Usuario:Pilonieta / Heurística / Ejercicio 3.28.A

¿Que me dan?

Me afirman que $\sum _{i=1}^{n}(i(i+1))={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}$

¿Que me piden?

Demostrar que la afirmacion es valida por medio de la induccion matematica.

¿Cómo se relaciona lo que me dan con lo que me piden?

Ver metodo.

Para n=1

$\sum _{i=1}^{1}(1(1+1))=2$ ${\frac {1(1+1)(1+2)}{3}}=2$

Para n=k, que es la hipotesis de induccion,

$\sum _{i=1}^{k}(i(i+1))={\frac {k(k+1)(k+2)}{3}}$

Para n=k+1

$\sum _{i=1}^{k}+1(i(i+1))={\frac {(k+1)(k+2)(k+3)}{3}}$

Tomando la hipotesis de induccion tenemos:

$\sum _{i=0}^{k}(i(i+1))={\frac {k(k+1)(k+2)}{3}}$

$\sum _{i=0}^{k}(i(i+1))+((k+1)(k+2))={\frac {k(k+1)(k+2)}{3}}+((k+1)(k+2))$

$\sum _{i=0}^{k}(i(i+1))+((k+1)(k+2))={\frac {k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)}{3}}$

$\sum _{i=0}^{k}(i(i+1))+((k+1)(k+2))={\frac {(k+1)(k+2)(k+3)}{3}}$

Por propiedades de las sumatorias se da lo siguiente en el lado izquierdo de la igualdad.

$\sum _{i=0}^{k+1}(i(i+1)={\frac {(k+1)(k+2)(k+3)}{3}}$

Por lo cual queda demostrada la afirmacion por el metodo de inducción.

¿Como verifico que la relacion es cierta?

Por construccion logica de la relacion