Análisis matemático/Funciones

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[editar] Aplicaciones

Una aplicación es una relación entre dos conjuntos, a uno lo llamaremos "de partida" o "dominio" y al otro "de llegada" o "codominio". Esta relación tiene un particularidad, tal que a cada elemento del conjunto de partida le corresponde solo uno del conjunto de llegada.

Ejemplos:

Sean los conjuntos A y B siguientes:

A = {1,2,3}

B = {4,5}

Ejemplo nro. 1:

La aplicación f tiene como dominio al conjunto A y como codominio al conjunto B. Esta aplicación está bien definida, pues a cada elemento del conjunto de partida, le corresponde solo uno del conjunto de llegada. (Específicamente: a 1 le corresponde 4, a 2 y a 3 les corresponden 5).

Ejemplo nro. 2:

Esta aplicación g tiene como dominio al conjunto B y como codominio al conjunto A. Como vemos, no a todo elemento del conjunto A le corresponde un elemento del conjunto B, cuando esto sucede se dice que la función no es sobreyectiva o no suryectiva (sur viene del francés y significa sobre). En ciertos países se utiliza también la palabra suprayectiva. Volveremos con el concepto de sobreyectividad más tarde.

Ejemplo nro. 3:

En este caso, h no es una aplicación pues a un elemento del dominio (al 4), le corresponden dos valores del codominio (1 y 2).

[editar] Ley de una aplicación

Si bien una aplicación puede ser definida a través de un conjunto de pares ordenados, esto puede ser incómodo si hablamos de conjuntos grandes. Por eso se suele definir una aplicación a través de una ley.

Ejemplos:

Esta aplicación tiene como dominio y codominio los números reales, y lo que hace es asignar a cada número su doble. Si lo vieramos como un conjunto de pares ordenados, sería de la siguiente manera:

Los muestran que siguen indefinidamente (hay infinitos pares). La cardinalidad de este conjunto es .

[editar] Funciones

Dentro de las aplicaciones hay un conjunto particular que es el que es objeto de estudio del análisis matemático, las funciones. Las funciones son aplicaciones cuyo dominio y codominio están contenidos en el conjunto de los números reales o complejos.