Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 153c

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Geschichte der Mathematik (Teil 53)

Wir haben mit dem Beispiel der Neunerprobe versucht, einen Schimmer zahlentheoretischer Herrlichkeit zu zeigen. Und dürfen jetzt wagen, das berühmte „quadratische Reziprozitatsgesetz“ Gaußens wenigstens anzudeuten, das einen der zahllosen Gipfelpunkte seiner Leistungen darstellt und ebenfalls in den „Disquisitiones arithmeticae“ enthalten ist. Es betrifft die sogenannten „quadratischen Reste“ und wurde von Gauß selbst wegen seiner ungeheuren Wichtigkeit für die gesamte Zahlentheorie als „Theorema aureum“ und „Theorema fundamentale“ bezeichnet.

In der Schreibung Legendres lautet es

$\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2}}}$

wobei $\textstyle ({\frac {p}{q}})=+1$ die Tatsache ausdrückt, daß q als Rest einer Quadratzahl nach dem Modul p auftreten kann.

$\textstyle ({\frac {p}{q}})=-1$ dagegen bedeutet, daß q kein Rest modulo p eines Quadrates ist. Außerdem ist für die Geltung des „Reziprozitätsgesetzes“ gefordert, daß p und q voneinander verschieden und ungerade Primzahlen sein müssen. Wir wollen dazu nur bemerken, daß mod 3 nur 1 als quadratischer Rest denkbar ist, mod 5 dagegen 1 und 4, mod 7 die Zahlen 1, 2, 4, nach dem Modul ll die Zahlen 1, 3, 4, 5, 9, usw., da die quadratischen Reste gleichsam eine Periode bilden, in der, symmetrisch angeordnet, stets wieder dieselben Reste auftreten.

Beginnt man mit $0^{2}$, dann lautet diese Periode für den Modul 7 etwa: 0, 1, 4, 2, 2, 4, 1, 0 und für den Modul 11 etwa: 0, 1, 4, 9, 5, 3, 3, 5, 9, 4, 1, 0. Es hätte also 5² modulo 7 den quadratischen Rest, da 25, durch 7 dividiert, den Rest 4 ergibt.

Und die Bedingung $c^{2}\equiv q(mod\;p)$ ist dann erfüllt, wenn, wie schon erwähnt, $\textstyle ({\frac {p}{q}})=+1$.

Wir wollen aber hierbei nicht langer verweilen und erwähnen nur, daß Gauß in einem zweiten Hauptwerk, der „Algebra“, den schon besprochenen Fundamentalsatz der Algebra bewies. Und zwar führte Gauß diesen Beweis mehrere Male in ganz verschiedener Art. Eine weitere seiner Großtaten war die Aufstellung der hypergeometrischen Reihe, deren Bedeutung darin liegt, daß diese Reihe zahlreiche andere Reihen als Spezialfälle in sich enthält. Sie hat das Bildungsgesetz:

$F(\alpha ,\beta ,\gamma ;x)=1+{\frac {\alpha \cdot \beta }{1\cdot \gamma }}x+$${\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma \cdot (\gamma +1)}}x^{2}+$${\frac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)\beta (\beta +1)(\beta +2)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \gamma \cdot (\gamma +1)(\gamma +2)}}x^{3}+\dotsc$,

würde also in einem konkreten Fall für $\alpha =2$, $\beta =5$ und $\gamma =3$ lauten:

