Wikichicos/Geometría/Capítulo 6. Cuadriláteros

Un cuadrilátero es un polígono con cuatro aristas (o lados) y cuatro vértices.

Clasificación

Los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo de sus lados, sus longitudes y sus ángulos interiores:

• Paralelogramos: sus lados opuestos son paralelos.
  • Cuadrado: todos sus lados son iguales, todos sus ángulos interiores son rectos, sus diagonales son iguales y perpendiculares entre sí.
  • Rombo: todos sus lados son iguales, cada par de ángulos agudos y obtusos son opuestos, sus diagonales son distintas y perpendiculares entre sí.
  • Rectángulo: sus lados opuestos son iguales dos a dos y los paralelos, todos sus ángulos interiores son rectos, sus dos diagonales son iguales pero no son perpendiculares entre sí
  • Romboide: sus lados opuestos son iguales dos a dos, cada par de ángulos agudos y obtusos son opuestos, sus dos diagonales son de distinta longitud y no son perpendiculares entre sí.
• Trapecio: Se llama trapecio a un cuadrilátero que tiene dos lados no consecutivos paralelos llamados bases del trapecio, y el segmento perpendicular entre las dos bases es llamada la altura del trapecio
• Trapezoide: Un trapezoide es un cuadrilátero convexo sin lados paralelos.

• Cuadriláteros paralelogramos
• 
  Cuadrado
• 
  Rombo
• 
  Rectángulo
• 
  Romboide

• Cuadriláteros no paralelogramos
• 
  Trapecio
• 
  Trapezoide

Cuadriláteros paralelogramos

Cuadrado

Un cuadrado y sus diagonales

El cuadrado es un polígono regular. Tiene los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos son rectos.

• Las diagonales del cuadrado son perpendiculares entre si e iguales y son bisectrices de los ángulos.
• Área del cuadrado : el área del cuadrado es igual al lado del cuadrado multiplicado por si mismo. La formula del área del cuadrado es:

$l*l$ (lado por lado)

• Perímetro del cuadrado : el perímetro del cuadrado es igual al lado del cuadrado multiplicado por 4 (cuatro). La fórmula del perímetro del cuadrado es:

$l*4$ (lado por 4 cuatro) o

$l+l+l+l$ (lado más lado más lado más lado)

ejercicio

Perímetro y el área de un cuadrado

---

Obtener el perímetro y el área de un cuadrado de 7 cm de lado.

Solución:

---

Perímetro

$P=l\cdot {4}$

$P=7\cdot {4}={28}\ cm$

Área

$A=l\cdot {l}$ (lado por lado)

$A=7\cdot {7}=49\ cm^{2}$

Rectángulo

Rectángulo ABCD. d es una de sus dos diagonales.

un rectángulo es un paralelogramo cuyos cuatro lados forman ángulos rectos entre sí. Los lados opuestos tienen la misma longitud. Un rectángulo cuyos cuatro lados tienen la misma longitud es un cuadrado.

• El perímetro de un rectángulo es igual a la suma de todos sus lados:

$P=2\cdot a+2\cdot b=2\cdot (a+b)\,$

• El área de un rectángulo es igual al producto de dos de sus lados contiguos:

$A=b\cdot a$

ejercicio

Perímetro y el área de un rectángulo

---

Obtener el perímetro y el área de un rectángulo de 7 cm de lado b y 5 cm de lado a.

Solución:

---

Perímetro

$P=2\cdot a+2\cdot b=2\cdot (a+b)\,$

$P=2\cdot (5+7)$

$P=2\cdot {12}$; $P=24\ cm$

Área

$A=b\cdot a$

$A=7\cdot {5}=35\ cm^{2}$

Rombo

Diagonal mayor D₁, diagonal menor D₂ . Los lados a iguales y los ángulos distintos pero iguales dos a dos (los opuestos)

El rombo es un paralelogramo cuyos cuatro lados son iguales y sus cuatro ángulos iguales dos a dos

• El área del rombo es igual al semiproducto de sus diagonales (diagonal mayor y diagonal menor):

$A={\cfrac {D_{1}\cdot D_{2}}{2}}$

ejercicio

Perímetro y área de un rombo

---

Obtener el perímetro y el área de un rombo cuyos lados miden 5 cm, la diagonal mayor mide 8 cm y la diagonal menor mide 6 cm.

