Matemáticas/Matrices/Multiplicación

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Ya vimos en los temas anteriores que se pueden extender las operaciones para los números reales a los sistemas con vectores y matrices, en cuanto a la multiplicación se puede extender en el producto escalar por matriz y el producto entre matrices.

Definición[editar]

\mathbb{A} \, es una matriz de n x m,   \mathbb{A} =\left [U_1\   U_2\  ...\  U_m  \right ] , y \mathbb{B} \, es una matriz de m x k,   \mathbb{B} =\left [ V_1\ V_2\ ...\ V_k \right ] , el producto \mathbb{A} * \mathbb{B} \, es la matriz de n x k,   \mathbb{A} * \mathbb{B}  =\left  [AV_1\ AV_2\ ...\ AV_k  \right ] .

Cálculo del producto de matrices[editar]

Si \mathbb{A} \, es una matriz de dimensiones m x r y \mathbb{B} \, otra matriz de dimensiones r x n, entonces para calcular el elemento que está en el renglón i-ésimo y la columna j-ésima de \mathbb{A}*\mathbb{B} \, y que se denomina  c_{ij} \, se toma el renglón i-ésimo de la matriz A y la columna j-ésima de B. Se multiplican los elementos correspondientes del renglón y la columna y después se suman los productos. Esta expresión equivale a:

 c_{(i,j)} = a_{(i,1)} b_{(1,j)} + a_{(i,2)} b_{(2,j)} + a_{(i,3)} b_{(3,j)} + ... + a_{(i,r)} b_{(r,j)} \,

Seguidamente, se desarrolla un ejemplo con dos matrices de 2 x 2. Sean las siguientes matrices:

 \mathbb{A} = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix};  
\mathbb{B}= \begin{bmatrix} 7 & 9 & 6  \\ 3 & 4 & 5\end{bmatrix}

De acuerdo a lo anterior, el producto se calcula así:

\mathbb{A} * \mathbb{B} = \begin{bmatrix} (2 \cdot 7) + (3 \cdot 3) & (2 \cdot 9) + (3 \cdot 4) & (2 \cdot 6) + (3 \cdot 5)\\ (4 \cdot 7) + (5 \cdot 3) & (4 \cdot 9) + (5 \cdot 4) & (4 \cdot 6) + (5 \cdot 5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 23 & 30 & 27 \\ 43 & 56 & 49 \end{bmatrix}

Como podemos observar, el número de columnas de \mathbb{A} \, debe corresponder al número de renglones que haya en \mathbb{B} \, para que el producto de las matrices esté definido. También, la definición de \mathbb{A}* \mathbb{B}\, muestra que la matriz producto tiene idéntica cantidad de filas o renglones que \mathbb{A} \, y de columnas que \mathbb{B}.

Cálculo parcial del producto de matrices[editar]

En ocasiones, no es necesario calcular todos los elementos de un producto de matrices, sino una fila o una columna determinada. Para ello, supondremos que existen dos matrices \mathbb{A} \, y \mathbb{B}\, de dimensiones m x r y r x n, respectivamente. Si se desea calcular los elementos de la fila i-ésima de la matriz producto, se deberá tomar de la matriz \mathbb{A} \, únicamente la fila i-ésima y multiplicarla por la matriz \mathbb{B} \,. Esto se representa así:


\mathbb{A}_i * \mathbb{B} = 
   \begin{bmatrix}
      a_{(i,1)} & a_{(i,2)} & \dots & a_{(i,r)} 
   \end{bmatrix}*
   \begin{bmatrix}
      b_{(1,1)} & b_{(1,2)} & \dots & b_{(1,n)} \\
      b_{(2,1)} & b_{(2,2)} & \dots & b_{(2,n)} \\
      \dots & \dots & \dots\\
      b_{(r,1)} & b_{(r,2)} & \dots & b_{(r,n)} 
   \end{bmatrix}=
   \begin{bmatrix}
      c_{(i,1)} & c_{(i,2)} & \dots & c_{(i,r)} 
   \end{bmatrix}

En el caso de los elementos de la columna j-ésima de la matriz producto, se deberá tomar de la matriz \mathbb{B} \, únicamente la columna j-ésima y multiplicarla por la matriz \mathbb{A} \,:


\mathbb{A} * \mathbb{B}_j = 
   \begin{bmatrix}
      a_{(1,1)} & a_{(1,2)} & \dots & a_{(1,n)} \\
      a_{(2,1)} & a_{(2,2)} & \dots & a_{(2,n)} \\
      \dots & \dots & \dots\\
      a_{(r,1)} & a_{(r,2)} & \dots & a_{(r,n)} 
   \end{bmatrix}*
   \begin{bmatrix}
      b_{(1,j)} \\
      b_{(2,j)} \\
      \dots \\
      b_{(r,j)} \\
   \end{bmatrix}=
      \begin{bmatrix}
      c_{(1,j)} \\
      c_{(2,j)} \\
      \dots \\
      c_{(r,j)} \\
      \end{bmatrix}

En ambos casos, cada elemento de la fila i-ésima y columna j-ésima de la matriz producto es calculado así:


c_{(i,j)} = a_{(i,1)} b_{(1,j)} + a_{(i,2)} b_{(2,j)} + a_{(i,3)} b_{(3,j)} + ... + a_{(i,r)} b_{(r,j)} \,

Propiedades del producto entre matrices[editar]

  1. A(BC) = (AB)C \, Propiedad asociativa.
  2. A(B+C) = AB + AC \, Propiedad distributiva izquierda.
  3. (B+C)A = BA + CA \, Propiedad distributiva derecha.
  4. r(AB) = (rA)B = A(rB) \, Para cualquier r \in \mathbb{R}.
  5. I_mA = A = AI_n \, Identidad de la multiplicación entre matrices. Las matrices I_m \, e I_n \, denotan a la Matriz identidad.

Bibliografía[editar]

  1. Apuntes de clase de Álgebra Lineal. Universidad Distrital Francisco José de Caldas.
  2. ANTON, Howard. Introducción al álgebra lineal. Editorial Limusa, México, 1985. ISBN 968-18-0631-X
  3. LAY, David. Álgebra lineal y sus aplicaciones. Pearson Educación, México, 2007. ISBN 970-26-0906-2