Matemáticas/Matrices/Multiplicación de matrices

Producto de una matriz fila por una matriz columna

Sean A una matriz con una fila y n columnas y B una matriz con n filas y una columna.

Sean $A\in\mathcal{M}_{1\times 3}(\mathbb{R})$ y $B\in\mathcal{M}_{3\times 1}(\mathbb{R})$

$\begin{bmatrix} -1 & 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 7 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1(4)+3(7)+5(2) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 + 21 + 10 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 27 \\ \end{bmatrix}$

Hay que hacer notar que para poder multiplicar A y B debe suceder que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B.

El producto de las matrices A y B (A×B) es otra matriz con una fila y una columna cuyo único elemento es: c = a1×b1 + a2×b2 + ... + an×bn.

$A . B = C =\sum^{n}_{i = 1} a_i. b_i$

Dónde la matriz producto es como habíamos establecido en la definición: una matriz $C\in\mathcal{M}_{1\times 1}(\mathbb{R})$. O sea una matríz de un sólo elemento, el valor 27.

Producto en General

Diagrama esquemático que ilustra el producto de dos matrices $A\,\!$ y $B\,\!$ dando como resultado la matriz $AB\,\!$.

El producto de matrices se define de una manera muy peculiar y hasta caprichosa cuando no se conoce su origen. El origen proviene del papel de las matrices como representaciones de aplicaciones lineales. Así el producto de matrices, como se define, proviene de la composición de aplicaciones lineales. En este contexto, el tamaño de la matriz corresponde con las dimensiones de los espacios vectoriales entre los cuales se establece la aplicación lineal. De ese modo el producto de matrices, representa la composición de aplicaciones lineales.

En efecto, en ciertas bases tenemos que $f:V\longrightarrow W$ se puede representar como $f(x)=Ax\,\!$ donde $x\,\!$ es la representación de un vector de $V\,\!$ en la base que se ha elegido para $V\,\!$ en forma de vector columna. Si tenemos dos aplicaciones lineales $f:V\longrightarrow W$ y $g:W\longrightarrow U$ entonces $f(x)=Bx\,\!$ y $g(x)=Ax\,\!$, luego la aplicación $g\circ f:V\longrightarrow U$ se representará como $g\circ f(x)=g(f(x))=g(Bx)=ABx$ donde $AB\,\!$ es el producto de las representaciones matriciales de $f,g\,\!$. Nótese que la composición no se puede dar entre cualquier aplicación sino entre aplicaciones que vayan de $V\rightarrow W\rightarrow U\,\!$, en particular debe de haber una relación entre las dimensiones de los espacios vectoriales. Una vez dicho ésto podemos definir el producto de la siguiente manera.

Sean $A\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ y $B\in\mathcal{M}_{m\times p}(\mathbb{K})$. Se define el producto de matrices como una función $\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\times\mathcal{M}_{m\times p}(\mathbb{K})\longrightarrow \mathcal{M}_{n\times p}(\mathbb{K})$ tal que $(A,B)\mapsto C=AB$ y donde $c_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}$ para toda $i,j\,\!$, es decir $c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+a_{i3}b_{3j}+\dots+a_{im}b_{mj}\,\!$. Por ejemplo, la entrada $c_{12}=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{2j}+\dots+a_{1m}b_{m2}$.

Veamos un ejemplo más explícito. Sean $A\in\mathcal{M}_{2\times 3}(\mathbb{R})$ y $B\in\mathcal{M}_{3\times 2}(\mathbb{R})$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(3)+0(2)+2(1) & 1(1)+0(1)+2(0) \\ -1(3)+3(2)+1(1) & -1(1)+3(1)+1(0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$

dónde la matriz producto es como habíamos establecido en la definición: una matriz $C\in\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$.

