Variable Compleja/Teorema de Cauchy/Definiciones

Definición

Enunciado 1

Sea f(z) una función analítica en un dominio simplemente conexo D. Entonces para cualquier punto $z_{0}\,$ contenido en el interior de D y para cualquier camino C cerrado simple también contenido en el interior de D que contenga al punto se tiene:

$\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}dz=2\pi i\cdot f(z_{0})$

donde la integración está tomada en sentido antihorario.

Enunciado 2

Sea $f\,$ una función analítica sobre $\gamma$, $\gamma$ un camino (una curva diferenciable con continuidad a trozos) cerrado y $z_{0}\notin \gamma$

$f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i\cdot I_{\gamma }(z_{0})}}\oint _{\gamma }{\frac {f(\omega )}{\omega -z_{0}}}d\omega$

Siendo $z_{0}\,$ un punto que no esté sobre $\gamma$ , $I_{\gamma }(z_{0})\,$ el índice del punto respecto a la curva (el número de veces que la curva rodea al punto teniendo en cuenta el sentido con que lo hace).