Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 202c

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Vom Punkt zur vierten Dimension. Geometrie für Jedermann.

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Zweites Kapitel

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Der Entfernungsmesser des Thales von Milet

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Am nächsten Vormittag hatte sich bei allen Beteiligten eine merkwürdige geistige Wandlung vollzogen. Unser Abiturient hatte seine geometrischen Propagandareden vollständig vergessen und dachte an eine Segelpartie, die er nach dem Mittagessen unternehmen würde. Ganz anders der Maler und der Wirt. Der Maler half sich aus der seelischen Bedrängnis, indem er dem Wirt die alte Kindergeschichte vom Herrn „Kannitverstan“ erzählte. Jene Geschichte, in der ein Fremder nach Amsterdam kommt und sich durchfragen will; erforschen will, wem dieses Haus, dieser Garten, dieses Schiff, dieses Geschäft, diese Karosse gehöre, und stets die Antwort erhält: „Kann nit verstan.“ Bis er endlich zur Überzeugung gelangt, daß halb Amsterdam dem rätselhaften Herrn „Kannitverstan“ gehöre. Und schließlich nicht glauben will, daß ihm jeder Holländer auf seine Frage nur die Worte: „Ich kann Sie nicht verstehen“ geantwortet habe. Ähnlich, behauptete der Maler, sei es mit der Geometrie. Nur laute hier die Antwort: „Kann verstan.“ Wo man auch hinsehe und wo man frage, höre man, daß es sich um Geometrie handle. Und erst durch Geometrie könne man anscheinend alle Dinge verstehen. Die Geometrie sei der allmächtige und allgegenwärtige Herr „Kannverstan“ auf dieser Welt.

Der Wirt war, wie alle einfachen, schlichten Leute, in deren Leben etwas umwälzend Neues eingebrochen ist, geradezu trübsinnig geworden. Er hatte für Scherze kein Ohr, da er nicht voll begriff, daß der Scherz des Malers eigentlich sehr aufschlußreich war. Dabei verloren sich seine Grübeleien auf allerhand Nebengeleise. Teils wollte er sofort praktische Auswirkungen dieser unheimlichen, allgegenwärtigen Wissenschaft sehen, teils beängstigten ihn die Fachausdrücke, von deren Übersetzung er sich allerlei Erlösungen erhoffte. Er setzte sich also, als der Abiturient erschien, kurzerhand an dessen Frühstückstisch und fragte ihn über die Bedeutung und sprachliche Herkunft" einiger Ausdrücke, die er sich von gestern gemerkt hatte.

Wir wollen aber dieses Gespräch nicht genau wiedergeben, sondern über Ausdrucksfragen für unsere Zwecke Betrachtungen anstellen. Geometrie ist eine Zusammensetzung der Worte Ge und Metron, die beide griechisch sind und soviel wie Erde und Maß bedeuten. Danach wäre Geometrie die Kunst der Erdvermessung oder Erdausmessung. Wir werden bald sehen, daß nach dem ganzen Entwicklungsgang der Geometrie als Wissenschaft die Bezeichnung speziell im Ursprungsland, bei den Griechen, merkwürdig falsch gewählt war. Sie dürfte schon in Griechenland ein Überbleibsel aus alter Zeit gewesen sein. Denn die griechische Geometrie der Glanzzeit hatte weder mit der Erde noch mit der Messung sonderlich viel zu tun. Diese beiden „Zwecke“ oder „Anwendungen“ der Wissenschaft waren sogar in der Geometrie streng verpönt. Und die Nutzanwendung war einer ganz anderen Wissensrichtung, der sogenannten Geodäsie vorbehalten. Auch heute heißt die eigentliche Erdvermessungskunde, die die Grundlagen für Karten, Atlanten, Globen, überhaupt für geographische Zwecke liefert, die Geodäsie.