$\textstyle F(2,5,3;x)=1+{\frac {10}{3}}x+{\frac {15}{2}}x^{2}+14x^{3}$

Aber auch hier dürfen wir nicht verweilen. Denn wir wissen, daß wir das Andenken Gaußens nur heben können, wenn wir uns dem Gebiete zuwenden, das er selbst bis ans Lebensende unveröffentlicht ließ. Und Wissen, daß sich kaum mehr ein „Böotier“ finden wird, der schreit, weil man von nichteuklidischen Geometrien spricht. Allerdings gibt es heute eine andere Sorte von Böotiern. Das sind nämlich die historisch und mathematisch Halbgebildeten, die glauben, die neueste Physik habe all diese Dinge erfunden, begonnen von der schon Newton sattsam geläufigen Relativität der Bewegung bis zu den Imaginärzahlen, den gekrümmten Räumen und den mehrdimensionalen Geometrien, bei denen die Anzahl der Dimension $d>3$. Damit soll der neuen Physik, die, das ganze neunzehnte Jahrhundert hindurch, die Mathematik gleichsam vorwärtspeitschte, um so weniger nahegetreten sein, als Gauß selbst oder Hamilton oder andere bahnbrechende Mathematiker ja selbst ungeheure Verdienste um die theoretische Physik haben oder selbst Physiker waren. Es ist gleichwohl ganz unzulässig, ohne genaueste Nachprüfung, meistens direkt im Widerspruch zu den eigenen Quellenangaben dieser neuesten Physiker, die Entdeckungsgeschichte in derart krasser Form zu vernebeln. Aber die großen Physiker sind für das Volk der Böotier neuerer Prägung nun einmal gleichsam die Schwergewichtsweltmeister der Wirklichkeit, und es mag besser sein, daß die Wahrheit irgendwie zur Diskussion gestellt, als daß sie überhaupt übersehen wird.

Daß Euklid dem Parallelenpostulat eine komplizierte Fassung gab, die wesentlich von der Formulierung der anderen Axiome abweicht, haben wir bereits erwähnt. Dem wachen mathematischen Sinn der alten Hellenen mußte diese Ungleichmäßigkeit irgendwie auffallen. Und sie ist tatsächlich mehr als einem einzigen Mathematiker der Antike aufgefallen. Wozu noch all die Verwirrung kam, die die Entdeckung der Asymptoten in das Problem trug, was wir auch bereits angedeutet haben. So setzten schon frühzeitig die Bemühungen der Forscher ein, in diese unklare Lage Ordnung zu bringen, und zwar zielten die Bemühungen nach zwei Richtungen. Man wollte einerseits das Parallelenpostulat auf eine vereinfachte Form bringen, um es den übrigen Grundsätzen anzugleichen; anderseits versuchte man, es zu beweisen, was nichts anderes heißt, als daß man es seines axiomatischen oder postulatorischen Charakters entkleiden wollte. Dazu noch eine kurze terminologische Klarstellung. Bei Euklid findet sich eine Trennung der Grundsätze, die geometrische Gebilde betreffen (Postulate), von den Aussagen über reine Größenbeziehungen (Axiome). Da, vom modernen Standpunkt aus gesehen, diese Unterscheidung keine Bedeutung hat, sondern für uns ein Axiom stets eine Behauptung oder Festsetzung ist, deren weiterer Beweis sich erübrigt, weil eben diese Grundsätze selbst die letzten Beweisinstanzen sind, werden wir von nun an sowohl die Postulate als die Axiome im engeren Sinn als Axiome schlechtweg bezeichnen; daher auch ruhig vom Parallelenaxiom sprechen. Also noch einmal: man wollte das Parallelenaxiom etwa in der Art des Proklos (410 bis 485 n. Chr. Geb.) vereinfachen, der es folgendermaßen formulierte: „Wenn $a$ eine Parallele zu $g$ durch den Punkt $P$ ist, so gibt es keine zweite von $a$ verschiedene Parallele zu $g$ durch diesen Punkt $P$.“ Oder man wollte es auf die übrigen Axiome zurückführen und es dadurch gleichsam zum abgeleiteten Lehrsatz degradieren. Dabei aber stellte es sich regelmäßig und mit unfehlbarer Sicherheit heraus, daß ein solcher „Beweis“ des Parallelenaxioms durch irgendeine Hintertür ein neues Axiom einschmuggelte, das über die anderen Axiome Euklids hinausging und sich schließlich als „äquivalent“ mit dem Parallelenaxiom entpuppte. So haben die Geometer M. Pasch und Baldus am Ende des neunzehnten bzw. am Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts gezeigt, daß man das Parallelenaxiom durch andere Grundsätze ersetzen kann, deren jeder geeignet ist, im Zusammenhalt mit den übrigen Axiomen Euklids eine Beweisgrundlage für das Parallelenaxiom zu liefern, das dann tatsächlich zu einem abgeleiteten Lehrsatz wird. Solche neue Ersatzaxiome sind etwa: „Die Winkelsumme im Dreieck beträgt stets zwei Rechte“, „Es gibt zwei ähnliche, nicht kongruente Dreiecke“, „Die auf derselben Seite einer Geraden von dieser gleich weit entfernten Punkte liegen selbst auf einer Geraden“ usw.

