Trigonometría/Tabla trigonométrica

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Trigonometria 02.svg

El uso de la trigonometría en los cálculos de geometría exige el poder calcular sus variables con cierta precisión, una forma de hacer estos cálculos es mediante el uso de la tabla trigonométrica o tabla de senos, estas tablas son una herramienta sencilla y de uso muy general.

Veamos una tabla trigonométrica y su modo de uso, para el calculo de las funciones trigonométricas.

La tabla[editar]

Esta tabla de doble entrada determina el seno de un ángulo, dado en grados sexagesimales, desde 0 a 45 grados, a intervalos de 0,1 grado o 6 minutos de grado, según se puede ver en las dos filas superiores, en la primera como el primer decimal, y en la segunda como minutos de grado.

En la columna de la izquierda vienen los grados, en la fila superior las fracciones de grado en intervalos de 0,1 de grado, o en minutos a intervalos de 6 minutos, de grado sexagesimales, donde se cruzan la fila y columna correspondientes podemos encontrar el valor del seno del ángulo, expresado con seis cifras decimales, separadas de tres en tres por un espacio en blanco, para facilitar la lectura.

Tabla trigonométrica
Sin(x) 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
g\m 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54
0 0,000 000 0,001 745 0,003 491 0,005 236 0,006 981 0,008 727 0,010 472 0,012 217 0,013 962 0,015 707
1 0,017 452 0,019 197 0,020 942 0,022 687 0,024 432 0,026 177 0,027 922 0,029 666 0,031 411 0,033 155
2 0,034 899 0,036 644 0,038 388 0,040 132 0,041 876 0,043 619 0,045 363 0,047 106 0,048 850 0,050 593
3 0,052 336 0,054 079 0,055 822 0,057 564 0,059 306 0,061 049 0,062 791 0,064 532 0,066 274 0,068 015
4 0,069 756 0,071 497 0,073 238 0,074 979 0,076 719 0,078 459 0,080 199 0,081 939 0,083 678 0,085 417
5 0,087 156 0,088 894 0,090 633 0,092 371 0,094 108 0,095 846 0,097 583 0,099 320 0,101 056 0,102 793
6 0,104 528 0,106 264 0,107 999 0,109 734 0,111 469 0,113 203 0,114 937 0,116 671 0,118 404 0,120 137
7 0,121 869 0,123 601 0,125 333 0,127 065 0,128 796 0,130 526 0,132 256 0,133 986 0,135 716 0,137 445
8 0,139 173 0,140 901 0,142 629 0,144 356 0,146 083 0,147 809 0,149 535 0,151 261 0,152 986 0,154 710
9 0,156 434 0,158 158 0,159 881 0,161 604 0,163 326 0,165 048 0,166 769 0,168 489 0,170 209 0,171 929
10 0,173 648 0,175 367 0,177 085 0,178 802 0,180 519 0,182 236 0,183 951 0,185 667 0,187 381 0,189 095
11 0,190 809 0,192 522 0,194 234 0,195 946 0,197 657 0,199 368 0,201 078 0,202 787 0,204 496 0,206 204
12 0,207 912 0,209 619 0,211 325 0,213 030 0,214 735 0,216 440 0,218 143 0,219 846 0,221 548 0,223 250
13 0,224 951 0,226 651 0,228 351 0,230 050 0,231 748 0,233 445 0,235 142 0,236 838 0,238 533 0,240 228
14 0,241 922 0,243 615 0,245 307 0,246 999 0,248 690 0,250 380 0,252 069 0,253 758 0,255 446 0,257 133
15 0,258 819 0,260 505 0,262 189 0,263 873 0,265 556 0,267 238 0,268 920 0,270 600 0,272 280 0,273 959
16 0,275 637 0,277 315 0,278 991 0,280 667 0,282 341 0,284 015 0,285 688 0,287 361 0,289 032 0,290 702
