißen außerhalb der Strecke AB gelegen.)

II. 4. „Es seien A, B, C drei nicht in gerader Linie gelegene Punkte und a eine Gerade in der Ebene ABC, die keinen dieser drei Punkte trifft; wenn dann die Gerade a durch einen Punkt der Strecke AB geht, so geht sie gewiß auch entweder durch einen Punkt der Strecke BC oder durch einen Punkt der Strecke AG (sogenanntes ,Axiom von Pasch‚).“

Nun folgen aus den Axiomengruppen I und II wieder eine große Anzahl von Sätzen, als deren für uns wichtigsten wir bloß den Satz anführen, daß es zwischen zwei Punkten einer Geraden stets unendlich viele Punkte geben müsse. Da nämlich zwei Punkte stets eine Gerade bestimmen und da es weiters stets einen Punkt gibt, der zwischen zwei Punkten einer Geraden liegt, so komme ich durch Wiederholung zu folgendem Schluß:

Zwischen A und C muß ein Punkt B liegen. Nun ist durch B und C eine Gerade unabhängig von A bestimmt. Daher muß zwischen Bund C wieder ein Punkt D liegen, der mit C unabhängig von B eine Gerade bestimmt. Daher gibt es weiters den Punkt E zwischen D und C. Nun bestimmen E und C wieder eine Gerade, auf der F zwischen E und C liegt. Wie man sieht, kann man, ohne den Bereich zwischen A und C zu verlassen, diesen Vorgang bis ins Unendliche wiederholen, wodurch man bereits unendlich viele Punkte erhalten muß. Man könnte jederzeit aber auch noch zwischen A und B oder zwischen B und D einen Punkt wählen, wodurch man neuerlich zu weiteren Unendlichkeiten von Punkten gelangte.

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