Matemáticas/Álgebra/Ecuaciones/Ecuaciones logarítmicas

Se define cómo cualquier ecuación que contenga un logaritmo y se resuelve usando las siguientes propiedades

$\log _{a}(x)=b$

Identidades

Con operaciones simples

Los logaritmos se utilizan generalmente para hacer más simples las operaciones. Por ejemplo, se pueden multiplicar dos números utilizando una tabla de logaritmos y sumando.

$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\!\,$	porque	$b^{x}\cdot b^{y}=b^{y+x}$
$\log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\frac {x}{y}}\end{matrix}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$	porque	${\begin{matrix}{\frac {b^{x}}{b^{y}}}\end{matrix}}=b^{x-y}$
$\log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)\!\,$	porque	$(b^{n})^{y}=b^{ny}\!\,$
$\log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\frac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}$	porque	${\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}$

Cancelación de exponentes

Los logaritmos y exponenciales (antilogaritmos) con la misma base se cancelan.

$b^{\log _{b}(x)}=x$	porque	$\mathrm {antilog} _{b}(\log _{b}(x))=x\!\,$
$\log _{b}(b^{x})=x\!\,$	porque	$\log _{b}(\mathrm {antilog} _{b}(x))=x\!\,$

Cambio de base

$\log _{a}b={\log _{c}b \over \log _{c}a}$

Esta identidad se requiere para evaluar logaritmos con calculadoras. La mayoría de las calculadoras sólo pueden procesar ln y log₁₀, pero no por ejemplo log₂. Para encontrar log₂(3), basta calcular log₁₀(3) / log₁₀(2) (ó bien ln(3)/ln(2), que da idéntico resultado).

Demostración: A partir de un logaritmo tal que:

$y=\log _{a}b\rightarrow a^{y}=b$

Tomando $\log _{c}$ en ambos lados de la segunda ecuación:

$\log _{c}a^{y}=\log _{c}b\,$

Se despeja $y$:

$y\log _{c}a=\log _{c}b\,$

$y={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}\,$

Finalmente, como $y=\log _{a}b$:

$\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}$

Consecuencias

Esta fórmula tiene varias consecuencias:

$\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}$

$\log _{a^{n}}b={\frac {1}{n}}\log _{a}b$

$a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}$

Identidades triviales

$\log _{b}1=0\!\,$	porque	$b^{0}=1\!\,$
$\log _{b}b=1\!\,$	porque	$b^{1}=b\!\,$