Distribuciones de probabilidad

Variables aleatorias y funciones de distribución

Toda función o regla que asigna un número a cada suceso elemental de un experimento aleatorio se denomina variable aleatoria.

Una función de probabilidad es toda regla que permita asociar a cada valor de la variable aleatoria su probabilidad. Por tanto hay un valor de probabilidad por cada valor distinto:

$p_{i}=P(X=x_{i})$

Una función de distribución viene dada por:

$F(t)=P(X\leq t)$

Una función de distribución no es más que la traducción de las frecuencias relativas acumuladas.

En el caso de variables continuas, o de variables discretas que se traten como continuas, se habla de función de densidad f(x), que tiene las siguientes características.

La función es mayor o igual a cero para cualquier valor de la variable.
El área total comprendida entre la función y el eje de abcisas es 1.
La probabilidad de que se obtenga un valor entre los valores a y b con a < b, es decir $P(a\leq X\leq b)$ viene dada por el área comprendida por la función, el eje de abcisas, y dos rectas verticales x=a y x=b.

Un elemento interesante de estas funciones es que la P(X=a) según una función de densidad es cero, ya que la probabilidad se determina por áreas.

Media y varianza de variables aleatorias

La media poblacional (esperanza matemática) puede calcularse a partir de las frecuencias relativas. Considerando que la probabilidad es la frecuencia relativa (ley del azar), tendríamos lo siguiente:

$\mu =E(X)=\sum x_{i}\cdot h_{i}=\sigma x_{i}\cdot p_{i}$

De igual modo la varianza (y por tanto la desviación típica) puede expresarse en función de probabilidades:

$\sigma ^{2}=\sum (x_{i}-\mu )^{2}\cdot p_{i}$

Distribuciones discretas: Distribución de Bernouilli

Existen experimentos en los que solo hay dos resultados posibles, es decir, el espacio muestral tiene solo dos sucesos elementales, que pueden representarse como {0,1}. En una distribución de Bernouilli, P(X=1)=p y P(X=0)=1-p =q. P es la proporción poblacional de éxitos.

La media de una de estas distribuciones se calcula es p y la desviación típica $\sigma ={\sqrt {(}}p\cdot q)$ .

Distribuciones discretas: Distribución binomial

Un experimento binomial es la repetición de forma independiente de un ensayo de Bernouilli. Se realizan n pruebas independientes cuyo resultado solo puede ser éxito (A) o fracaso ( ${\bar {A}}$ ).

Como los ensayos son independientes, la probabilidad de éxito y fracaso son constantes, p y q.

La variable aleatoria que cuenta el número de éxitos en los n ensayos se llama Binomial de parámetro n y p, denotada por B(n, p).

La media de una distribución B(n, p) es $n\cdot p$ y la desviación típica es ${\sqrt {n\cdot p\cdot q}}$

Distribuciones discretas: Distribución de Poisson

Una variable que tome valores {0, 1, 2, 3, ...} se dice que sigue una distribución de Poisson de parámetro $\lambda$ si sigue esta distribución:

$P(X=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot e^{-\lambda }$

La media y la varianza de esta distribución coinciden, y ambas son $\lambda$ .

Distribuciones continuas: Distribución normal

Una variable aleatoria Normal $N(\mu ,\sigma )$ sigue las siguientes propiedades en su función de distribución:

La media, mediana y moda coinciden entre sí, en el valor $\mu$ .
La desviación típica es $\sigma$
La curva es simétrica con respecto a la recta vertical $x=\mu$

La función de densidad de una variable Normal con parámetros N(0, 1) - denominada normal estándar - es la siguiente:

$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}exp(-{\frac {x^{2}}{2}})$