Wie wenig man sich aber trotzdem über alle diese Dinge im klaren war und welche Verwirrung herrschte, mag man daraus entnehmen, daß bis gegen Ende des neunzehnten Jahrhunderts in manchen Lehrbüchern der Geometrie ein „Beweis“ des Parallelenaxioms enthalten war, den der Verfasser selbst in seiner Kindheit vor Augen gehabt hat. Natürlich hat sich auch dieser „Beweis“ im Lichte der neuen Forschung als mit logischen Mängeln und versteckten Voraussetzungen behaftet herausgestellt und ist daher inzwischen überall ausgemerzt worden.

Wir wollen nur im Vorbeigehen erwähnen, daß sich griechische, arabische, italienische, deutsche, englische, französische und ungarische Gelehrte mit dem Parallelenaxiom beschäftigten, daß es mehr als 250 ernst zu nehmende Schriften gibt, die sich damit befassen und die uns bekannt sind, und daß man sich schließlich auf einen resignierten Standpunkt zurückzog und einige Warnungstafeln vor diesen Versuchen aufstellte. Es ist nämlich buchstäblich mehr als einmal vorgekommen, daß hochbegabte Mathematiker den Scharfsinn und die Arbeitskraft eines langen Lebens ans Rätsel der Parallelen vergeudeten und dieses vergeudete Leben schließlich in tiefster Verzweiflung beschlossen. Solch ein Schicksal widerfuhr etwa Gaußens Freund Wolfgang von Bolyai, den noch die weitere Tragik umhüllte, daß sein eigener Sohn Johann von Bolyai als einer der ersten das Rätsel löste, ohne daß es der Vater begriff oder anerkannte.

Nun sind wir aber verpflichtet, zur Chronologie zurückzukehren. Wir haben zu berichten, daß der geniale Jesuitenpater Gerolamo Saccheri, Professor der Grammatik, Philosophie, polemischen Theologie, Arithmetik, Algebra, Geometrie usw., der zuletzt an der Hochschule von Pavia wirkte, eine Schrift verfaßte, in der er, grob gesprochen, die Unrichtigkeit des Parallelenpostulates hypothetisch annahm und diese Annahme ad absurdum zu führen versuchte. Dieser apagogische Beweis glückte ihm verhältnismäßig leicht bei der „Hypothese des stumpfen Winkels“. Bei der „Hypothese des spitzen Winkels“ ließ Saccheri sich dagegen von Scheinbeweisen täuschen und schloß dann irrtümlicherweise, er habe Euklid von jedem Makel gereinigt. Die Schrift heißt in diesem Sinne auch „Euclides ab omni naevo vindicatus“. Wir wollen hierzu nur noch nachtragen, was man unter den oberwähnten Hypothesen versteht. Betrachtet man nämlich ein Viereck, bei dem auf der Basis AB die beiden angenommenermaßen gleichlangen Seiten AD und BC senkrecht stehen, so daß also die Basiswinkel $\alpha$ und $\beta$ kongruent und rechte Winkel sind, dann läßt sich, unabhängig vom Parallelenaxiom, bloß beweisen, daß die beiden verbleibenden Winkel $\gamma$ und $\delta$ einander gleich sind. Daß sie rechte Winkel sind, ist ohne das Parallelenaxiom unbeweisbar.