Cálculo Diferencial de Funciones de Varias Variables/Introducción

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Dado un sistema rectangular de coordenadas cartesianas en el plano o el espacio tridimensional y dados x y y que pertenezcan a cualquiera de estos dos donde x = (x1,x2) y y = (y1,y2) si estan en el plano y x = (x1,x2,x3) y y = (y1,y2,y3) en el espacio tridimensional se define:

En el plano: {\rho}_{(x,y)} = \sqrt{{(x_1 - y_1)^2} + {(x_2 - y_2)^2}}

En el espacio tridimensional: {\rho}_{(x,y)} = \sqrt{{(x_1 - y_1)^2} + {(x_2 - y_2)^2}+{(x_3 - y_3)^2}}

Donde ρ(x,y) es la distancia entre x y y.

Definido el concepto de distancia en el plano y en el espacio tridimensional, ahora se va a definir la idea de distancia en un espacio de dimensión n, pero primero se ha de definir que es un espacio n-dimensional.


Tabla de contenidos

[editar] Definición 1 (Espacio n-dimensional)

Un espacio n-dimensional es aquel donde cualquier punto x perteneciente a éste se puede expresar como un conjunto ordenado (x1,x2,...,xn) es decir

x = (x1,x2,...,x3)

Donde xi, i = 1,2,...,n; es una componente de x.

Este espacio n-dimensional se puede representar, en este caso, como {\mathbb{R}}^n.


[editar] Definición 2 (Distancia en un espacio n-dimensional)

Dados x,y \in {\mathbb{R}}^n se define la distancia entre x y y de la siguiente manera:

{\rho}_{(x,y)} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}


[editar] Definición 3

El espacio n-dimensional donde para cada par de puntos x,y \in {\mathbb{R}}^n está definido ρ(x,y) se le llama espacio euclídeo n-dimensional.


[editar] Propiedades de la distancia entre dos puntos en el espacio n-dimensional

De la definición expuesta anteriormente se coligen las siguientes propiedades de la definición de distancia de dos punto en un espacio n-dimensional.

Dados x,y \in \mathbb{R}^n se tiene


[editar] Propiedad 1

\rho_{(x,y)} \ge 0


Esto se deduce inmediatamente ya que por definición \rho_{(x,y)} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}.


[editar] Propiedad 2

Para ρ(x,y) = 0 es necesario y suficiente que x = y


Demostración de suficiencia


Si x = y entonces se tiene que xi = yi para i = 1,2,...,n y de alli


\rho_{(x,y)} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n 0^2}


ρ(x,y) = 0


Demostración de necesidad


Puesto que ρ(x,y) = 0 es decir \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2} = 0 se obtine que


(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + ... + (xn − yn)2 = 0


Haciendo αi = xi − yi para i = 1,2,...,n entonces


{\alpha_1}^2 + {\alpha_2}^2 + ... + {\alpha_n}^2 = 0


Como resultado se tiene que αi = 0 para i = 1,2,..,n ya que si al menos un \alpha_k \ne 0 para 1 \le k \le n (k \in \mathbb{N}) se tendría


0 < {{\alpha_1}^2 + {\alpha_2}^2 + ... + {\alpha_n}^2} = 0


Lo cual sería una contradicción, por lo tanto xi = yi para i = 1,2,...,n y esto implica x = y.


[editar] Propiedad 3

ρ(x,y) = ρ(y,x)


Es obvio ya que \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (y_i - x_i)^2}


[editar] Propiedad 4

\rho_{(x,y)} \le \rho_{(x,z)} + \rho_{(z,y)} para cualquier z \in \mathbb{R}^n

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