Álgebra Lineal/Multiplicación de matrices

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Ya vimos en los temas anteriores que se pueden extender las operaciones para los números reales a los sistemas con vectores y matrices, en cuanto a la multiplicación se puede extender en el producto escalar por matriz y el producto entre matrices.

Contenido

[editar] Definición

SI A es una matriz de n x m, A =\left [U_1\ U_2\ ...\ U_m \right ] , y B es una matriz de m x k, B =\left [ V_1\ V_2\ ...\ V_k \right ] , el producto AB es la matriz de n x k, AB =\left [AV_1\ AV_2\ ...\ AV_k \right ] .

[editar] ¿Cómo se efectúa el producto entre matrices?

Para encontrar el elemento que está en el renglón i-ésimo y la columna j-ésima de AB, se toma el renglón i-ésimo de la matriz A y la columna j-ésima de B. Se multiplican los elementos correspondientes del renglón y la columna y después se suman los productos.

Un ejemplo:

A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} B= \begin{bmatrix} 7 & 9 & 6 \\ 3 & 4 & 5\end{bmatrix}
AB = \begin{bmatrix} (2 \cdot 7) + (3 \cdot 3) & (2 \cdot 9) + (3 \cdot 4) & (2 \cdot 6) + (3 \cdot 5)\\ (4 \cdot 7) + (5 \cdot 3) & (4 \cdot 9) + (5 \cdot 4) & (4 \cdot 6) + (5 \cdot 5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 23 & 30 & 27 \\ 43 & 56 & 49 \end{bmatrix}

Como pudimos observar el número de columnas de A debe corresponder al número de renglones que haya en B para que AB esté definido. También, la definición de AB muestra que AB tiene el mismo número de renglones que A y el mismo número de columnas que B.

[editar] Propiedades del producto entre matrices

  1. A(BC) = (AB)C Propiedad asociativa.
  2. A(B + C) = AB + AC Propiedad distributiva izquierda.
  3. (B + C)A = BA + CA Propiedad distributiva derecha.
  4. r(AB) = (rA)B = A(rB) Para cualquier r \in \mathbb{R}.
  5. ImA = A = AIn Identidad de la multiplicación entre matrices.

[editar] Bibliografía

  1. Apuntes de clase de Álgebra Lineal. Universidad Distrital Francisco José de Caldas.
  2. ANTON, Howard. Introducción al álgebra lineal. Editorial Limusa, México, 1985. ISBN 968-18-0631-X
  3. LAY, David. Álgebra lineal y sus aplicaciones. Pearson Educación, México, 2007. ISBN 970-26-0906-2
Obtenido de "http://es.wikibooks.org/wiki/%C3%81lgebra_Lineal/Multiplicaci%C3%B3n_de_matrices"
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