¿Que me dan?

Me afirman que $\sum _{i=0}^{n}i^{3}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}$

¿Que me piden?

Verificar esa afirmación por el método de inducción matemática.

Ver metodo

Sea $P(n)$ la afirmacion $\sum _{i=0}^{n}i^{3}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}$

PASO 1: Demostrar que P(1) es cierta

\sum _{i=0}^{1}i^{3}=1*1*1=1

{\frac {1^{2}(1+1)^{2}}{4}}={\frac {1(2)^{2}}{4}}={\frac {1(4)}{4}}={\frac {4}{4}}=1

Con esto queda demostrado que $\sum _{i=0}^{n}i^{3}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}$ es cierto para el primer termino (P(1)).

PASO 2: Se supone $P(k)$ cierta (esta es la hipótesis de inducción).

$\sum _{i=0}^{k}i^{3}={\frac {k^{2}(k+1)^{2}}{4}}$

A partir de es hipotesis se debe demostrar que $P(k+1)$ es cierta: $\sum _{i=0}^{k+1}i^{3}={\frac {(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4}}$

\sum _{i=0}^{k}i^{3}={\frac {k^{2}(k+1)^{2}}{4}}

\sum _{i=0}^{k}i^{3}+(k+1)^{3}={\frac {k^{2}(k+1)^{2}}{4}}+(k+1)^{3}

\sum _{i=0}^{k}i^{3}+(k+1)^{3}={\frac {k^{2}(k+1)^{2}+4(k+1)^{3}}{4}}

\sum _{i=0}^{k}i^{3}+(k+1)^{3}={\frac {(k+1)^{2}(k^{2}+4(k+1))}{4}}

\sum _{i=0}^{k}i^{3}+(k+1)^{3}={\frac {(k+1)^{2}(k^{2}+4k+4)}{4}}

\sum _{i=0}^{k}i^{3}+(k+1)^{3}={\frac {(k+1)^{2}((k+2)(k+2))}{4}}

\sum _{i=0}^{k}i^{3}+(k+1)^{3}={\frac {(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4}}

Por propiedades de las sumatorias se da lo siguiente en el lado izquierdo de la igualdad:

\sum _{i=0}^{k+1}i^{3}={\frac {(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4}}

Por lo tanto, $P(k+1)$ es consecuencia de $P(k)$ y esto demuestra que la afirmación $\sum _{i=0}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$ es cierta.

Por que la relación se valido por medio de una demostración.