Transwiki:Calculo diferencial solucionario:Parciales

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Contenido

[editar] Presentación

En este lugar encontrará los ejercicios que han sido utilizados en los diferentes parciales. Tras el planteamiendo de cada punto y su valor se describen los pasos generales involucrados en la resolución del mismo y el peso de dichos pasos dentro del procedimiento general a fin de aclarar la importancia de ellos en encontrar la solución.

[editar] Tercer Parcial (Julio 8 de 2004)

[editar] Primer Punto

El \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{1}-1} es: (valor 10 pts)

a. 0

b. 1

c. 3/2

d. 2/3

e. No existe

Pasos para la solución y peso de cada uno

  • Evaluar directamente y encontrar que es indeterminado (2 pts)
  • Racionarlizar y Factorizar una diferencia de cuadrados (2 pts)
  • Multiplicar y factorizar una diferencia de cubos (4 pts)
  • Calcular el límite despues de haber hecho las dos factorizaciones (2 pts)

[editar] Segundo Punto

Las asintotas verticales y horizontales de y = \frac{x^2 + 2x - 8}{x^2 - 4} son: (Valor 10 pts) Pasos para la solución y peso de cada uno

  • Para las asíntotas verticales:
    • Encontrar los valores en que el límite de la función tiende a infinito. (En este caso, determinar las raíces del denominador). (2 pts)
    • Evaluar el límite en cada raíz, para determinar dónde se puede factorizar y cálcular y dónde efectivamente es infinito. (4 pts)
  • Para las asíntotas horizontales:
    • Evaluar el límite al infinito de la función (4 pts).

[editar] Tercer Punto

Dibuje la función f que satisfaga las siguientes condiciones (Valor 15 pts)

\lim_{x \to 0^+} f(x) = -2 \lim_{x \to 0^-} f(x) = 1 \lim_{x \to 2^-} f(x) = \infty \lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty \lim_{x \to \infty} f(x) = 3 \lim_{x \to -\infty} f(x) = 4

Pasos para la solución y peso de cada uno

  • A partir de los límites infinitos y al infinito dibujar las asíntotas (3 pts)
  • Usando los límites a izquierda y derecha de cero determinar saltos y "huecos" en cero (4 pts).
  • Dibujar la función que "tienda" hacia las asintotas y satisfaga las condiciones de acercarse a los huecos (8 pts).

[editar] Cuarto Punto

Para qué valores de a y b, f es continua en todos los reales (Valor 15 pts).

f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1 - Cos{x}}{x}, & \mbox{si} & x < 0 \\ x^2 + a x + b, & \mbox{si} & 0 \le x \ge 2\\ \frac{a x}{x + 1}, & \mbox{si} & x > 2\end{matrix}\right.

  • Hallar los límites a izquierda y derecha en el punto x=0 (3 pts)
  • Hallar los límites a izquierda y derecha en el punto x=2 (3 pts)
  • Comparar las ecuaciones objenidas igualando límites y despejar a y b (3 pts)
  • Justificar el por qué de la evaluación del límite de 1-Cos(x)/x, cuando x tiende a 0 (4 pts).
  • Justificar el por qué de la evaluación del límite del polinomio (1 pto).
  • Justificar el por qué de la evaluación del límite del cociente (1 pto).
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