Wir halten also vorläufig fest, daß der Ausdruck Geometrie sich, rein sprachlich untersucht, durchaus nicht mit dem Gegenstand deckt, den die „Wissenschaft Geometrie“ zu behandeln hat. Um aber über diese Dinge Klarheit zu gewinnen, werden wir uns jetzt wieder einem neuen Ereignis auf der Terrasse zuwenden.

Ziemlich weit draußen im See war eine sogenannte Leuchtboje verankert, die man von der Terrasse genau sehen konnte. Der Wirt, den, wie wir schon schilderten, die geometrische Krankheit befallen hatte, behauptete plötzlich, es müsse leicht sein, die Entfernung der Boje von der Terrasse auf geometrische Art zu bestimmen. Denn es sei das nicht viel anders als die Bestimmung der Höhe eines Berges.

Es sei sogar leichter, erwiderte der Abiturient. Denn die Tatsache, daß man den Wasserspiegel als Fläche betrachten könne, nehme dem Problem viel von seiner Schwierigkeit. Allerdings müsse man eine Größe oder Strecke kennen. Nämlich die genaue Höhe der Terrasse über dem Seespiegel. Der Wirt behauptete, diese Höhe von der Anlage eines Brunnens genau zu kennen. Sie betrage, teilte er mit, nachdem er aus dem Hause Berechnungen und Aufzeichnungen geholt hatte, aufs Haar 37 Meter und 49 Zentimeter. Jeder Zentimeter Brunnenarbeit sei nämlich in klingender Münze zu bezahlen gewesen.

Die folgenden Stunden waren für den Maler und die Wirtsleute von großer wissenschaftlicher Erregung erfüllt. Sie erlebten nämlich dasselbe Staunen, das die Bewohner Milets im sechsten vorchristlichen Jahrhundert überkommen hatte, als der eine der sieben Weisen Griechenlands, der Mathematiker und Astronom Thales von Milet, an einem überhöhten Punkte des Hafens von Milet seinen Entfernungsmesser aufstellte.

Wir werden nun dieses Instrument, wie es der Maler und der Abiturient „frei nach Thales“ zusammengbastelten, beschreiben. Und es wird uns sofort in eine Fülle von grundlegenden geometrischen Problemen einführen. Wie man sieht, benützten unsere Künstler als Sockel des Instrumentes das Stativ eines photographischen Apparates. Vorgreifend sei erwähnt, daß alle, Instrumente, bei denen man auf eindeutig stabiles Stehen Gewicht legt, auf drei Füßen oder drei Ruhepunkten stehen müssen. Durch drei Punkte ist nämlich auf jeden Fall eine Ebene vollständig bestimmt, wenn diese drei Punkte nicht zufällig auf einer und derselben Geraden liegen. Daher hat man auch scherzweise gesagt, der Schusterstuhl sei infolge seiner Dreibeinigkeit die theoretisch vollkommenste Sitzgelegenheit. Er kann nicht wackeln und wird nur sehr selten kippen. Nimmt man einen vierten Stützpunkt dazu, dann muß dieser durchaus nicht in der durch drei Punkte eindeutig bestimmten Ebene liegen. Er kann es, muß es aber nicht, wie bei drei Stützpunkten. Jeder Mensch weiß das übrigens aus Erfahrung, wenn er sich schon einmal über das Gewackel eines Speisetisches oder eines Kastens geärgert hat und sich schließlich nur dadurch helfen konnte, daß er durch Unterlegen von Holzplättchen oder Pappeschichten alle vier Füße in eine einzige Ebene brachte.