Solución:

---

Aplicando la fórmula:
Área
$A={\cfrac {D_{1}\cdot D_{2}}{2}}$;
$A={\cfrac {8\cdot 6}{2}}$;
$A={\cfrac {48}{2}}$;
$A=24\ cm^{2}$

Perímetro

$P=5\cdot {4}=20\ cm$

Romboide

Se denomina romboide al cuadrilátero, caso particular de paralelogramo que tiene dos lados alternos iguales y los otros dos lados distintos de los anteriores, pero también iguales entre sí.

Considerando el romboide de lados a y b, y de altura h respecto al lado a, llamado base, se pueden determinar las siguientes medidas:

• El perímetro de un romboide es:

$P=2\,(a+b)$

Que es la suma de las medidas de todos los lados.

• El área se obtiene multiplicando la longitud de un lado, $a$, por la distancia al lado opuesto, $h$:

$S=a\cdot h$

ejercicio

Perímetro y el área de un romboide

---

Obtener el perímetro y el área de un romboide de 6 cm de base, 4 cm el otro lado y 3 cm de altura.

Solución:

---

Aplicando la fórmula:

Perímetro
$P=2\,(a+b)$
$P=2\cdot {10}=20\ cm$
Área
$A=b\cdot h$

$A=6\cdot {3}=18\ cm^{2}$

Cuadriláteros no paralelogramos

Trapecio

Trapecio

Un trapecio es un cuadrilátero que tiene solamente un par de lados paralelos. Los lados paralelos se llaman bases del trapecio.

• El área A de un trapecio de bases a y c y de altura h es igual a la semisuma de las bases por la altura:

$A={\frac {a+c}{2}}\cdot {h}$.

ejercicio

Area de un trapecio

---

Obtener el área de un trapecio cuyas bases miden 6 cm una y 4 cm la otra. La altura mide 3 cm.

Solución:

---

• Aplicando la fórmula:
  

$A={\frac {b+a}{2}}\cdot {h}$

$A={\frac {6+4}{2}}\cdot {3}$

$A={\frac {10}{2}}\cdot {3}$

$A=5\cdot {3}=15\ cm^{2}$

Trapezoide

Trapezoide

• Un trapezoide es un cuadrilátero sin lados paralelos.

• Para hallar el área de un trapezoide se descompone en dos triángulos, se calcula las respectivas áreas y su suma da el área buscada.

ejercicio

Área de un trapezoide

---

Obtener el área de un trapezoide dividiéndolo en dos triángulos y sumando los resultados.

Solución:

---

• Triángulo 1: base = 8 cm, altura = 3 cm

$A={\frac {8\times 3}{2}}$; $A={\frac {24}{2}}$; $A=12\ cm^{2}$

• Triángulo 2: base = 10 cm, altura = 4 cm

$A={\frac {10\times 4}{2}}$; $A={\frac {40}{2}}$; $A=20\ cm^{2}$

$A=(12+20)$; $A=32\ cm^{2}$

Referencias

.....................................................................................................................................................

Ejercicios

1 Un cuadrilátero es un polígono con

	cuatro aristas (o lados) y cuatro diagonales.
	cuatro aristas (o lados) y cuatro vértices.
	cuatro ángulos (o lados) y cuatro vértices.

2 Los cuadriláteros paralelogramos son

	los que tiene sus lados opuestos oblicuos
	los que tiene sus lados opuestos perpendiculares
	los que tiene sus lados opuestos paralelos

3 El área del cuadrado es igual

	al lado del cuadrado multiplicado por si mismo
	al lado del triángulo multiplicado por si mismo
	al lado del cuadrado dividido por si mismo

4 El perímetro del cuadrado es igual

	al lado del cuadrado multiplicado por 2
	al lado del cuadrado multiplicado por 4
	al lado del cuadrado dividido por 4

5 El rombo es un paralelogramo cuyos cuatro lados son iguales y

	sus tres ángulos iguales
	sus cuatro ángulos iguales
	sus cuatro ángulos iguales dos a dos

6 Un trapecio es un cuadrilátero que tiene solamente

	un par de lados paralelos
	un par de lados perpendiculares
	un par de lados oblicuos

7 Un trapezoide es un cuadrilátero

	sin lados regulares
	con lados paralelos
	sin lados paralelos

8 El perímetro de un rectángulo es igual

	a la suma de todos sus vértices
	a la suma de todos sus lados
	a la suma de todos sus ángulos

.....................................................................................................................................................