17 0,292 372 0,294 040 0,295 708 0,297 375 0,299 041 0,300 706 0,302 370 0,304 033 0,305 695 0,307 357
18 0,309 017 0,310 676 0,312 335 0,313 992 0,315 649 0,317 305 0,318 959 0,320 613 0,322 266 0,323 917
19 0,325 568 0,327 218 0,328 867 0,330 514 0,332 161 0,333 807 0,335 452 0,337 095 0,338 738 0,340 380
20 0,342 020 0,343 660 0,345 298 0,346 936 0,348 572 0,350 207 0,351 842 0,353 475 0,355 107 0,356 738
21 0,358 368 0,359 997 0,361 625 0,363 251 0,364 877 0,366 501 0,368 125 0,369 747 0,371 368 0,372 988
22 0,374 607 0,376 224 0,377 841 0,379 456 0,381 070 0,382 683 0,384 295 0,385 906 0,387 516 0,389 124
23 0,390 731 0,392 337 0,393 942 0,395 546 0,397 148 0,398 749 0,400 349 0,401 948 0,403 545 0,405 142
24 0,406 737 0,408 330 0,409 923 0,411 514 0,413 104 0,414 693 0,416 281 0,417 867 0,419 452 0,421 036
25 0,422 618 0,424 199 0,425 779 0,427 358 0,428 935 0,430 511 0,432 086 0,433 659 0,435 231 0,436 802
26 0,438 371 0,439 939 0,441 506 0,443 071 0,444 635 0,446 198 0,447 759 0,449 319 0,450 878 0,452 435
27 0,453 990 0,455 545 0,457 098 0,458 650 0,460 200 0,461 749 0,463 296 0,464 842 0,466 387 0,467 930
28 0,469 472 0,471 012 0,472 551 0,474 088 0,475 624 0,477 159 0,478 692 0,480 223 0,481 754 0,483 282
29 0,484 810 0,486 335 0,487 860 0,489 382 0,490 904 0,492 424 0,493 942 0,495 459 0,496 974 0,498 488
30 0,500 000 0,501 511 0,503 020 0,504 528 0,506 034 0,507 538 0,509 041 0,510 543 0,512 043 0,513 541
31 0,515 038 0,516 533 0,518 027 0,519 519 0,521 010 0,522 499 0,523 986 0,525 472 0,526 956 0,528 438
32 0,529 919 0,531 399 0,532 876 0,534 352 0,535 827 0,537 300 0,538 771 0,540 240 0,541 708 0,543 174
33 0,544 639 0,546 102 0,547 563 0,549 023 0,550 481 0,551 937 0,553 392 0,554 844 0,556 296 0,557 745
34 0,559 193 0,560 639 0,562 083 0,563 526 0,564 967 0,566 406 0,567 844 0,569 280 0,570 714 0,572 146
35 0,573 576 0,575 005 0,576 432 0,577 858 0,579 281 0,580 703 0,582 123 0,583 541 0,584 958 0,586 372
36 0,587 785 0,589 196 0,590 606 0,592 013 0,593 419 0,594 823 0,596 225 0,597 625 0,599 024 0,600 420
37 0,601 815 0,603 208 0,604 599 0,605 988 0,607 376 0,608 761 0,610 145 0,611 527 0,612 907 0,614 285
38 0,615 661 0,617 036 0,618 408 0,619 779 0,621 148 0,622 515 0,623 880 0,625 243 0,626 604 0,627 963
39 0,629 320 0,630 676 0,632 029 0,633 381 0,634 731 0,636 078 0,637 424 0,638 768 0,640 110 0,641 450
40 0,642 788 0,644 124 0,645 458 0,646 790 0,648 120 0,649 448 0,650 774 0,652 098 0,653 421 0,654 741
41 0,656 059 0,657 375 0,658 689 0,660 002 0,661 312 0,662 620 0,663 926 0,665 230 0,666 532 0,667 833
42 0,669 131 0,670 427 0,671 721 0,673 013 0,674 302 0,675 590 0,676 876 0,678 160 0,679 441 0,680 721
43 0,681 998 0,683 274 0,684 547 0,685 818 0,687 088 0,688 355 0,689 620 0,690 882 0,692 143 0,693 402
44 0,694 658 0,695 913 0,697 165 0,698 415 0,699 663 0,700 909 0,702 153 0,703 395 0,704 634 0,705 872
45 0,707 107 0,708 340 0,709 571 0,710 799 0,712 026 0,713 250 0,714 473 0,715 693 0,716 911 0,718 126

