Álgebra/Álgebra abstracta/ Grupos/Acciones de grupo

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En esta sección obtendremos algunas relaciones numéricas que nos serán muy útiles en la sección siguiente, donde investigaremos la existencia de ciertos subgrupos de grupos finitos. Estas relaciones se expresan en términos de los conceptos siguientes.

Definición. Una acción de un grupo en un conjunto es una aplicación , que denotaremos por , tal que para todo

  1. ;
  2. para cualesquiera .

Si es una acción del grupo en el conjunto , decimos también que actúa sobre por medio de . Si , la órbita de es el conjunto

y el estabilizador de en es el conjunto

Si es un grupo que actúa sobre un conjunto , notemos lo siguiente:

  1. el estabilizador de un es un subgrupo de , y
  2. la relación sobre dada por si y sólo si es de equivalencia.

Verificar la afirmación de primer apartado se deja como ejercicio al lector. Para demostrar el segundo apartado, supongamos que . Por el apartado 1 de la definición anterior, tenemos y por tanto , así que es reflexiva; si , entonces , luego y es simétrica; si y entonces con , luego y implica y con esto es transitiva. Por tanto, es una relación de equivalencia, y así ésta induce una partición de en clases de equivalencia, siendo éstas las órbitas de los elementos de .


Es más fácil comprender una acción de grupo si vemos que al fijar un , éste determina, a través de la acción de grupo, una aplicación dada por . La acción de grupo está completamente determinada por estas aplicaciones . Notemos que la propiedad 2 de la definición de acción de grupo nos dice que para cualesquiera , y con esto comprobamos de forma inmediata que cada es una biyección, pues su inversa es

,

donde es la aplicación identidad sobre por la propiedad 1 de la definición de acción de grupo. Lo que esto demuestra es que toda acción de grupo determina una aplicación que hace corresponder a cada el elemento . Más aún, es inmediato que es un homomorfismo de grupos. Recíprocamente, si tenemos un homomorfismo , el lector puede verificar que las aplicaciones por determinan una acción de grupo. Por lo tanto, una acción del grupo sobre el conjunto no es sino otra forma de ver a los homomorfismos entre y el grupo simétrico .

Ahora veamos los ejemplos de acciones de grupo que nos resultarán de utilidad.

Por supuesto, todo grupo actúa sobre sí mismo por traslación: en esta caso definimos por para todo , donde es simplemente el producto de y en , que podemos llamar una "traslación" (izquierda) de por . La órbita de cualquier es el grupo completo , pues todo es de la forma . El estabilizador de cualquier es el subgrupo trivial de , pues es el único que cumple . Ahora bien, el homomorfismo que esta acción determina es inyectivo, pues si y sólo si para todo , y al elegir tenemos que , por lo que el núcleo de es trivial y por tanto es un monomorfismo. Por lo tanto, es un isomorfismo, y hemos demostrado el

Teorema 1 (Cayley): Todo grupo es isomorfo a un subgrupo de , donde .


Un grupo también actúa sobre sí mismo por medio de automorfismo internos: tomamos cada como el automorfismo interno dado por . Vamos a verificar que se cumplen la propiedades 1 y 2 de la definición de acción de grupo: por supuesto para todo , y para cualesquiera tenemos para todo . Esto comprueba que los automorfismos internos determinan una acción de grupo. Cuando actúa sobre sí mismo de esta manera, se dice también que lo hace por conjugación, y la órbita de un se representa por

y se llama clase de conjugación de en , mientras que el estabilizador de se llama centralizador de en y lo representaremos por

.

El centralizador es, pues, el conjunto de todos los elementos de que conmutan con . Como toda acción de grupo, la acción por conjugación determina un homomorfismo , y su núcleo es

,

al que llamaremos centro de y lo representaremos . El centro de no es más que el subgrupo de formado por los elementos de que conmutan con cualquier elemento de . Notemos que si y sólo si , o puesto de otro modo, si y sólo si .


Veamos ahora una relación muy importante entre órbitas y estabilizadores en general.

Teorema 2: Si un grupo actúa sobre un conjunto , entonces para todo

Demostración: Considérese dada por . Puesto que

,

tenemos que es tanto bien definida como inyectiva. Por definición de órbita es sobreyectiva, y por tanto biyectiva, así que .

Corolario 3 (Ecuación de clases): Si es un grupo finito, entonces

donde la suma corre sobre las clases de conjugación de más de un elemento.