Sin tomar en cuenta la motivación que viene desde las aplicaciones lineales, es evidente ver que si ignoramos la definición de la función de producto de matrices y sólo se toma en cuenta la definición de las entradas, el producto no estará bien definido, ya que si $A\,\!$ no tiene el mismo número de columnas que $B\,\!$ de filas entonces no podremos establecer en donde acaba la suma: si la acabamos en el mayor de éstos números habrá sumandos que no están definidos ya que una de las matrices no tendrá mas entradas, mientras que si tomamos el menor habrá entradas de alguna de las matrices que no se tomen en cuenta. Así es necesario que $A\,\!$ tenga el mismo número de columnas que $B\,\!$ de filas para que $AB\,\!$ exista.

Como se puede suponer también, las propiedades de ésta operación serán más limitadas en la generalidad ya que además de las limitaciones impuestas por la naturaleza de las entradas está esta limitación respecto a tamaño. Es claro, además, que el producto de matrices no siempre es una operación interna.

Propiedades

Sean $A,B,C\,\!$ matrices con entradas en $\mathbb{K}$, donde $\mathbb{K}$ es un campo, entonces se cumplen las siguientes propiedades para el producto de matrices (considerando que los productos existan)

Asociatividad

$A(BC)=(AB)C\,\!$

Demostración. Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que, si $A(BC)=AH=R\,\!$, $r_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}h_{kj}\,\!$ y $h_{ij}=\sum_{\ell=1}^{p}b_{i\ell}c_{\ell j}\,\!$ por lo que $r_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}\sum_{\ell=1}^{p}b_{k\ell}c_{\ell j}=\sum_{\ell=1}^{p}\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{k\ell}c_{\ell j}=\sum_{\ell=1}^{p}s_{i\ell}c_{\ell j}=t_{ij}\,\!$ donde $(AB)C=SC=T\,\!$ debido a que $a_{ij},b_{ij},c_{ij}\in\mathbb{K}$ para todo $i,j\,\!$. Aquí estamos considerando que $A\,\!$ es $n\times m$, $B\,\!$ es $m\times p$ y $C\,\!$ es $p\times q$.

Distributividad respecto de la suma de matrices por la derecha

$(A+B)C=AC+BC\,\!$

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que $\sum_{k=1}^{m}(a_{ik}+b_{ik})c_{kj}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}c_{kj}+b_{ik}c_{kj}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}c_{kj}+\sum_{k=1}^{m}b_{ik}c_{kj}\,\!$ debido a que $a_{ij},b_{ij},c_{ij}\in\mathbb{K}$ para todo $i,j\,\!$. Aquí estamos considerando que $A\,\!$ es $n\times m$, $B\,\!$ es $n\times m$ y $C\,\!$ es $m\times p$.

Distributividad respecto de la suma de matrices por la izquierda

$A(B+C)=AB+AC\,\!$

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que $\sum_{k=1}^{m}a_{ik}(b_{kj}+c_{kj})=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}+a_{ik}c_{kj}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}+\sum_{k=1}^{m}a_{ik}c_{kj}\,\!$ debido a que $a_{ij},b_{ij},c_{ij}\in\mathbb{K}$ para todo $i,j\,\!$. Aquí estamos considerando que $A\,\!$ es $n\times m$, $B\,\!$ es $m\times p$ y $C\,\!$ es $m\times p$.

El producto de matrices no es conmutativo, si lo fuera la composición de funciones lineales sería conmutativa y eso en general no sucede. Obviamente existen casos particulares de algunos tipos de matrices en los que si hay conmutatividad. En el caso en que tengamos $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ tendremos que el producto entre matrices en $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ también está en $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$. En ese caso $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ además de espacio vectorial es un álgebra sobre un campo. En el caso de que el conjunto al que pertenecen las entradas sea un anillo conmutativo con uno entonces $\mathcal{M}_{n}(A)$ además de módulo es un álgebra sobre un anillo. Mas aún $(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),+,\cdot)$ con $\cdot$ el producto de matrices es un anillo.