Für skrupelhafte Mathematiker sei an dieser Stelle bemerkt, daß wir vorläufig noch durchaus nicht Wissenschaft treiben. *Wir befinden uns ebenfalls auf Ferien auf unserer Wirtshausterrasse, betrachten die Geschehnisse und erörtern sie miteinander in der gewöhnlichen Sprache des Alltages. Wir sprechen daher, ohne noch etwas genauer festzulegen, von Punkten, Linien, Ebenen, Geraden, Winkeln und setzen dabei voraus, daß jeder Mensch mit diesen Worten irgendeine halbwegs zutreffende Vorstellung verbindet. Meinethalben sei ein Punkt vorläufig ein feinster Nadelstich oder ein winziges Tüpfelchen, eine Linie sei ein Bleistiftstrich oder ein gespannter Zwirnfaden, eine Ebene die glatte Bodenfläche. ein Winkel das Gebilde, das aus den zwei Schneiden einer Schere und ihrer Drehungsachse entsteht. Das ist aber alles absichtlich noch höchst ungenau. Wir wollen uns in diesem Stadium unserer gemeinsamen Plauderei noch gar nicht festlegen. Zum Teil deshalb, weil allzu begriffliches Denken abschrecken würde, teils aus einem viel gewichtigeren Grunde: Wir wollen uns für unsere späteren Untersuchungen möglichst wenig binden. Wir werden nämlich sehen, daß starre Bindung in den Grundbegriffen uns beim Aufstieg in die höheren Bereiche der neuzeitlichen Geometrie ein kaum zu überwindendes Hindernis wäre.

Kehren wir aber zu unserem Entfernungsmesser zurück, von dem wir bisher nur verraten haben, daß er auf einem photographischen Stativ ruht. Wir wollen ihn jetzt im Bilde fix und fertig zeigen.

Hauptbestandteile unseres Gerätes sind zwei Stangen. Die eine ist starr mit der Unterlage verbunden und liegt genau horizontal, was durch ein freihängendes Lot mit Hilfe eines Zeichendreiecks jederzeit überprüft werden kann. Die zweite Stange ist um eine Achse beweglich und trägt wie ein Gewehr eine Visiervorrichtung, bestehend aus dem Visier G und dem Korn K. Statt dieser Visierstange könnte bei verfeinerter Ausführung mit großem Vorteil ein Fernrohr mit Fadenkreuz verwendet werden, wie es Jägern von den Zielfernrohren her bekannt ist. Nun ist aber noch ein wichtiger Bestandteil zu erörtern, nämlich das Verbindungsstück oder der Steg. Dieser Steg hat zwei Hülsen, von denen die obere die horizontale* Stange, die untere die Visierstange umgreift. Um nun die Entfernung zu messen, haben wir weiters “nichts zu tun, als mit der Visierstange möglichst genau auf den Gegenstand, in unserem Fall auf die Leuchtboje, zu zielen. Wegen des Steges kann ich die Visierstange nicht beliebig bewegen. Ich mache das in unserem Fall so, daß ich den Steg solange hin und her rücke, bis ich das Ziel, die Leuchtboje, haarscharf anvisiert habe. Dann habe ich nichts mehr zu tun, als abzulesen, bei welcher Entfernung sich der Mittelpunkt der Hülse auf der oberen Stange befindet. Nehmen wir an, wir hätten gefunden, diese Ablesung habe 12,4 ergeben. Wenn wir nun weiters diese 12,4 mit der Höhe des Standortes, von der wir hörten, sie sei 37,49 Meter, multiplizieren, dann erhalten wir als Entfernung der Boje

37,49 x 12,4 = 464,876, die Boje ist also etwa 465 Meter weit entfernt.

Unsere Freunde maßen das Ergebnis mit dem Zirkel auf der Landkarte nach, in der die Boje und das Gasthaus eingezeichnet waren, und fanden, daß sich eine gute Übereinstimmung dieser Beiden Messungen ergab! Der Entfernungsmesser des Thales von Milet beruhte also sicherlich auf einen richtigen und brauchbaren Prinzip. Dieses Prinzip jedoch werden wir nicht nur

