Variable Compleja/Operaciones de números complejos/División

División

La división en forma rectangular se compone de una racionalización:

\frac{(a + b i)}{(c + d i)} = \frac{((a c + b d) + (b c - a d) i)}{c^{2} + d^{2}} = (\frac{(a c + b d) + (b c - a d) i}{c^{2} + d^{2}})

Dada la división de dos números complejos:

\frac{(a + b i)}{(c + d i)}

Si multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del divisor la división no varia:

\frac{(a + b i) (c - d i)}{(c + d i) (c - d i)}

Realizando las multiplicaciones:

\begin{matrix} a & + & b i \\ * & c & - & d i \\ - b d i^{2} & + & - a d i \\ a c & + & c b i \\ (a c + b d) & + & (- a d + c b) i \end{matrix} \begin{matrix} c & + & d i \\ * & c & - & d i \\ - d d i^{2} & + & - c d i \\ c c & + & c d i \\ (d^{2} + c^{2}) & + & 0 \end{matrix}

Con lo que tenemos:

\frac{(a c + b d) + (- a d + c b) i}{(d^{2} + c^{2})} = \frac{a c + b d}{d^{2} + c^{2}} + \frac{- a d + c b}{d^{2} + c^{2}} i

La división de números complejos es recomendable con la notación polar:

\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r}{s} e^{i (ϕ - ψ)}