Conjuntos numéricos/Axiomática de la Teoría de Conjuntos/Axioma de Regularidad

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El Axioma de Regularidad dice lo siguiente: dado un conjunto $a \neq \varnothing$ , existe un conjunto $b \in a$ de manera que si $c \in b$ entonces $c \notin a$ .

Dicho de otro modo: todo conjunto no vacío tiene un elemento disjunto con él, es decir, si $a$ es no vacío, existe un conjunto $b \in a$ de forma que $a \cap b = \varnothing$ . Un tal elemento $b$ se denominal elemento minimal de $a$ .

[editar] Consecuencias

[editar] Proposición

Dado un conjunto $a$ , entonces $a \notin a$ .

Demostración:

En efecto, si $a = \varnothing$ , es evidente que $a \notin a$ . Sea pues un conjunto $a \neq \varnothing$ y supongamos que $a \in a$ . Entonces es $\{a\} \subset a$ , donde $\{a\} \neq \varnothing$ . Por el Axioma de Regularidad, existe un conjunto $u \in \{a\}$ de manera que es elemento minimal de ${a}$ , es decir, de forma que $u \cap \{a\}= \varnothing$ . Pero como ${a}$ es un conjunto unitario, ha de ser entonces $u = a$ . Así que entonces es $a \cap \{a\} = \varnothing$ . Pero $a \in \{a\}$ , y hemos partido de la suposición de que $a \in a$ , luego es $a \in a \cap \{a\}$ . Contradicción, luego la suposición $a \in a$ es falsa.