EJERCICIO 3.27A

DEMOSTRAR LA GENERALIZACION DE LA LEY DE MORGAN:

A) $({\cup _{i=0}^{n}A_{i}})'={\cap _{i=0}^{n}A'_{i}}$

¿Qué me dan?

Me dicen que $({\cup _{i=0}^{n}A_{i}})'={\cap _{i=0}^{n}A'_{i}}$ lo que quiere decir que el complemento de la unión de los conjuntos desde $A_{0}$ hasta $A_{n}$ es igual al complemento de la intersección de cada uno de los conjuntos.

¿Qué me piden?

Me piden demostrar la generalización de la ley de Morgan. $({\cup _{i=0}^{n}A_{i}})'={\cap _{i=0}^{n}A'_{i}}$

¿Cómo se relaciona lo que me dan con lo que me piden?

En una demostración de este tipo no hay relación entre lo que le dan y lo que le piden, pues precisamente le piden demostrar la validez de una hipótesis dada. Para esto, se tiene que recurrir a fuentes externas, en este caso, un libro de lógica. Para realizar la demostración necesitamos de las siguientes definiciones:

Intersección: ${A\cap B}=x\in A\wedge x\in B$

Unión: ${A\cup B}=x\in A\vee x\in B$

Complemento: $A'=x\not \in A=-(x\in A)$

  ${\cup _{i=0}^{n}A_{i}}$  , SIGNIFICA:  ${A_{0}UA_{1}U...UA_{n}}$

Vamos a tomar el lado izquierdo de nuestra hipótesis para llegar al lado derecho y de esta forma demostrar el ejercicio.

$({\cup _{i=0}^{n}A_{i}})'=(A_{0}UA_{1}U...UA_{n})'$

Ahora utilizamos la definición de Unión:

$(A_{0}UA_{1}U...UA_{n})'=-(x\in A_{0}\vee x\in A_{1}\vee x\in A_{2}\vee ...\vee x\in A_{n})$

$-(x\in A_{0}\vee x\in A_{1}\vee x\in A_{2}\vee ...\vee x\in A_{n})=x\not \in A_{0}\wedge x\not \in A_{1}\wedge x\not \in A_{2}\wedge ...\wedge x\not \in A_{n}$

Ahora las definiciones de Intersección y de Complemento:

$x\not \in A_{0}\wedge x\not \in A_{1}\wedge x\not \in A_{2}\wedge ...\wedge x\not \in A_{n}=A_{0}'\cap A_{1}'\cap A_{2}'\cap A_{3}'...\cap A_{n}'$

Finalmente:

$A_{0}'\cap A_{1}'\cap A_{2}'\cap A_{3}'...\cap A_{n}'={\cap _{i=0}^{n}A'_{i}}$

Con lo que queda demostrado nuestro ejercicio.

¿Cómo verifico que la relación es cierta?

Por construcción y por el uso de las definiciones sobre conjuntos se puede decir que el ejercicio queda demostrado.