Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 211c

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Vom Punkt zur vierten Dimension. Geometrie für Jedermann.

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Elftes Kapitel
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Axiome der Geometrie. Das Axiomensystem Hilberts.
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Wir haben zwar schon allerlei Schönes und Verblüffendes gelernt, haben auch schon einen hoffentlich recht deutlichen Begriff vom Wesen der projektiven Geometrie gewonnen, haben aber dabei gleichwohl auf Sand gebaut. Denn wir haben bisher nur sehr flüchtig über die sogenannten Axiome gesprochen, über die ehernsten Grundsockel. jeder wirklich wissenschaftlichen Geometrie. Wenn wir uns nun diesen letzten Instanzen zuwenden, vor deren Richterstuhl wir schließlich gelangen, wenn wir bei irgendeiner geometrischen Frage stets weiter das „Warum“ erforschen, so verlassen wir scheinbar unsere projektive Geometrie. Es scheint allerdings nur so. Denn wir werden stets wieder in irgendeiner Weise zu ihr zurückkehren. Sie war uns neu und fremd, da sie in der Schule kaum gelehrt wird. Aber sie ist uns interessant und lieb geworden. Und auch vertraut. Und sie wird uns ihre ganz große Legitimation erst noch abgeben, wenn es sich darum handeln wird, von der Geometrie der Lage zur Maßgeometrie den zwanglosesten Übergang du zu finden.
Was sind nun diese rätselhaften Axiome? Man sagt manchmal, es seien allererste Grundsätze, Fundamentalsätze, die sich weiter nicht beweisen lassen und die aus der Anschauung genommen sind und durch die Anschauung bestätigt werden müssen. Ein solches Axiom wäre etwa die Behauptung, daß es in einer Geraden stets wenigstens zwei Punkte und in einer Ebene stets wenigstens drei nicht auf einer Geraden gelegene Punkte geben müsse. Man könnte nun bei derartigen Beispielen behaupten, daß Axiome neben ihrem anschaulichen Gehalt auch gewisse logische Elemente enthalten. Die Ebene ist ja ein Gedankending, das ich mir selbst zurechtgemacht habe. Und ich hole jetzt durch das Axiom eigentlich nur die Begriffsmerkmale wieder heraus, die ich selbst in den Begriff legte.
Wir wollen aber die philosophische Frage, ob die ganze Mathematik nur Verabredung oder gar nur eine sogenannte „Tautologie“, das heißt gleichsam ein in sich selbst zurücklaufender und sich stets um seine Achse drehender Kreis von 'Schlüssen sei, nicht weiter erörtern, da über diese Fragen die auch dem Laien zugängliche Literatur genügend Aufschlüsse gibt.
(Vaihinger, die Philosophie des „Als ob“; H. Poincaré, Wissenschaft und Hypothese; Pierre Boutroux, Das Wissenschaftsideal der Mathematiker usf.)
Wir wollen vielmehr, wie wir es einmal gewohnt sind; uns wieder in der Geschichte ein wenig umsehen.
Und da bemerken wir etwas ebenso Erstaunliches wie in der Wissenschaftsgeschichte Einzelhaftes: Schon im dritten Jahrhundert vor Christi Geburt hat der Riesengeist des Euklid ein Axiomensystem geschaffen und an die Spitze seiner „Elemente“ („Stoicheia“) gestellt, das aller Kritik von mehr als zwei Jahrtausenden standhielt. Gewiß, es gab auch vor Euklid „Elemente“ der Geometrie. So aber wie die Euklids können sie nicht ausgesehen haben. Denn, ungeachtet mancher Zufälle, sind die Standardwerke der Antike, wenn man so sagen darf, alle auf uns gekommen. Die wichtigsten Dinge gehen eben nicht so leicht verloren, da sie gewöhnlich schon zu Lebzeiten des Verfassers oder kurz nach seinem Tode in entsprechender Menge vervielfältigt wurden. Und unser Euklid wird auch heute noch gedruckt. Denn er dient in fast unveränderter Gestalt der englischen Schuljugend als Lehrbuch der Elementargeometrie.
