Álgebra/Análisis numérico/Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales/Método de Gauss-Seidel

Definición

Al igual que el Método de Jacobi, El Método de Gauss-Seidel consiste en hacer iteraciones, a partir de un vector inicial, para encontrar los valores de las incógnitas hasta llegar a una tolerancia deseada, la diferencia radica en que cada vez que se desee encontrar un nuevo valor de una xi, además de usar los valores anteriores de las x, también utiliza valores actuales de las x encontradas antes (desde x0 hasta xi-1).

La ecuación es la siguiente:

x_i^{(k)} = \left( {b_i - \sum\limits_{j = 1}^{i - 1} {a_{ij} x_j^k } - \sum\limits_{j = i + 1}^n {a_{ij} x_j^{(k - 1)} } } \right)/a_{ij}

Este proceso de usar valores actuales para hallar un valor de x puede facilitar la convergencia del mismo.

Convergencia del método:

Para determinar si el método de Gauss-Seidel converge hacia una solución. Se evalúan las siguientes condiciones de convergencia (Nota: las siguientes van en un órden de modo que si se cumple una de las condiciones, comenzando por la primera por supuesto, la evaluación de las siguientes no es necesario realizarlas):

La matriz sea estrictamente dominante diagonalmente por filas (E.D.D. por filas), es decir, para todo i desde 1 hasta n que es el tamaño de la matriz A: \left| {a_{ii} } \right| \ge \sum\limits_{j = 1}^{i - 1} {\left| {a_{ij} } \right|} + \sum\limits_{j = i + 1}^n {\left| {a_{ij} } \right|}

Es decir, el elemento de la diagonal correspondiente a la fila i debe ser mayor a la suma de los elementos de esa fila i.

A partir de la siguiente identidad: A = D - L - U

Donde D corresponde a la matriz formada por los elementos de la diagonal de A (D=diag(a11, a22, ..., ann)), -L corresponde a la matriz triangular inferior obtenida de la parte triangular estrictamente inferior de A, y -U corresponde a la matriz triangular superior obtenida de la parte triangular estrictamente superior de A, se puede deducir la fórmula vectorial de este método:

X^k = (D - L)^{ - 1} UX^{(k - 1)} + (D - L)^{ - 1} b, k = 1, 2, ...

De donde BG (conocida como la matriz de iteración de Gauss-Seidel) es (D-L)-1U. Para que el método de Jacobi converja hacia una solución,

\left\| {B_G } \right\|_{norma} < 1, para una norma matricial inducida.

ρ(BG), que corresponde al máximo de los valores absolutos de las raíces de la ecuación característica de la matriz BG (det(BG - λI)) es menor que 1.