Im Zusammenhang mit dieser Kongruenz wollen wir als einfaches Beispiel einer zahlentheoretischen Untersuchung die sogenannte Neunerprobe analysieren, die man schon im alten Griechenland und Indien kannte und die gleichwohl alle Mathematiker stets höchst geheimnisvoll anmutete. Wir stellen fest, daß es ebenso eine Elferprobe gibt, wenn man im Zehnersystem bleibt. In einem nichtdekadischen Ziffernsystem mit der Basis gibt es demgemäß eine er- und eine er-Probe.
Wir hätten also irgendeine Zahl , die man umformen kann in
Der blau hervorgehobene Ausdruck ist der Rest.
Nun ist der braun hervorgehobene Ausdruck weiters gleich
und
wobei das die natürlichen Zahlen von 0, 1, 2, \dotsc bis durchläuft.
Aus obigen Beziehungen ergibt sich, daß , also der Wert des geklammert unterstrichenen Teils der beliebigen Zahl z, ein Vielfaches von , also von 9 sein muß.
ist dann der bei der Division durch 9 verbleibende Rest.
Dieses ist aber nichts anderes als die Ziffernsumme der Zahl z, da ja die aμ nichts anderes sind als die Koeffizienten der Zehnerpotenzen, also eben die Ziffern, aus denen sich die Zahl z zusammensetzt. Wir nennen diese Ziffernsumme jetzt und schreiben entweder
oder mit Gauß
,
weil ja sowohl die ganze Zahl z als deren Ziffernsumme, durch dividiert, denselben „Neunerrest“ ergeben müssen. Es gilt nämlich auch als Gewinnung eines „Restes“, wenn wir sagen:
„8 : 9 = 0, bleibt als Rest 8.“
Aus all dem ergibt sich, daß , wenn g die Grundzahl ist. Wir hätten nämlich, ohne daß sich etwas geändert hätte, unsere Ableitung mit Potenzen von g statt von 10, also unabhängig von einer konkreten Größe der Grundzahl des Systems, durchführen können.
Da nun weiters die Ziffernsumme einer Ziffernsumme wieder der ursprünglichen Ziffernsumme kongruent ist, so ist sie nach dem Prinzip der Transitivität auch der ursprünglichen Zahl kongruent. Aus dieser Transitivitat der Kongruenz ergibt sich folgendes Schema der Neunerprobe:
Addition und Subtraktion:
___________________________________
.
Multiplikation:
___________________________________
.
Division:
(r = Rest)
___________________________________
;
;
;
;
(Bei jeder „Kongruenz“ ist „mod (g - 1)“ hinzuzudenken. Oder mod 9, wenn man speziell die Neunerprobe im Auge hat.()
Zur Verdeutlichung geben wir für alle Spezies konkrete Beispiele:
Addition: (SS bedeutet die Ziffernsumme der Ziffernsumme)
![{\displaystyle S(a)\pm S(a)\equiv [a\pm b=c]\equiv S(c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47434ed489aab4a6b72e2eb75daadd98ef8937e0)
![{\displaystyle S(a)\cdot S(a)\equiv [a\cdot b=c]\equiv S(c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b93fe6a6ff758c2763c6bb9c4c571ebc1e4f348b)