Geometrisch gesprochen, sind zwei Dreiecke entstanden, wenn wir unsere Visierstange genau auf den Mittelpunkt der Boje gerichtet haben. Das „große“ Dreieck wird gebildet aus der Höhe h, die der Standort des Instrumentes über der Seefläche hat, aus der Visierlinie von der Achse bis zur Mitte der Boje und schließlich aus der Entfernung e. Das zweite „kleine“ Dreieck besteht aus dem Steg, aus der Visier-Stange von der Achse bis zum Steg und aus der Meßstange von der Achse bis zum Steg. Dabei ist, wie schon der erste Anblick lehrt, das kleine Dreieck ein verkleinertes getreues Abbild des großen Dreiecks, gleichsam sein Modell. In der Geometrie nennt man diese Eigenschaft von Figuren, diese formmäßige Abbildhaftigkeit ohne Übereinstimmung der Größe, die Ähnlichkeit. Also das große Dreieck ist dem kleinen „ähnlich“ und umgekehrt. Wenn aber Figuren einander ähnlich sind, dann müssen wohl alle Beziehungen zwischen den Stücken in beiden Figuren die gleichen sein. Hätte ich etwa ein genaues winziges Modell von einem Menschen angefertigt, dessen gesamte Körpergröße 7 Kopflängen beträgt, dann muß auch im Modell die Körpergröße siebenmal die länge betragen. Sonst wäre das Modell dem Original nicht „ähnlich“. Denn man kann ja die ganze Angelegenheit umkehren und behaupten: Wenn in zwei Figuren je zwei entsprechende Teile' durchgängig dieselben Verhältnisse zueinander aufweisen, dann sind die beiden Figuren einander ähnlich. Weiters wollen wir uns gleich den grundlegenden Folgesatz aus diesen Überlegungen merken, daß somit das Verhältnis zweier Dinge augenscheinlich vollkommen unabhängig von deren wirklicher (absoluter) Größe ist. Nebenbei bemerkt, kann ich diesen letzten Satz auch als perspektivischen Satz und als Voraussetzung richtigen Sehens bezeichnen. Wenn der Schlot einer Schnellzugslokomotive ein Zehntel der Höhe der Lokomotive beträgt, dann ist er ein Zehntel der Höhe auf 20 Meter Entfernung und ebenso auf 2 Kilometer Entfernung, wo mir die Lokomotive bereits ganz winzig erscheint.

Wir werden auf all dies noch genauestens zurückkommen. Vorläufig stellen wir fest, daß unsere beiden Dreiecke einander „ähnlich“ sind und daß sich daher die Begrenzungsgeraden (Seiten) der Dreiecke im großen Dreieck ebenso zueinander verhalten wie im kleinen. Wenn dem aber so ist, dann folgt daraus, daß sich etwa die Höhe h zur Entfernung e ebenso verhält wie der Steg zum Teil der Meßstange von der Achse bis zum Steg.

Nun mache ich einen Kunstgriff, den wir in ähnlicher Art in der Geometrie stets wieder antreffen werden. Ich setze nämlich die Höhe des Steges „gleich eins“. Ich könnte sie auch gleich 3 setzen. Oder gleich 254,937. Oder gleich irgendeiner Zahl. Aber es ist am praktischsten, sie „gleich eins“ zu setzen, da in dieser Setzung, das eigentliche Wesen des Messens beschlossen liegt. Messen heißt nämlich nichts anderes, als eine noch unbestimmte Größe in irgendeiner Beziehung mit der Einheit vergleichen. Dabei ist die Wahl der Einheit, frei. Henri Poincaré bemerkt geistreich, es wirke grotesk, wenn man behaupten wolle, das Messen in Metern sei „richtiger“ als das Messen in Zoll, Yards oder Ellen. Wenn man überhaupt von „richtig“ in diesem Zusammenhang sprechen darf, dann ist es „richtig“, in „Einheiten“ zu messen. Womit wir wieder auf den Satz zurückkommen, daß das Messen das Feststellen des Verhältnisses einer Größe zur Einheit ist.

Wenn wir also, wie ich hoffe, diese Voraussetzungen jetzt einigermaßen verstehen, dürfen wir einen Schritt weitergehen. Wir haben, »rein willkürlich oder verabredungsgemäß, oder wie man das sonst ausdrücken will, die Höhe des Steges als „Einheit“ gewählt. Es ist dann natürlich, daß wir unser neues Maß („Steglängen“) oben auf der Meßstange abtragen. Wie einen Meter- oder Zollstab, erhalten wir dadurch gleichsam einen „Steglängenstab“.