Wenn wir gleichwohl davon Abstand nehmen, das Axiomengebäude Euklids ausführlich wiederzugeben, so hat dies zwei sehr triftige Gründe: zuerst wollen wir es, wo es nur halbwegs angeht, vermeiden, mehrere Systeme oder Aufzählungen über dasselbe Thema zu bringen. Der Vergleich verschiedener Systeme ist eine Beschäftigung für Fortgeschrittene und eine Art von Forschertätigkeit. Im Unterricht gilt nur ein eindeutiger „Katechismus“ und kein Kompendium verschiedener Lehrmeinungen. Dieser Grund allein würde uns aber vielleicht doch nicht bewegen können, eine Titanenleistung wie die Euklids so stiefmütterlich zu behandeln. Es kommt noch als zweites wichtiges Motiv für uns die Tatsache hinzu, daß gerade das letzte Jahrhundert die Geometrie auf allen Gebieten gründlich revolutioniert hat. Wir haben in der projektiven Geometrie schon ein Beispiel dieser Umwälzung kennen gelernt. Andere werden wir noch kennen lernen. Dadurch aber haben sich die Anforderungen, die man heute an ein Axiomensystem stellt, sehr geändert, verbreitert und verschärft. Man hat sowohl neuen Tatbeständen zu genügen als auch Erkenntniserweiterungen aus bisher unbekannten Gebieten ihre entsprechende Stelle anzuweisen.
Aus diesen Gründen entschließen wir uns, eines der modernsten und dabei heute schon klassischen Axiomensysteme als Beispiel und als Anleitung unseren weiteren Erörterungen zu unterlegen: und zwar das Axiomensystem des großen, noch lebenden deutschen Geometrikers David Hilbert, ehemals Professor der berühmten Mathematiker-Universität Göttingen, wie es in dessen „Grundlagen der Geometrie“ (vierte Auflage 1913) veröffentlicht ist.
Naturgemäß ist dieses System nicht aus sich selbst geboren. Wir finden darin mehr als ein Axiom, das auch schon Euklid aufgestellt hat. Denn das „griechische Wunder“, dieses schmiegsame Zusammentreffen von höchster Anschauungskraft und logischer Korrektheit, hat ja vieles Endgültige geschaffen, das wir Nachgeborene weder umstoßen wollen, noch zu verbessern brauchen. Gleichwohl muß man die Taten Hilberts und anderer neuer Geometriker als «selbständige Taten gelten lassen. Denn nur Eingeweihte können es ermessen, welche logische Schärfe und welch kaum vorstellbarer Überblick über das Gesamtgebiet der Mathematik dazu gehört, um nur ein halbwegs. brauchbares Axiomensystem, aufzustellen, in dem die einzelnen Axiome „unabhängig“ voneinander sein müssen, da sie sonst ihren Axiomcharakter verlieren würden. Außerdem dürfen die Axiome einander nicht „widersprechen“. Dazu aber muß noch eine weit schwerere Forderung, nämlich die „Vollständigkeit“ des Axiomensystems erfüllt sein. Streng genommen müßte man, um diese Vollständigkeit sicherzustellen, jeden irgendwann und irgendwo aufgestellten Satz der Geometrie prüfen, ob er nicht noch weitere allerletzte. Voraussetzungen mache, als eben unsere Axiome.
Wir müssen also die nun folgenden .„selbstverständlichen“ Sätze doch mit etwas mehr Ehrfurcht ansehen, als sie sie auf den ersten Blick zu verdienen scheinen“. Denn gerade ,,Selbstverständlichkeit“ kann unter Umständen das Allerallerschwerste sein kann bis zur göttlichen Offenbarung oder Vollendung reichen. Hilbert sagt nichts weiter über das Wesen eines Axioms. Er führt nur in einer vorangeschickten „Erklärung“ folgendes aus, nachdem er von drei Systemen von „Dingen“ gesprochen hat, die wir als Punkte, Gerade und Ebenen bezeichnen und die die Elemente der linearen, der ebenen und der Geometrie des Raumes seien:
Wir denken, sagt er, die Punkte, Geraden, Ebenen in gewissen gegenseitigen Beziehungen und bezeichnen diese Beziehungen durch Worte wie „liegen“, „zwischen“, „parallel“, „kongruent“, „stetig“; die genaue und für mathematische Zwecke vollständige Beschreibung dieser Beziehungen erfolgt durch die Axiome der Geometrie.
Die Axiome der Geometrie können nach Hilbert in fünf Gruppen geteilt werden. Jede einzelne dieser Gruppen drückt gewisse zusammengehörige Grundtatsachen unserer Anschauung aus. Diese Gruppen von Axiomen benennt Hilbert in folgender Weise, wobei die römische Ziffer die Gruppennummer und die danebengestellten arabischen Ziffern die Axiomnummern bedeuten.
I. 1-8 Axiome der Verknüpfung,
II. 1-4 Axiome der Anordnung,
III. 1-5 Axiome der Kongruenz,
IV. Axiom der Parallelen,
V. 1-2 Axiome der Stetigkeit.
Es gibt somit nach Hilbert insgesamt 20 Axiome.
An dieser Stelle möge angemerkt werden, daß andere Axiomensysteme, wie z. B. die von Schur oder Pasch, nicht drei Elemente (Punkt, Gerade, Ebene) zugrundelegen, sondern die ganze Geometrie aus einem Element, dem Punkt, aufbauen. Solche Axiomensysteme sind dann unter Umständen, wie die soeben erwähnten, nicht nur für die Euklidische, sondern auch für die Nichteuklidische Geometrie in ihrer Gesamtheit gültig.


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