Ejemplo: cual es el seno de 5,4 grados, o lo que es lo mismo el seno de 5°24′:

en la fila del cinco, y la columna del 0,4 tenemos:

 \sin(5,4) = 0,094 108 \,

Para otros valores[editar]

En la tabla podemos encontrar el seno de un ángulo comprendido entre 0 y 45 grados, naturalmente podría confeccionarse una tabla hasta 90 grados, pero esto no es necesario, porque como vamos a ver se puede determinar los valores para ángulos superiores a 45, así como el valor del coseno y de la tangente

Partiendo de un triángulo ABC, rectángulo en C, podemos ver las siguientes relaciones:

Trigonometria 01.svg

Según la definición de las funciones seno y coseno:

 [1] \; \operatorname {sen} \; \alpha = \cos \beta = \frac{a}{c}
 [2] \; \cos \alpha = \operatorname {sen} \; \beta = \frac{b}{c}

por el Teorema de Pitágoras:

 [3] \; c^2 = a^2 + b^2 \,

y al ser ángulos complementarios:

 [4] \; \alpha + \beta = 90^o \,

Con esta cuatro relaciones y la tabla anterior podemos determinar los valores de las funciones.

sin(α): y 45 < α < 90[editar]

Partiendo de la relación [3]:

 c^2 = a^2 + b^2 \,

y dividiendo por c al cuadrado, tenemos:

 \frac{c^2}{c^2} = \frac{a^2}{c^2}  + \frac{b^2}{c^2}  \,

esto es:

 1 = {\Bigg( \frac{a}{c}\Bigg)}^2  + {\Bigg( \frac{b}{c}\Bigg)}^2  \,

sustituyendo de [1] y [2]:

 1 = \sin^2 (\alpha) + \sin^2 (\beta) \,

sustituyendo de [4], tenemos:

 1 = \sin^2 (\alpha) + \sin^2 (90 - \alpha) \,

ordenando términos:

 \sin^2 (\alpha) = 1 - \sin^2 (90 - \alpha) \,

y por fin:

 \sin (\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2 (90 - \alpha)} \,

con lo que partiendo de un  \alpha comprendido entre 45 y 90 grados su seno es la raíz cuadrada de 1 menos el cuadrado del seno de 90 menos  \alpha , donde  (90 - \alpha) se puede buscar en la tabla.

Ejemplo[editar]

Cual es el seno de 50,6°.

Como 50,6° es mayor de 45°, aplicamos la expresión:

 \sin (\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2 (90 - \alpha)} \,

con  \alpha = 50,6

 \sin (50,6) = \sqrt{1 - \sin^2 (90 - 50,6)} \,

operando:

 \sin (50,6) = \sqrt{1 - \sin^2 (39,4)} \,

en la tabla tenemos el valor del seno:

 \sin (39,4) = 0,634 731 \,

para sustituir en la ecuación:

 \sin (50,6) = \sqrt{1 - (0,634 731) ^2} \,

operando y haciendo los cálculos tenemos, por fin:

 \sin (50,6) = 0,772 733 \,

cos(α): y 0 < α < 45[editar]

Como en el caso anterior partiendo de la relación [3]:

 c^2 = a^2 + b^2 \,

y dividiendo por c al cuadrado:

 \frac{c^2}{c^2} = \frac{a^2}{c^2}  + \frac{b^2}{c^2}  \,

que resulta:

 1 = {\Bigg( \frac{a}{c} \Bigg)}^2 + {\Bigg(\frac{b}{c} \Bigg)} ^2 \,

sustituyendo de [1] y de [2] el coseno:

 1 = \sin^2 (\alpha) + \cos^2 (\alpha) \,

ordenando términos:

 \cos^2 (\alpha) = 1 - \sin^2 (\alpha) \,

que da por resultado:

 \cos (\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2 (\alpha) }\,

pudiéndose calcular  \cos(\alpha) para un  \alpha comprendido entre 0 y 45 grados, a partir de  \sin(\alpha) que encontramos en la tabla.