Nun verhält sich - das ist jetzt wohl kaum mehr näher zu erklären - der Steg zum Teil der Meßstange von der Achse bis zum Steg so wie eins zur Zahl, die wir auf der Meßstange ablesen können. In unserem Beispiel fanden wir 1 zu 12,4 Nun müssen sich im „ähnlichen“ großen Dreieck aber die entsprechenden Stücke (hier die „Seiten“) ebenso verhalten. Welche Seite entspricht nun dem Steg? Wohl die Höhe des Standortes h. Und welche Seite entspricht der Meßstange? Wohl die Entfernung e. Mit dieser Erkenntnis aber haben wir unsere Aufgabe gelöst. Denn jetzt sind wir imstande, eine sogenannte Proportion anzusetzen, deren Behandlung jedem Elementarschüler geläufig ist.

Diese Proportion lautet:

1 zu 12,4 wie h zu Entfernung, oder

1 : 12,4 = h : e.

Da aber weiters h gleich ist 37,49 Meter, dürfen wir auch schreiben

1 : 12,4 = 37,49 m : e.

Gesucht aber ist die Entfernung e. Dieses e ist, rein rechnerisch gesprochen, ein äußeres Glied der Proportion. Und man berechnet es, indem man die beiden inneren Glieder miteinander multipliziert und dieses Produkt durch das andere äußere Glied dividiert. Schon jetzt sieht der blicksichere Leser, wie praktisch es war, den Steg als-Einheit anzusetzen. Denn wir brauchen dadurch bei unserem Entfernungsmesser stets nur zu multiplizieren. Dividiert wird ja immer nur durch l und das heißt nichts anderes, als daß wir es bei der Multiplikation bewenden lassen können. Das Ergebnis, nämlich e = 464,876 m, haben wir schon oben festgelegt. Es bliebe nur noch zu erörtern, wieso ich berechtigt war, ohneweiters zwei verschiedene Maße (hier Meter und Steglängen) miteinander zu multiplizieren. Jeder weiß, daß es nicht angeht, fünf Äpfel mit sieben Birnen zu multiplizieren. Meter und Steglängen entsprechen aber mathematisch den Äpfeln und Birnen genau, denn es sind auch nichts anderes als „Benennungen“ von Zahlen. Jetzt sind wir plötzlich sehr verwirrt, obwohl wir anderseits an der Richtigkeit des Ergebnisses kaum zweifeln können. Wir verraten aber, daß die Angelegenheit nicht sehr schlimm steht. Denn wir haben ganz korrekt ein Maßsystem ins andere umgerechnet. Das war ja geradezu das Prinzip unseres Entfernungsmessers. Wenn wir unseren Fall anders ausdrücken, werden wir gleich beruhigt sein. Wir dürfen nämlich auch sagen, daß sich 37,419 Meter zu der uns noch unbekannten Meteranzahl der Entfernung e so verhalten, wie eine Steglänge zu 12,4 Steglängen. Daher müssen wir gleichsam für „eine Steglänge“ stets das neue Maß 37,49 Meter setzen, um die Proportion richtig zu erhalten. Die andere Seite, die der Meßstange entspricht ist aber 12,4 Steglängen lang oder sie enthält 12,4 Steglängen. Wenn aber nun eine Steglänge im neuen Maß der Länge von 37,49 Metern entspricht, dann entsprechen eben 12,4 Steglängen einer Länge von 12,4 mal 37,49 Metern. Das sogenannte „Maß“ ist ja das Verhältnis der jeweils gewählten Einheit zu der zu messenden Größe. Und daher - dies nur angedeutet - ist die Umrechnung eines Maßsystems ins andere nichts anderes als eine Behauptung oder Forderung, daß dieselbe Beziehung oder dasselbe Verhältnis im andren Maßsystem auch weiterbestehen möge. Allerdings ausgedrückt' in anderen Einheiten.

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