Ejemplo[editar]

Cual es el coseno de 12°24′, esto es:

 \cos(12,4) \,

según lo anterior:

 \cos (\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2 (\alpha) }\,

que en este caso:

 \cos (12,4) = \sqrt{1 - \sin^2 (12,4) }\,

buscando en la tabla, tenemos el valor del seno:

 \sin (12,4) = 0,214 735 \,

sustituyendo el valor del seno en la expresión:

 \cos (12,4) = \sqrt{1 - (0,214 735)^2 }\,

realizando las operaciones, da como resultado:

 \cos (12,4) = 0,976 672 \,

que es el valor del coseno buscado.

cos(α): y 45 < α < 90[editar]

Este caso es muy sencillo, partimos de las relaciones [2] y [4]:

 [2] \; \cos(\alpha) = \sin(\beta) = \frac{b}{c}
 [4] \; \alpha + \beta = 90^o \,

y sustituyendo:  \beta en [2] tenemos que:

 \cos(\alpha) = \sin(90 - \alpha) \,

con lo que obtenemos el coseno de un ángulo comprendido entre 45 y 90°, partiendo de la tabla de senos.

Ejemplo[editar]

Cual es el coseno de 75°.

Según la expresión anterior:

 \cos(75) = \sin(90 - 75) \,

esto es:

 \cos(75) = \sin(15) \,

buscando en la tabla tenemos que:

 \cos(75) = \sin(15) = 0,258 819 \,

que es la solución al problema planteado.

tan(α): y 0 < α < 45[editar]

Para el calculo de la tangente usaremos la expresión:

 \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha) }{\cos(\alpha) }

empleando las deducciones del seno y el coseno hecho ya en las secciones anteriores, para un ángulo comprendido entre 0 y 45° tendremos que:

 \tan(\alpha) = \frac{ \sin(\alpha) }{\sqrt{ 1 - \sin^2 (\alpha) } }

Ejemplo[editar]

Cual es la tangente de 32,1°.

Según lo anterior, tenemos:

 \tan(32,1) = \frac{ \sin(32,1) }{\sqrt{ 1 - \sin^2 (32,1) } }

Mirando en la tabla el valor del seno, tenemos que:

 \sin (32,1) = 0,531 399 \,

que sustituyéndolo en la expresión tenemos:

 \tan(32,1) = \frac{ 0,531 399 }{\sqrt{ 1 - (0,531 399 ) ^2 } }

operando:

 \tan(32,1) = \frac{ 0,531 399 }{0,847 122}

que por fin da:

 \tan(32,1) = 0,627 299 \,

tan(α): y 45 < α < 90[editar]

Del mismo modo podemos determinar la tangente de un ángulo comprendido entre 45 y 90°:

 \tan (\alpha) = \frac{ \sqrt{1 - \sin^2 (90 - \alpha)}}{ \sin(90 - \alpha)}

ampliando la raíz al denominador:

 \tan (\alpha) = \sqrt{\frac{ 1 - \sin^2 (90 - \alpha)}{ \sin^2(90 - \alpha)}}

descomponiendo la fracción:

 \tan (\alpha) = \sqrt{\frac{1}{\sin^2(90 - \alpha)} - \frac{\sin^2 (90 - \alpha)}{ \sin^2(90 - \alpha)}}

simplificando tenemos:

 \tan (\alpha) = \sqrt{\frac{ 1}{ \sin^2(90 - \alpha)} - 1}

esta expresión, nos permite calcular la tangente partiendo de la tabla de senos.

Ejemplo[editar]

Cuanto vale la tangente de 53°

Al ser la tangente de un ángulo comprendido entre 45 y 90°, tenemos que:

 \tan (53) = \sqrt{\frac{ 1}{ \sin^2(90 - 53)} - 1}

operando:

 \tan (53) = \sqrt{\frac{ 1}{ \sin^2(37)} - 1}

de la tabla sacamos:

 \sin(37) = 0,601 815 \,

sustituyendo este valor:

 \tan (53) = \sqrt{\frac{ 1}{(0,601 815)^2} - 1}

operando:

 \tan (53) = \sqrt{2,761 048 - 1}

esto es:

 \tan (53) = \sqrt{1,761 048}

y por fin, realizando la raíz, tenemos:

 \tan (53) = 1,327 045 \,

que es el valor solicitado.

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